{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nRozwiąż nierówność:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\nlog\n1\nlog\n5\nlog\n1\nx\nx\nx\n>\nNr czynności\n2.1.\n2.2.\n2.3.\n2.4.\n2.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n4\nrozwiąż nierówność logarytmiczną","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (5 pkt)\nRozwiąż nierówność:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n1\n3\n3\n3\n3\nlog\n1\nlog\n5\nlog\n1\nx\nx\nx\n>\nWyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej:\n2\n1\n0\n5\n0\n1\n0\nx\nx\nx\n->\n∧\n>\n∧\n+ >\nRozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej:\nDziedziną danej nierówności jest przedział (\n)\n1,5 .\nKorzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną:\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n3\n3\nlog\n1 5\nlog\n3\n1\nx\nx\nx\n⎡\n⎤\n>\n⎣\n⎦\nFunkcja logarytmiczna przy podstawie 1\n3 jest malejąca, więc po opuszczeniu\nlogarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną:\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1 5\n3\n1\nx\nx\nx\n<\nPrzedstawiam ją w postaci iloczynowej:\n(\n)(\n)(\n)\n(\n)\n1\n1 5\n3\n1\nx\nx\nx\nx\n<\n(\n)(\n)(\n)\n(\n)\n1\n1 5\n3\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n<\n(\n) (\n)(\n)\n1\n1 5\n3\n0\nx\nx\nx\n<\n⎡\n⎤\n⎣\n⎦\n(\n)(\n)\n2\n1\n6\n8\n0\nx\nx\nx\n<\n(\n)(\n)(\n)\n1\n2\n4\n0\nx\nx\nx\n<\nRozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów (\n)\n(\n)\n1, 2\n4,\n∪\n∞.\nRozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego\nzbioru i dziedziny: (\n)\n(\n)\n1 2\n4 5\n,\n,\n∪\n0 1\n5\n-1\nx\nPoziom rozszerzony\n5","solution":"$x \\in (1, 2) \\cup (4, 5)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (5 pkt)
Rozwiąż nierówność:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
1
1
3
3
3
3
log
1
log
5
log
1
x
x
x

\n
\n

Nr czynności
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
4
rozwiąż nierówność logarytmiczną

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (5 pkt)
Rozwiąż nierówność:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
1
1
3
3
3
3
log
1
log
5
log
1
x
x
x

\n
\n

Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej:
2
1
0
5
0
1
0
x
x
x
->
∧

\n
\n

∧

\n\n

Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej:
Dziedziną danej nierówności jest przedział (
)
1,5 .
Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną:
(
)(
)
(
)
(
)
2
1
1
3
3
log
1 5
log
3
1
x
x
x
⎡
⎤

\n
\n

⎣
⎦
Funkcja logarytmiczna przy podstawie 1
3 jest malejąca, więc po opuszczeniu
logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną:
(
)(
)
(
)
2
1 5
3
1
x
x
x
<
Przedstawiam ją w postaci iloczynowej:
(
)(
)(
)
(
)
1
1 5
3
1
x
x
x
x
<
(
)(
)(
)
(
)
1
1 5
3
1
0
x
x
x
x
<
(
) (
)(
)
1
1 5
3
0
x
x
x
<
⎡
⎤
⎣
⎦
(
)(
)
2
1
6
8
0
x
x
x
<
(
)(
)(
)
1
2
4
0
x
x
x
<
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów (
)
(
)
1, 2
4,
∪
∞.
Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego
zbioru i dziedziny: (
)
(
)
1 2
4 5
,
,
∪
0 1
5
-1
x
Poziom rozszerzony
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x∈(1,2)∪(4,5)

"}]}