{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n( )\n1\n2\nf x\nx\nx\ndla x\nR\n∈\na) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\nb) Naszkicuj wykres tej funkcji.\nc) Podaj jej miejsca zerowe.\nd) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n( )\nf x\nm\nnie ma\nrozwiązania.\nNr czynności\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\n1.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n3\nDana jest funkcja f(x)=|x-1|-|x+2| dla x rzeczywistych. a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x należacych do (oo,-2). b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Podaj jej miejsce zerowe. d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f(x)=m nie ma rozwiązania.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nDana jest funkcja\n( )\n1\n2\nf x\nx\nx\ndla x\nR\n∈\na) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\nb) Naszkicuj wykres tej funkcji.\nc) Podaj jej miejsca zerowe.\nd) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n( )\nf x\nm\nnie ma\nrozwiązania.\na) Niech\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\n, wtedy:\n1\n0\nx -<\n, czyli\n(\n)\n1\n1\nx\nx\noraz\n2\n0\nx +\n<\n, czyli\n(\n)\n2\n2\nx\nx\nZatem dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\notrzymuję:\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n1\n2\n3\nf x\nx\nx\nx\nx\nFunkcja f dla\n(\n)\n, 2\nx∈-∞-\njest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest\nzbiór { }\n3 .\nb) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję f zapisuję\nw następującej postaci:\n( )\n(\n)\n)\n)\n3\ndla\n, 2\n2\n1 dla\n2,1\n3\ndla\n1,\nx\nf x\nx\nx\nx\n⎧\n∈-∞-\n⎪⎪\n∈-\n⎨\n⎪\n∈\n∞\n⎪⎩\nPoziom rozszerzony\n3\nSzkicuję wykres funkcji f.\nFunkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale (\n)\n2,1\n(co widać na\nsporządzonym wykresie).\nMiejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale:\n2\n1\n0\nx\n, stąd\n0\n1\n2\nx = -\nc) Równanie\n( )\nf x\nm\nnie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu y\nm\nnie przecina wykresu funkcji f, czyli dla\n3\nm < - lub\n3\nm >\ny\nx\n-2\n1\n-3\n3\n-1\nPoziom rozszerzony\n4","solution":"a) $\\{3\\}$\\nc) $x = -\\dfrac{1}{2}$\\nd) $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (3, \\infty)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (5 pkt)
Dana jest funkcja
( )
1
2
f x
x
x
dla x
R
∈
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla
(
)
, 2
x∈-∞-
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
( )
f x
m
nie ma
rozwiązania.
Nr czynności
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
3
Dana jest funkcja f(x)=|x-1|-|x+2| dla x rzeczywistych. a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x należacych do (oo,-2). b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Podaj jej miejsce zerowe. d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f(x)=m nie ma rozwiązania.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (5 pkt)
Dana jest funkcja
( )
1
2
f x
x
x
dla x
R
∈
a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla
(
)
, 2
x∈-∞-
b) Naszkicuj wykres tej funkcji.
c) Podaj jej miejsca zerowe.
d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
( )
f x
m
nie ma
rozwiązania.
a) Niech
(
)
, 2
x∈-∞-
, wtedy:
1
0
x -<
, czyli
(
)
1
1
x
x
oraz
2
0
x +
<
, czyli
(
)
2
2
x
x
Zatem dla
(
)
, 2
x∈-∞-
otrzymuję:
( )
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
3
f x
x
x
x
x
Funkcja f dla
(
)
, 2
x∈-∞-
jest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest
zbiór { }
3 .
b) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję f zapisuję
w następującej postaci:
( )
(
)
)
)
3
dla
, 2
2
1 dla
2,1
3
dla
1,
x
f x
x
x
x
⎧
∈-∞-
⎪⎪
∈-
⎨
⎪
∈
∞
⎪⎩
Poziom rozszerzony
3
Szkicuję wykres funkcji f.
Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale (
)
2,1
(co widać na
sporządzonym wykresie).
Miejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale:
2
1
0
x
, stąd
0
1
2
x = -
c) Równanie
( )
f x
m
nie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu y
m
nie przecina wykresu funkcji f, czyli dla
3
m < - lub
3
m >
y
x
-2
1
-3
3
-1
Poziom rozszerzony
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) {3}\\nc) x=−12\\nd) m∈(−∞,−3)∪(3,∞)

"}]}