{"id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nOblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio\nmiary:\n90\nA =\nD\n)\n,\n75\nB =\nD\n)\n,\n60\nC =\nD\n)\n,\n135\nD =\nD\n)\n, a boki AB i AD mają długość 3 cm.\nSporządź rysunek pomocniczy.\n\n11\nPoziom podstawowy\nNr czynności\n9.1.\n9.2.\n9.3.\n9.4.\n9.5.\n9.6.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\n12\nPoziom podstawowy\nOblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: A=90,B=75 ,C=60, D=135 ,a boki AB i AD mają długość 3cm. Sporządź rysunek pomocniczy.","answer":null,"answer_text":"9. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.\nNie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla\negzaminatora.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[P_{ABCD} = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\frac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3}) \\approx 7{,}10 \\text{ cm}^2\\]\n\n## Sposób 1 - przekątna BD, dwa trójkąty\n\n**Idea:** Przekątna \\(BD\\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Liczymy pole każdego osobno.\n\n**Krok 1: Trójkąt ABD**\n\n\\(\\angle DAB = 90°\\), \\(AB = AD = 3\\) cm - trójkąt prostokątny równoramienny.\n\n\\[P_{ABD} = \\frac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AD = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 3 = \\frac{9}{2} \\text{ cm}^2\\]\n\nDługość przekątnej (z tw. Pitagorasa):\n\\[BD = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{9 + 9} = 3\\sqrt{2} \\text{ cm}\\]\n\nKąty przy podstawie (trójkąt równoramienny prostokątny):\n\\[\\angle ABD = \\angle ADB = 45°\\]\n\n**Krok 2: Kąty trójkąta BCD**\n\nPrzekątna \\(BD\\) „wycina\" część kątów \\(\\angle B\\) i \\(\\angle D\\):\n\n\\[\\angle DBC = \\angle ABC - \\angle ABD = 75° - 45° = 30°\\]\n\\[\\angle BDC = \\angle ADC - \\angle ADB = 135° - 45° = 90°\\]\n\nSprawdzenie sumy kątów trójkąta: \\(30° + 90° + 60° = 180°\\) ✓\n\n**Krok 3: Pole trójkąta BCD**\n\nTrójkąt \\(BCD\\) jest **prostokątny przy \\(D\\)**, z przeciwprostokątną \\(BD = 3\\sqrt{2}\\) i kątem \\(\\angle DBC = 30°\\).\n\nObliczam brakującą przyprostokątną \\(DC\\):\n\\[DC = BD \\cdot \\operatorname{tg}(30°) = 3\\sqrt{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{6} \\text{ cm}\\]\n\nPole trójkąta BCD (dwie przyprostokątne, kąt prosty między nimi):\n\\[P_{BCD} = \\frac{1}{2} \\cdot BD \\cdot DC = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{12} = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3} \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 4: Pole czworokąta**\n\n\\[P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\frac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3}) \\text{ cm}^2\\]\n\n## Sposób 2 - układ współrzędnych i wzór Gaussa\n\n**Idea:** Umieszczamy \\(A\\) w początku układu, wyznaczamy współrzędne wszystkich wierzchołków, stosujemy wzór sznurówki (Gaussa).\n\n**Krok 1: Współrzędne**\n\nPonieważ \\(\\angle A = 90°\\) i \\(AB = AD = 3\\), ustawiamy:\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (3, 0), \\quad D = (0, 3)\\]\n\n**Wyznaczanie C:** Z Rozwiązania 1 wiemy, że \\(\\angle BDC = 90°\\) i \\(DC = \\sqrt{6}\\). Wektor \\(\\overrightarrow{DB} = (3, -3)\\) ma kierunek \\(-45°\\). Ponieważ \\(DC \\perp DB\\), kierunek \\(\\overrightarrow{DC}\\) wynosi \\(-45° + 90° = 45°\\). Zatem:\n\\[C = D + \\sqrt{6} \\cdot (\\cos 45°,\\, \\sin 45°) = \\left(0 + \\sqrt{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2},\\; 3 + \\sqrt{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = (\\sqrt{3},\\; 3 + \\sqrt{3})\\]\n\n**Krok 2: Wzór Gaussa (sznurówki)**\n\nDla wierzchołków \\(A=(0,0)\\), \\(B=(3,0)\\), \\(C=(\\sqrt{3}, 3+\\sqrt{3})\\), \\(D=(0,3)\\) obchodzonych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_A y_B - x_B y_A) + (x_B y_C - x_C y_B) + (x_C y_D - x_D y_C) + (x_D y_A - x_A y_D)\\right|\\]\n\nPodstawiam kolejno:\n\\[\\underbrace{(0 \\cdot 0 - 3 \\cdot 0)}_{=0} + \\underbrace{(3 \\cdot (3+\\sqrt{3}) - \\sqrt{3} \\cdot 0)}_{= 9 + 3\\sqrt{3}} + \\underbrace{(\\sqrt{3} \\cdot 3 - 0 \\cdot (3+\\sqrt{3}))}_{= 3\\sqrt{3}} + \\underbrace{(0 \\cdot 0 - 0 \\cdot 3)}_{= 0}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|0 + (9 + 3\\sqrt{3}) + 3\\sqrt{3} + 0\\right| = \\frac{1}{2}(9 + 6\\sqrt{3}) = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3}\\]\n\nWynik taki sam jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 - Trygonometria (s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym oraz wartość \\(\\operatorname{tg} 30°\\):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}}, \\qquad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\nUżyte w Kroku 3 do wyznaczenia \\(DC\\).