{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym\npromieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień\npółkuli. Objętość stożka stanowi 2\n3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły\nlądownika.\nNr czynności\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n3.4.\n3.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n5\nKapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi 2/3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nKapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym\npromieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień\npółkuli. Objętość stożka stanowi 2\n3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły\nlądownika.\nSporządzam pomocniczy rysunek:\nZapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością:\n1\nh\nr\nObjętość V kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli:\n2\n3\n1\n2\n3\n3\nV\nr\nh\nr\nπ\nπ\n⋅\n(\n)\n2\n3\n1\n2\n1\n3\n3\nr\nr\nr\nπ\nπ\n⋅\nstąd\n3\n2\n1\n3\nV\nr\nr\nπ\nπ\nZależność między objętością\nS\nV stożka i objętością V kapsuły wynikającą\nz treści zadania ma postać:\n2\n3\nS\nV\nV\n, stąd\n(\n)\n2\n3\n2\n1\n2\n1\n1\n3\n3\n3\nr\nr\nr\nr\nπ\nπ\nπ\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n3\n3\n3\nr\nr\nr\nr\nπ\nπ\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n1\n2\n3\nr\nr\n⎛\n⎞\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n3\nr =\nObliczam objętości V kapsuły lądownika:\n3\n2\nm\n27\nV = π\nh\nr\nPoziom rozszerzony\n6","solution":"$V = \\dfrac{2\\pi}{27} \\text{ m}^3$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"stereometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (5 pkt)
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień
półkuli. Objętość stożka stanowi 2
3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
lądownika.
Nr czynności
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
5
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi 2/3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (5 pkt)
Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym
promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień
półkuli. Objętość stożka stanowi 2
3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły
lądownika.
Sporządzam pomocniczy rysunek:
Zapisuję zależność miedzy długością promienia stożka i jego wysokością:
1
h
r
Objętość V kapsuły zapisuję jako sumę objętości stożka i półkuli:
2
3
1
2
3
3
V
r
h
r
π
π
⋅
(
)
2
3
1
2
1
3
3
r
r
r
π
π
⋅
stąd
3
2
1
3
V
r
r
π
π
Zależność między objętością
S
V stożka i objętością V kapsuły wynikającą
z treści zadania ma postać:
2
3
S
V
V
, stąd
(
)
2
3
2
1
2
1
1
3
3
3
r
r
r
r
π
π
π
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
(
)
2
2
1
2
1
1
3
3
3
r
r
r
r
π
π
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1
1
2
3
r
r
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1
3
r =
Obliczam objętości V kapsuły lądownika:
3
2
m
27
V = π
h
r
Poziom rozszerzony
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

V=2π27 m3

"}]}