{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (\n)\nna\nwyraża się wzorem\nn\nn\nSn\n2\n2\ndla\n1\nn ≥.\na) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:\n2\n4\n6\n100\na\na\na\na\nb) Oblicz\n2\nlim\n3\n2\nn\nn\nS\nn\n→∞\nNr czynności\n11.1.\n11.2.\n11.3.\n11.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n15\nBRUDNOPIS\nSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) wyraża się wzorem S_n = 2n^2 + n dla n>=1. a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{100}. b) Oblicz lim_{n->oo}{S_n / 3n^2-2}.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nSuma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (\n)\nna\nwyraża się wzorem\nn\nn\nSn\n2\n2\ndla\n1\nn ≥.\na) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:\n2\n4\n6\n100\na\na\na\na\nb) Oblicz\n2\nlim\n3\n2\nn\nn\nS\nn\n→∞\na) Wyznaczam wzór ogólny ciągu (\n)\nna\n, korzystając z własności sum\nczęściowych ciągów:\n1\nn\nn\nn\na\nS\nS -\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n4\n1\nna\nn\nn\nn\nn\nn\nWyznaczam wartość wyrazu\n2\n7\na =\ni różnicy ciągu (\n2\n4\n100\n,\n, ,\na\na\na\n),\n8\nr =\nObliczam sumę\n50\nn =\npoczątkowych wyrazów ciągu o numerach\nparzystych:\n(\n)\n50\n2 7\n50\n1 8 50\n10150\n2\nS\n⋅\n⋅\n⋅\nb) Obliczam granicę ciągu\n2\n3\n2\nn\nS\nn -\n:\n2\n2\n2\n2\n2\nlim\nlim\n3\n2\n3\n2\n3\nn\nn\nn\nS\nn\nn\nn\nn\n→∞\n→∞\nPoziom rozszerzony\n16\nBRUDNOPIS","solution":"a) $10150$\\nb) $\\dfrac{2}{3}$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (4 pkt)
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (
)
na
wyraża się wzorem
n
n
Sn
2
2
dla
1
n ≥.
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
2
4
6
100
a
a
a
a
b) Oblicz
2
lim
3
2
n
n
S
n
→∞
Nr czynności
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
15
BRUDNOPIS
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) wyraża się wzorem S_n = 2n^2 + n dla n>=1. a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: a_2 + a_4 + a_6 + ... + a_{100}. b) Oblicz lim_{n->oo}{S_n / 3n^2-2}.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (4 pkt)
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (
)
na
wyraża się wzorem
n
n
Sn
2
2
dla
1
n ≥.
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
2
4
6
100
a
a
a
a
b) Oblicz
2
lim
3
2
n
n
S
n
→∞
a) Wyznaczam wzór ogólny ciągu (
)
na
, korzystając z własności sum
częściowych ciągów:
1
n
n
n
a
S
S -
(
)
2
2
2
2
1
1
4
1
na
n
n
n
n
n
Wyznaczam wartość wyrazu
2
7
a =
i różnicy ciągu (
2
4
100
,
, ,
a
a
a
),
8
r =
Obliczam sumę
50
n =
początkowych wyrazów ciągu o numerach
parzystych:
(
)
50
2 7
50
1 8 50
10150
2
S
⋅
⋅
⋅
b) Obliczam granicę ciągu
2
3
2
n
S
n -
:
2
2
2
2
2
lim
lim
3
2
3
2
3
n
n
n
S
n
n
n
n
→∞
→∞
Poziom rozszerzony
16
BRUDNOPIS

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) 10150\\nb) 23

"}]}