\n\n**Dział 10 - Planimetria (s. 15)** - pole trójkąta prostokątnego:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\ngdzie \\(a, b\\) to przyprostokątne. Użyte do obliczenia \\(P_{ABD}\\) i \\(P_{BCD}\\).\n\n**Dział 2 - Potęgi i pierwiastki (s. 4-5)** - tw. Pitagorasa + upraszczanie wyrażeń:\n\\[BD = \\sqrt{9+9} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}, \\qquad \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{12} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu kątów \\(\\angle DBC\\) i \\(\\angle BDC\\) trzeba ODJĄĆ \\(45°\\) (kąt z trójkąta \\(ABD\\)) od kątów czworokąta. Pomylenie \\(\\angle DBC = 75°\\) (zamiast \\(30°\\)) da zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\) - to częste miejsce błędu rachunkowego. Upewnij się, że upraszczasz \\(\\sqrt{12}\\) do \\(2\\sqrt{3}\\), a nie zostawiasz jako \\(\\sqrt{12}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma kątów czworokąta wypukłego wynosi \\(360°\\). Sprawdzaj: \\(90°+75°+60°+135° = 360°\\) ✓. Jeśli suma nie wychodzi \\(360°\\) - dane są sprzeczne i coś jest nie tak z treścią zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P_{ABCD} = \\dfrac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\dfrac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3})\\) cm\\(^{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Podział na trójkąty przekątną \\(BD\\)\n**Rysunek pomocniczy:** czworokąt \\(ABCD\\) z \\(\\angle A = 90°\\) (róg prosty przy \\(A\\)), \\(|AB| = |AD| = 3\\) cm, przekątna \\(BD\\) dzieli go na dwa trójkąty: \\(\\triangle DAB\\) (prostokątny równoramienny) i \\(\\triangle CDB\\).\n\n**Krok 1 - trójkąt \\(DAB\\) (równoramienny, prostokątny w \\(A\\)):**\n- \\(|AB| = |AD| = 3\\) cm, \\(\\angle A = 90°\\),\n- kąty przy \\(B\\) i \\(D\\) mają po \\(45°\\) (kąty ostre w równoramiennym prostokątnym),\n- przekątna \\(|BD| = \\sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\\sqrt{2}\\) cm,\n- pole: \\(P_{\\triangle DAB} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 3 = \\dfrac{9}{2}\\) cm\\(^{2}\\).\n\n**Krok 2 - kąty trójkąta \\(CDB\\):**\n- Kąt \\(\\angle ADB = 45°\\) (z trójkąta \\(DAB\\)), a \\(\\angle ADC = 135°\\), więc \\(\\angle BDC = 135° - 45° = 90°\\).\n- Trójkąt \\(CDB\\) jest prostokątny w \\(D\\).\n- \\(\\angle DCB = \\angle C = 60°\\).\n- \\(\\angle DBC = 180° - 90° - 60° = 30°\\). Sprawdzenie: \\(\\angle ABD + \\angle DBC = 45° + 30° = 75° = \\angle B\\) ✓.\n\n**Krok 3 - bok \\(CD\\) w trójkącie \\(CDB\\):**\n\\[\\mathrm{ctg}\\,60° = \\dfrac{|CD|}{|BD|} \\Rightarrow |CD| = |BD|\\cdot \\mathrm{ctg}\\,60° = 3\\sqrt{2}\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{3\\sqrt{2}\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{6} \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 4 - pole trójkąta \\(CDB\\):**\n\\[P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{1}{2}\\cdot |CD|\\cdot |BD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{6}\\cdot 3\\sqrt{2} = \\dfrac{3\\sqrt{12}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 2\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Krok 5 - pole czworokąta:**\n\\[P_{ABCD} = P_{\\triangle DAB} + P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\dfrac{9 + 6\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3(3 + 2\\sqrt{3})}{2} \\text{ cm}^{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie sinusów w \\(\\triangle CDB\\)\nZ Kroku 2 (sposób 1): \\(\\angle BDC = 90°\\), \\(\\angle DCB = 60°\\), \\(\\angle DBC = 30°\\), \\(|BD| = 3\\sqrt{2}\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(CDB\\) o kącie \\(60°\\) przy \\(C\\) i \\(30°\\) przy \\(B\\):\n- bok naprzeciw \\(60°\\): \\(|BD| = 3\\sqrt{2}\\) (naprzeciw \\(\\angle C\\)) - to przyprostokątna dłuższa,\n- bok naprzeciw \\(30°\\): \\(|CD|\\) (naprzeciw \\(\\angle B\\)) - przyprostokątna krótsza.\n\nStosunek boków w trójkącie \\(30°-60°-90°\\): \\(|CD| : |BD| = 1 : \\sqrt{3}\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{|BD|}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{6}}{3} = \\sqrt{6}\\).\n\nPole: \\(P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{6}\\cdot 3\\sqrt{2} = \\dfrac{3\\sqrt{12}}{2} = 3\\sqrt{3}\\).\n\n### Weryfikacja sumy kątów czworokąta\n\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C + \\angle D = 90° + 75° + 60° + 135° = 360°\\] ✓ (czworokąt wypukły).\n\n### Komentarz\nKluczowy krok: użycie przekątnej \\(BD\\) do podziału na trójkąt prostokątny równoramienny (\\(DAB\\)) i trójkąt prostokątny (\\(CDB\\)). Rozkład \\(\\angle B = 45° + 30°\\) i \\(\\angle D = 45° + 90°\\) potwierdza spójność konstrukcji.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (6 pkt)
Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio
miary:
90
A =
D
)
,
75
B =
D
)
,
60
C =
D
)
,
135
D =
D
)
, a boki AB i AD mają długość 3 cm.
Sporządź rysunek pomocniczy.

