{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (5 pkt)\nDany jest punkt\n(\n)\n2,3\nC =\ni prosta o równaniu\n2\n8\ny\nx\n- będąca symetralną odcinka BC.\nWyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\n7.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n9\nPoziom podstawowy\nDany jest punkt $C=(2,3)$ i prosta o równaniu y=2x-8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.","answer":null,"answer_text":"7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,\nktórą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{38}{5},\\ \\dfrac{1}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka + prosta prostopadła\n\n**Kluczowa obserwacja:** symetralna odcinka \\(BC\\) to prosta, która:\n- przechodzi przez **środek** \\(M\\) odcinka \\(BC\\),\n- jest **prostopadła** do \\(BC\\).\n\nMamy symetralną \\(y = 2x - 8\\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \\(2\\).\n\n**Krok 1 - wyznacz równanie prostej \\(BC\\).**\n\nSkoro \\(BC \\perp\\) symetralna, to współczynnik kierunkowy \\(BC\\) spełnia:\n\n\\[a_{BC} \\cdot 2 = -1 \\implies a_{BC} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nProsta \\(BC\\) przechodzi przez \\(C = (2, 3)\\):\n\n\\[y - 3 = -\\frac{1}{2}(x - 2)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{2}x + 1 + 3 = -\\frac{1}{2}x + 4\\]\n\n**Krok 2 - znajdź środek \\(M\\) (punkt przecięcia \\(BC\\) z symetralną).**\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 8 \\\\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\end{cases}\\]\n\n\\[2x - 8 = -\\frac{1}{2}x + 4\\]\n\\[2x + \\frac{1}{2}x = 12\\]\n\\[\\frac{5}{2}x = 12 \\implies x = \\frac{24}{5}\\]\n\\[y = 2 \\cdot \\frac{24}{5} - 8 = \\frac{48}{5} - \\frac{40}{5} = \\frac{8}{5}\\]\n\nZatem środek odcinka \\(BC\\): \\(M = \\left(\\dfrac{24}{5},\\ \\dfrac{8}{5}\\right)\\).\n\n**Krok 3 - wyznacz \\(B\\) jako odbicie \\(C\\) względem \\(M\\).**\n\nZe wzoru na środek odcinka \\(M = \\left(\\dfrac{x_B + x_C}{2},\\ \\dfrac{y_B + y_C}{2}\\right)\\):\n\n\\[x_B = 2x_M - x_C = 2 \\cdot \\frac{24}{5} - 2 = \\frac{48}{5} - \\frac{10}{5} = \\mathbf{\\frac{38}{5}}\\]\n\\[y_B = 2y_M - y_C = 2 \\cdot \\frac{8}{5} - 3 = \\frac{16}{5} - \\frac{15}{5} = \\mathbf{\\frac{1}{5}}\\]\n\n\\[\\boxed{B = \\left(\\frac{38}{5},\\ \\frac{1}{5}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań z warunkami symetralnej\n\nNiech \\(B = (a, b)\\). Symetralna odcinka \\(BC\\) spełnia **dwa warunki jednocześnie**.\n\n**Warunek 1: środek \\(M\\) leży na prostej \\(y = 2x - 8\\).**\n\n\\[M = \\left(\\frac{a+2}{2},\\ \\frac{b+3}{2}\\right)\\]\n\n\\[\\frac{b+3}{2} = 2 \\cdot \\frac{a+2}{2} - 8\\]\n\\[\\frac{b+3}{2} = (a+2) - 8 = a - 6\\]\n\\[b + 3 = 2a - 12 \\implies b = 2a - 15\\]\n\n**Warunek 2: \\(BC \\perp\\) symetralna (iloczyn współczynników kierunkowych \\(= -1\\)).