{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nNa kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi\n3\n8\nπ\n. Wyznacz miarę\nkąta ostrego rombu.\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\n10.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n14\nNa kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi $\\pi\\sqrt3\\o8$. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (4 pkt)\nNa kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi\n3\n8\nπ\nWyznacz miarę kąta ostrego rombu.\nSporządzam rysunek pomocniczy i wprowadzam następujące oznaczenia:\na - długość boku rombu, r - promień koła wpisanego w romb,\nK\nP - pole koła\nwpisanego w romb,\nR\nP - pole rombu, α - kąt ostry rombu.\nZgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami\n2\nK\nP\nr\nπ\n,\n2\nR\nP\na\nr\n⋅\nZ warunków zadania wynika proporcja:\n2\n3\n2\n8\nK\nR\nP\nr\nP\na\nr\n⋅\nπ\nπ\n, stąd\n3\n2\n8\nr\na =\nZ otrzymanej równości wyznaczam promień okręgu:\n3\n4\nr\na\n⋅\nZ trójkąta prostokątnego AED wyznaczam sinus kąta α :\n2\nsin\nDE\nr\nAD\na\nα =\n3\n2\n3\n4\nsin\n2\na\na\nα\n⋅\nZatem\n60\nD\nα\na\nr\nα\nA\nB\nC\nD\nE\nPoziom rozszerzony\n15","solution":"$\\alpha = 60^\\circ$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (4 pkt)
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi
3
8
π
. Wyznacz miarę
kąta ostrego rombu.
Nr czynności
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
14
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi π3\\o8. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (4 pkt)
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi
3
8
π
Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.
Sporządzam rysunek pomocniczy i wprowadzam następujące oznaczenia:
a - długość boku rombu, r - promień koła wpisanego w romb,
K
P - pole koła
wpisanego w romb,
R
P - pole rombu, α - kąt ostry rombu.
Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami
2
K
P
r
π
,
2
R
P
a
r
⋅
Z warunków zadania wynika proporcja:
2
3
2
8
K
R
P
r
P
a
r
⋅
π
π
, stąd
3
2
8
r
a =
Z otrzymanej równości wyznaczam promień okręgu:
3
4
r
a
⋅
Z trójkąta prostokątnego AED wyznaczam sinus kąta α :
2
sin
DE
r
AD
a
α =
3
2
3
4
sin
2
a
a
α
⋅
Zatem
60
D
α
a
r
α
A
B
C
D
E
Poziom rozszerzony
15

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

α=60∘

"}]}