\n

11
Poziom podstawowy
Nr czynności
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

12
Poziom podstawowy
Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: A=90,B=75 ,C=60, D=135 ,a boki AB i AD mają długość 3cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

","answer_text_html":"
  1. Wypełnij tę część karty odpowiedzi, którą koduje zdający.
\n

Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla
egzaminatora.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[P_{ABCD} = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\frac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3}) \\approx 7{,}10 \\text{ cm}^2\\]

\n

Sposób 1 - przekątna BD, dwa trójkąty

\n

Idea: Przekątna \\(BD\\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Liczymy pole każdego osobno.

\n

Krok 1: Trójkąt ABD

\n

\\(\\angle DAB = 90°\\), \\(AB = AD = 3\\) cm - trójkąt prostokątny równoramienny.

\n

\\[P_{ABD} = \\frac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AD = \\frac{1}{2} \\cdot 3 \\cdot 3 = \\frac{9}{2} \\text{ cm}^2\\]

\n

Długość przekątnej (z tw. Pitagorasa):
\\[BD = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{9 + 9} = 3\\sqrt{2} \\text{ cm}\\]

\n

Kąty przy podstawie (trójkąt równoramienny prostokątny):
\\[\\angle ABD = \\angle ADB = 45°\\]

\n

Krok 2: Kąty trójkąta BCD

\n

Przekątna \\(BD\\) „wycina" część kątów \\(\\angle B\\) i \\(\\angle D\\):

\n

\\[\\angle DBC = \\angle ABC - \\angle ABD = 75° - 45° = 30°\\]
\\[\\angle BDC = \\angle ADC - \\angle ADB = 135° - 45° = 90°\\]

\n

Sprawdzenie sumy kątów trójkąta: \\(30° + 90° + 60° = 180°\\) ✓

\n

Krok 3: Pole trójkąta BCD

\n

Trójkąt \\(BCD\\) jest prostokątny przy \\(D\\), z przeciwprostokątną \\(BD = 3\\sqrt{2}\\) i kątem \\(\\angle DBC = 30°\\).