**\n\n\\[\\frac{b - 3}{a - 2} \\cdot 2 = -1 \\implies \\frac{b-3}{a-2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[2(b - 3) = -(a - 2)\\]\n\\[2b - 6 = -a + 2 \\implies a + 2b = 8\\]\n\n**Rozwiązuję układ:**\n\nPodstawiam \\(b = 2a - 15\\) do \\(a + 2b = 8\\):\n\n\\[a + 2(2a - 15) = 8\\]\n\\[a + 4a - 30 = 8\\]\n\\[5a = 38 \\implies a = \\frac{38}{5}\\]\n\\[b = 2 \\cdot \\frac{38}{5} - 15 = \\frac{76}{5} - \\frac{75}{5} = \\frac{1}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{B = \\left(\\frac{38}{5},\\ \\frac{1}{5}\\right)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka \\(AB\\):\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - środek \\(M\\) odcinka \\(BC\\) musi leżeć na symetralnej.\n\nWarunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy, żeby wyznaczyć kierunek prostej \\(BC\\) (lub warunek 2 w Sposobie 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna odcinka to NIE byle prosta przez środek - musi być też prostopadła do odcinka. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Zapomnienie o prostopadłości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek łatwo pomylić kierunek: \\(x_B = 2x_M - x_C\\), a nie \\(x_B = x_M - x_C\\). Środek to \"połowa drogi\", więc \\(B\\) jest po drugiej stronie \\(M\\) od \\(C\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\dfrac{1}{a}\\), nie \\(-a\\). Dla symetralnej o nachyleniu \\(2\\) prosta \\(BC\\) ma nachylenie \\(-\\dfrac{1}{2}\\) - pamiętaj o odwrotności i zmianie znaku!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(B = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Prostopadła z \\(C\\) do symetralnej + środek\n**Krok 1 - równanie prostej \\(l\\) przechodzącej przez \\(C\\) prostopadłej do symetralnej \\(y = 2x - 8\\):**\n\nSymetralna ma współczynnik kierunkowy \\(2\\), więc \\(l\\) ma współczynnik \\(-\\dfrac{1}{2}\\).\n\nProsta \\(l\\) przechodzi przez \\(C = (2, 3)\\):\n\\[3 = -\\dfrac{1}{2}\\cdot 2 + b \\Rightarrow b = 4.\\]\n\\[l: \\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4.\\]\n\n**Krok 2 - punkt \\(S\\) przecięcia \\(l\\) i symetralnej:**\n\\[\\begin{cases} y = 2x - 8 \\\\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\end{cases}\\]\n\\[2x - 8 = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x = 12 \\Rightarrow x = \\dfrac{24}{5}.\\]\n\\[y = 2 \\cdot \\dfrac{24}{5} - 8 = \\dfrac{48 - 40}{5} = \\dfrac{8}{5}.\\]\n\\[S = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right).\\]\n\n**Krok 3 - \\(B\\) jako obraz \\(C\\) w symetrii względem \\(S\\)** (bo \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(BC\\)):\n\nZ warunku środka odcinka:\n\\[S = \\left(\\dfrac{x_B + x_C}{2}, \\dfrac{y_B + y_C}{2}\\right) \\Rightarrow \\left(\\dfrac{x_B + 2}{2}, \\dfrac{y_B + 3}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right).\\]\n\n\\[\\dfrac{x_B + 2}{2} = \\dfrac{24}{5} \\Rightarrow x_B + 2 = \\dfrac{48}{5} \\Rightarrow x_B = \\dfrac{48 - 10}{5} = \\dfrac{38}{5}.\\]\n\\[\\dfrac{y_B + 3}{2} = \\dfrac{8}{5} \\Rightarrow y_B + 3 = \\dfrac{16}{5} \\Rightarrow y_B = \\dfrac{16 - 15}{5} = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n\\[B = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory na symetrię osiową względem prostej\nDla symetrii względem prostej \\(ax + by + c = 0\\) (tu: \\(2x - y - 8 = 0\\), czyli \\(a = 2, b = -1, c = -8\\)):\n\\[B = C - 2 \\cdot \\dfrac{aC_x + bC_y + c}{a^{2} + b^{2}}\\cdot(a, b).\\]\n\n\\(aC_x + bC_y + c = 2\\cdot 2 + (-1)\\cdot 3 + (-8) = 4 - 3 - 8 = -7.