{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (7 pkt)\nWierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli\n2\n6\ny\nx\nx . Punkt C jest\njej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie\nwspółrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\n5.4.\n5.5.\n5.6.\n5.7.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n7\nWierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y=-x^2+6x. Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy od osi Ox. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (7 pkt)\nWierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli\n2\n6\ny\nx\nx . Punkt C jest\njej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie\nwspółrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.\nAby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli:\n(\n)\n2\n2\n6\n3\n9\ny\nx\nx\nx\n, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (\n)\n3,9 .\nWykonuję rysunek ilustrujący treść zadania:\nA\nB\nx\ny\n600\n0\n3\n6\n9\n600\nC\nTrójkąt ABC jest równoboczny, więc kąt BAC ma miarę 60D . Współczynnik\nkierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i C jest więc równy\ntg60\n3\nD\nWyznaczam równanie prostej AC:\nprosta\n3\ny\nx\nb\nprzechodzi przez punkt\n(\n)\n3,9\nC =\n, więc współczynnik b jest\nrówny\n3 3\n9\nb = -\nProsta AC ma równanie:\n3\n3 3\n9\ny\nx\nPoziom rozszerzony\n8\nAby\nwyznaczyć\nwspółrzędne\npunktu\nA\nrozwiązuję\nukład\nrównań:\n2\n3\n3 3\n9\n6\ny\nx\ny\nx\nx\n⎧\n⎪⎨\n⎪⎩\nPo\ndokonaniu\npodstawienia\n2\n6\ny\nx\nx\notrzymuję\nrównanie\n2\n3\n3 3\n9\n6\nx\nx\nx\n, które po uporządkowaniu przyjmuje postać:\n(\n)\n2\n3\n6\n9\n3 3\n0.\nx\nx\nRozwiązaniem równania są liczby:\n1\n3\nx = ,\n2\n3\n3\nx =\nWspółrzędne punktów przecięcia prostej AC z parabolą\n2\n6\ny\nx\nx\nsą więc\nnastępujące: (\n)\n3\n3,6\noraz (\n)\n3,9 .\nPunkt (\n)\n3,9 jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt A ma współrzędne\n(\n)\n3\n3,6\nWspółrzędne punktu B wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli\n2\n6\ny\nx\nx\njest prosta\n3\nx =\n. Punkt B jest więc obrazem punktu A w symetrii\nwzględem tej prostej, czyli\n(\n)\n3\n3,6\nB =\nPoziom rozszerzony\n9","solution":"$A = (3 - \\sqrt{3}, 6)$, $B = (3 + \\sqrt{3}, 6)$, $C = (3, 9)$","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (7 pkt)
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli
2
6
y
x
x . Punkt C jest
jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie
współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Nr czynności
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
7
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y=-x^2+6x. Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy od osi Ox. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (7 pkt)
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli
2
6
y
x
x . Punkt C jest
jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi Ox. Sporządź rysunek w układzie
współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Aby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli:
(
)
2
2
6
3
9
y
x
x
x
, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (
)
3,9 .
Wykonuję rysunek ilustrujący treść zadania:
A
B
x
y
600
0
3
6
9
600
C
Trójkąt ABC jest równoboczny, więc kąt BAC ma miarę 60D . Współczynnik
kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i C jest więc równy
tg60
3
D
Wyznaczam równanie prostej AC:
prosta
3
y
x
b
przechodzi przez punkt
(
)
3,9
C =
, więc współczynnik b jest
równy
3 3
9
b = -
Prosta AC ma równanie:
3
3 3
9
y
x
Poziom rozszerzony
8
Aby
wyznaczyć
współrzędne
punktu
A
rozwiązuję
układ
równań:
2
3
3 3
9
6
y
x
y
x
x
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Po
dokonaniu
podstawienia
2
6
y
x
x
otrzymuję
równanie
2
3
3 3
9
6
x
x
x
, które po uporządkowaniu przyjmuje postać:
(
)
2
3
6
9
3 3
0.
x
x
Rozwiązaniem równania są liczby:
1
3
x = ,
2
3
3
x =
Współrzędne punktów przecięcia prostej AC z parabolą
2
6
y
x
x
są więc
następujące: (
)
3
3,6
oraz (
)
3,9 .
Punkt (
)
3,9 jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt A ma współrzędne
(
)
3
3,6
Współrzędne punktu B wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli
2
6
y
x
x
jest prosta
3
x =
. Punkt B jest więc obrazem punktu A w symetrii
względem tej prostej, czyli
(
)
3
3,6
B =
Poziom rozszerzony
9

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

A=(3−3,6), B=(3+3,6), C=(3,9)

"}]}