\n

Obliczam brakującą przyprostokątną \\(DC\\):
\\[DC = BD \\cdot \\operatorname{tg}(30°) = 3\\sqrt{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{6} \\text{ cm}\\]

\n

Pole trójkąta BCD (dwie przyprostokątne, kąt prosty między nimi):
\\[P_{BCD} = \\frac{1}{2} \\cdot BD \\cdot DC = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{12} = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} = 3\\sqrt{3} \\text{ cm}^2\\]

\n

Krok 4: Pole czworokąta

\n

\\[P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\frac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3}) \\text{ cm}^2\\]

\n

Sposób 2 - układ współrzędnych i wzór Gaussa

\n

Idea: Umieszczamy \\(A\\) w początku układu, wyznaczamy współrzędne wszystkich wierzchołków, stosujemy wzór sznurówki (Gaussa).

\n

Krok 1: Współrzędne

\n

Ponieważ \\(\\angle A = 90°\\) i \\(AB = AD = 3\\), ustawiamy:
\\[A = (0, 0), \\quad B = (3, 0), \\quad D = (0, 3)\\]

\n

Wyznaczanie C: Z Rozwiązania 1 wiemy, że \\(\\angle BDC = 90°\\) i \\(DC = \\sqrt{6}\\). Wektor \\(\\overrightarrow{DB} = (3, -3)\\) ma kierunek \\(-45°\\). Ponieważ \\(DC \\perp DB\\), kierunek \\(\\overrightarrow{DC}\\) wynosi \\(-45° + 90° = 45°\\). Zatem:
\\[C = D + \\sqrt{6} \\cdot (\\cos 45°,\\, \\sin 45°) = \\left(0 + \\sqrt{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2},\\; 3 + \\sqrt{6} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = (\\sqrt{3},\\; 3 + \\sqrt{3})\\]

\n

Krok 2: Wzór Gaussa (sznurówki)

\n

Dla wierzchołków \\(A=(0,0)\\), \\(B=(3,0)\\), \\(C=(\\sqrt{3}, 3+\\sqrt{3})\\), \\(D=(0,3)\\) obchodzonych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:

\n

\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_A y_B - x_B y_A) + (x_B y_C - x_C y_B) + (x_C y_D - x_D y_C) + (x_D y_A - x_A y_D)\\right|\\]

\n

Podstawiam kolejno:
\\[\\underbrace{(0 \\cdot 0 - 3 \\cdot 0)}{=0} + \\underbrace{(3 \\cdot (3+\\sqrt{3}) - \\sqrt{3} \\cdot 0)}{= 9 + 3\\sqrt{3}} + \\underbrace{(\\sqrt{3} \\cdot 3 - 0 \\cdot (3+\\sqrt{3}))}{= 3\\sqrt{3}} + \\underbrace{(0 \\cdot 0 - 0 \\cdot 3)}{= 0}\\]

\n

\\[P = \\frac{1}{2}\\left|0 + (9 + 3\\sqrt{3}) + 3\\sqrt{3} + 0\\right| = \\frac{1}{2}(9 + 6\\sqrt{3}) = \\frac{9}{2} + 3\\sqrt{3}\\]

\n

Wynik taki sam jak w Sposobie 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 - Trygonometria (s. 11-14) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym oraz wartość \\(\\operatorname{tg} 30°\\):
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}}, \\qquad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]
Użyte w Kroku 3 do wyznaczenia \\(DC\\).

\n

Dział 10 - Planimetria (s. 15) - pole trójkąta prostokątnego:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]
gdzie \\(a, b\\) to przyprostokątne. Użyte do obliczenia \\(P_{ABD}\\) i \\(P_{BCD}\\).