\\)\n\n\\(a^{2} + b^{2} = 4 + 1 = 5.\\)\n\n\\(B = (2, 3) - 2 \\cdot \\dfrac{-7}{5}\\cdot(2, -1) = (2, 3) + \\dfrac{14}{5}\\cdot(2, -1) = \\left(2 + \\dfrac{28}{5}, 3 - \\dfrac{14}{5}\\right).\\)\n\n\\(B = \\left(\\dfrac{10 + 28}{5}, \\dfrac{15 - 14}{5}\\right) = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right).\\) ✓\n\n### Sprawdzenie\nŚrodek \\(BC\\): \\(\\left(\\dfrac{38/5 + 2}{2}, \\dfrac{1/5 + 3}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{48/5}{2}, \\dfrac{16/5}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right)\\). Sprawdzamy przynależność do symetralnej: \\(y = 2x - 8 \\Rightarrow 2\\cdot\\dfrac{24}{5} - 8 = \\dfrac{48 - 40}{5} = \\dfrac{8}{5}\\) ✓.\n\nProstopadłość wektora \\(\\vec{BC} = (2 - 38/5, 3 - 1/5) = (-28/5, 14/5)\\) do kierunku symetralnej \\((1, 2)\\):\n\\(-28/5 \\cdot 1 + 14/5 \\cdot 2 = -28/5 + 28/5 = 0\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\n**Definicja symetralnej odcinka:** prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Zatem punkt \\(B\\) jest obrazem \\(C\\) w symetrii osiowej względem symetralnej.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (5 pkt)<br>Dany jest punkt<br>(<br>)<br>2,3<br>C =<br>i prosta o równaniu<br>2<br>8<br>y<br>x</p>\n<ul><li>będąca symetralną odcinka BC.</li></ul>\n<p>Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.<br>Nr czynności<br>7.1.<br>7.2.<br>7.3.<br>7.4.<br>7.5.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>9<br>Poziom podstawowy<br>Dany jest punkt $C=(2,3)$ i prosta o równaniu y=2x-8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.</p>","answer_text_html":"<ol><li>Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,</li></ol>\n<p>którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{38}{5},\\ \\dfrac{1}{5}\\right)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Środek odcinka + prosta prostopadła</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> symetralna odcinka \\(BC\\) to prosta, która:</p>\n<ul><li>przechodzi przez <strong>środek</strong> \\(M\\) odcinka \\(BC\\),</li><li>jest <strong>prostopadła</strong> do \\(BC\\).</li></ul>\n<p>Mamy symetralną \\(y = 2x - 8\\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi \\(2\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - wyznacz równanie prostej \\(BC\\).</strong></p>\n<p>Skoro \\(BC \\perp\\) symetralna, to współczynnik kierunkowy \\(BC\\) spełnia:</p>\n<p>\\[a_{BC} \\cdot 2 = -1 \\implies a_{BC} = -\\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Prosta \\(BC\\) przechodzi przez \\(C = (2, 3)\\):</p>\n<p>\\[y - 3 = -\\frac{1}{2}(x - 2)\\]<br>\\[y = -\\frac{1}{2}x + 1 + 3 = -\\frac{1}{2}x + 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - znajdź środek \\(M\\) (punkt przecięcia \\(BC\\) z symetralną).</strong></p>\n<p>\\[\\begin{cases} y = 2x - 8 \\\\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\end{cases}\\]</p>\n<p>\\[2x - 8 = -\\frac{1}{2}x + 4\\]<br>\\[2x + \\frac{1}{2}x = 12\\]<br>\\[\\frac{5}{2}x = 12 \\implies x = \\frac{24}{5}\\]<br>\\[y = 2 \\cdot \\frac{24}{5} - 8 = \\frac{48}{5} - \\frac{40}{5} = \\frac{8}{5}\\]</p>\n<p>Zatem środek odcinka \\(BC\\): \\(M = \\left(\\dfrac{24}{5},\\ \\dfrac{8}{5}\\right)\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - wyznacz \\(B\\) jako odbicie \\(C\\) względem \\(M\\).