\n

Dział 2 - Potęgi i pierwiastki (s. 4-5) - tw. Pitagorasa + upraszczanie wyrażeń:
\\[BD = \\sqrt{9+9} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}, \\qquad \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{12} = 3\\sqrt{3}\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu kątów \\(\\angle DBC\\) i \\(\\angle BDC\\) trzeba ODJĄĆ \\(45°\\) (kąt z trójkąta \\(ABD\\)) od kątów czworokąta. Pomylenie \\(\\angle DBC = 75°\\) (zamiast \\(30°\\)) da zupełnie inny wynik.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{6} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\) - to częste miejsce błędu rachunkowego. Upewnij się, że upraszczasz \\(\\sqrt{12}\\) do \\(2\\sqrt{3}\\), a nie zostawiasz jako \\(\\sqrt{12}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Suma kątów czworokąta wypukłego wynosi \\(360°\\). Sprawdzaj: \\(90°+75°+60°+135° = 360°\\) ✓. Jeśli suma nie wychodzi \\(360°\\) - dane są sprzeczne i coś jest nie tak z treścią zadania.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P_{ABCD} = \\dfrac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\dfrac{3}{2}(3 + 2\\sqrt{3})\\) cm\\(^{2}\\).

\n
Sposób 1 - Podział na trójkąty przekątną \\(BD\\)
\n

Rysunek pomocniczy: czworokąt \\(ABCD\\) z \\(\\angle A = 90°\\) (róg prosty przy \\(A\\)), \\(|AB| = |AD| = 3\\) cm, przekątna \\(BD\\) dzieli go na dwa trójkąty: \\(\\triangle DAB\\) (prostokątny równoramienny) i \\(\\triangle CDB\\).

\n

Krok 1 - trójkąt \\(DAB\\) (równoramienny, prostokątny w \\(A\\)):

\n\n

Krok 2 - kąty trójkąta \\(CDB\\):

\n\n

Krok 3 - bok \\(CD\\) w trójkącie \\(CDB\\):
\\[\\mathrm{ctg}\\,60° = \\dfrac{|CD|}{|BD|} \\Rightarrow |CD| = |BD|\\cdot \\mathrm{ctg}\\,60° = 3\\sqrt{2}\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{3\\sqrt{2}\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{6} \\text{ cm}.\\]

\n

Krok 4 - pole trójkąta \\(CDB\\):
\\[P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{1}{2}\\cdot |CD|\\cdot |BD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{6}\\cdot 3\\sqrt{2} = \\dfrac{3\\sqrt{12}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 2\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3} \\text{ cm}^{2}.\\]

\n

Krok 5 - pole czworokąta:
\\[P_{ABCD} = P_{\\triangle DAB} + P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{9}{2} + 3\\sqrt{3} = \\dfrac{9 + 6\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3(3 + 2\\sqrt{3})}{2} \\text{ cm}^{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Twierdzenie sinusów w \\(\\triangle CDB\\)
\n

Z Kroku 2 (sposób 1): \\(\\angle BDC = 90°\\), \\(\\angle DCB = 60°\\), \\(\\angle DBC = 30°\\), \\(|BD| = 3\\sqrt{2}\\).

\n

W trójkącie prostokątnym \\(CDB\\) o kącie \\(60°\\) przy \\(C\\) i \\(30°\\) przy \\(B\\):

\n\n

Stosunek boków w trójkącie \\(30°-60°-90°\\): \\(|CD| : |BD| = 1 : \\sqrt{3}\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{|BD|}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{6}}{3} = \\sqrt{6}\\).

\n

Pole: \\(P_{\\triangle CDB} = \\dfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{6}\\cdot 3\\sqrt{2} = \\dfrac{3\\sqrt{12}}{2} = 3\\sqrt{3}\\).

\n
Weryfikacja sumy kątów czworokąta
\n

\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C + \\angle D = 90° + 75° + 60° + 135° = 360°\\] ✓ (czworokąt wypukły).

\n
Komentarz
\n

Kluczowy krok: użycie przekątnej \\(BD\\) do podziału na trójkąt prostokątny równoramienny (\\(DAB\\)) i trójkąt prostokątny (\\(CDB\\)). Rozkład \\(\\angle B = 45° + 30°\\) i \\(\\angle D = 45° + 90°\\) potwierdza spójność konstrukcji.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\\\dfrac{3}{2}(3 + 2\\\\sqrt{3})$ cm$^2$

"}]}