</strong></p>\n<p>Ze wzoru na środek odcinka \\(M = \\left(\\dfrac{x_B + x_C}{2},\\ \\dfrac{y_B + y_C}{2}\\right)\\):</p>\n<p>\\[x_B = 2x_M - x_C = 2 \\cdot \\frac{24}{5} - 2 = \\frac{48}{5} - \\frac{10}{5} = \\mathbf{\\frac{38}{5}}\\]<br>\\[y_B = 2y_M - y_C = 2 \\cdot \\frac{8}{5} - 3 = \\frac{16}{5} - \\frac{15}{5} = \\mathbf{\\frac{1}{5}}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{B = \\left(\\frac{38}{5},\\ \\frac{1}{5}\\right)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań z warunkami symetralnej</h4>\n<p>Niech \\(B = (a, b)\\). Symetralna odcinka \\(BC\\) spełnia <strong>dwa warunki jednocześnie</strong>.</p>\n<p><strong>Warunek 1: środek \\(M\\) leży na prostej \\(y = 2x - 8\\).</strong></p>\n<p>\\[M = \\left(\\frac{a+2}{2},\\ \\frac{b+3}{2}\\right)\\]</p>\n<p>\\[\\frac{b+3}{2} = 2 \\cdot \\frac{a+2}{2} - 8\\]<br>\\[\\frac{b+3}{2} = (a+2) - 8 = a - 6\\]<br>\\[b + 3 = 2a - 12 \\implies b = 2a - 15\\]</p>\n<p><strong>Warunek 2: \\(BC \\perp\\) symetralna (iloczyn współczynników kierunkowych \\(= -1\\)).</strong></p>\n<p>\\[\\frac{b - 3}{a - 2} \\cdot 2 = -1 \\implies \\frac{b-3}{a-2} = -\\frac{1}{2}\\]<br>\\[2(b - 3) = -(a - 2)\\]<br>\\[2b - 6 = -a + 2 \\implies a + 2b = 8\\]</p>\n<p><strong>Rozwiązuję układ:</strong></p>\n<p>Podstawiam \\(b = 2a - 15\\) do \\(a + 2b = 8\\):</p>\n<p>\\[a + 2(2a - 15) = 8\\]<br>\\[a + 4a - 30 = 8\\]<br>\\[5a = 38 \\implies a = \\frac{38}{5}\\]<br>\\[b = 2 \\cdot \\frac{38}{5} - 15 = \\frac{76}{5} - \\frac{75}{5} = \\frac{1}{5}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{B = \\left(\\frac{38}{5},\\ \\frac{1}{5}\\right)}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong></p>\n<p>Środek odcinka \\(AB\\):<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy w obu sposobach - środek \\(M\\) odcinka \\(BC\\) musi leżeć na symetralnej.</p>\n<p>Warunek prostopadłości prostych (równania kierunkowe):<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy, żeby wyznaczyć kierunek prostej \\(BC\\) (lub warunek 2 w Sposobie 2).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetralna odcinka to NIE byle prosta przez środek - musi być też prostopadła do odcinka. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Zapomnienie o prostopadłości to najczęstszy błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek łatwo pomylić kierunek: \\(x_B = 2x_M - x_C\\), a nie \\(x_B = x_M - x_C\\). Środek to &quot;połowa drogi&quot;, więc \\(B\\) jest po drugiej stronie \\(M\\) od \\(C\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\dfrac{1}{a}\\), nie \\(-a\\). Dla symetralnej o nachyleniu \\(2\\) prosta \\(BC\\) ma nachylenie \\(-\\dfrac{1}{2}\\) - pamiętaj o odwrotności i zmianie znaku!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(B = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right)\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Prostopadła z \\(C\\) do symetralnej + środek</h5>\n<p><strong>Krok 1 - równanie prostej \\(l\\) przechodzącej przez \\(C\\) prostopadłej do symetralnej \\(y = 2x - 8\\):</strong></p>\n<p>Symetralna ma współczynnik kierunkowy \\(2\\), więc \\(l\\) ma współczynnik \\(-\\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<p>Prosta \\(l\\) przechodzi przez \\(C = (2, 3)\\):<br>\\[3 = -\\dfrac{1}{2}\\cdot 2 + b \\Rightarrow b = 4.\\]<br>\\[l: \\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - punkt \\(S\\) przecięcia \\(l\\) i symetralnej:</strong><br>\\[\\begin{cases} y = 2x - 8 \\\\ y = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\end{cases}\\]<br>\\[2x - 8 = -\\dfrac{1}{2}x + 4 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x = 12 \\Rightarrow x = \\dfrac{24}{5}.\\]<br>\\[y = 2 \\cdot \\dfrac{24}{5} - 8 = \\dfrac{48 - 40}{5} = \\dfrac{8}{5}.\\]<br>\\[S = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right).\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - \\(B\\) jako obraz \\(C\\) w symetrii względem \\(S\\)</strong> (bo \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(BC\\)):</p>\n<p>Z warunku środka odcinka:<br>\\[S = \\left(\\dfrac{x_B + x_C}{2}, \\dfrac{y_B + y_C}{2}\\right) \\Rightarrow \\left(\\dfrac{x_B + 2}{2}, \\dfrac{y_B + 3}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right).\\]</p>\n<p>\\[\\dfrac{x_B + 2}{2} = \\dfrac{24}{5} \\Rightarrow x_B + 2 = \\dfrac{48}{5} \\Rightarrow x_B = \\dfrac{48 - 10}{5} = \\dfrac{38}{5}.\\]<br>\\[\\dfrac{y_B + 3}{2} = \\dfrac{8}{5} \\Rightarrow y_B + 3 = \\dfrac{16}{5} \\Rightarrow y_B = \\dfrac{16 - 15}{5} = \\dfrac{1}{5}.\\]</p>\n<p>\\[B = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzory na symetrię osiową względem prostej</h5>\n<p>Dla symetrii względem prostej \\(ax + by + c = 0\\) (tu: \\(2x - y - 8 = 0\\), czyli \\(a = 2, b = -1, c = -8\\)):<br>\\[B = C - 2 \\cdot \\dfrac{aC_x + bC_y + c}{a^{2} + b^{2}}\\cdot(a, b).\\]</p>\n<p>\\(aC_x + bC_y + c = 2\\cdot 2 + (-1)\\cdot 3 + (-8) = 4 - 3 - 8 = -7.\\)</p>\n<p>\\(a^{2} + b^{2} = 4 + 1 = 5.\\)</p>\n<p>\\(B = (2, 3) - 2 \\cdot \\dfrac{-7}{5}\\cdot(2, -1) = (2, 3) + \\dfrac{14}{5}\\cdot(2, -1) = \\left(2 + \\dfrac{28}{5}, 3 - \\dfrac{14}{5}\\right).\\)</p>\n<p>\\(B = \\left(\\dfrac{10 + 28}{5}, \\dfrac{15 - 14}{5}\\right) = \\left(\\dfrac{38}{5}, \\dfrac{1}{5}\\right).\\) ✓</p>\n<h5>Sprawdzenie</h5>\n<p>Środek \\(BC\\): \\(\\left(\\dfrac{38/5 + 2}{2}, \\dfrac{1/5 + 3}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{48/5}{2}, \\dfrac{16/5}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{24}{5}, \\dfrac{8}{5}\\right)\\). Sprawdzamy przynależność do symetralnej: \\(y = 2x - 8 \\Rightarrow 2\\cdot\\dfrac{24}{5} - 8 = \\dfrac{48 - 40}{5} = \\dfrac{8}{5}\\) ✓.</p>\n<p>Prostopadłość wektora \\(\\vec{BC} = (2 - 38/5, 3 - 1/5) = (-28/5, 14/5)\\) do kierunku symetralnej \\((1, 2)\\):<br>\\(-28/5 \\cdot 1 + 14/5 \\cdot 2 = -28/5 + 28/5 = 0\\) ✓.</p>\n<h5>Komentarz dydaktyczny</h5>\n<p><strong>Definicja symetralnej odcinka:</strong> prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek. Zatem punkt \\(B\\) jest obrazem \\(C\\) w symetrii osiowej względem symetralnej.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$B = \\\\left(\\\\dfrac{38}{5}, \\\\dfrac{1}{5}\\\\right)$</p>"}]}