{"id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2007,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (7 pkt)\nDany jest układ równań:\n2\n⎧\n⎨+\n⎩\nmx\ny\nx\nmy\nm\nDla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (\n)\nx,y , która jest rozwiązaniem tego\nukładu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x\ny\ndla\n2,4\nm∈\n\nPoziom rozszerzony\n9\nNr czynności\n7.1.\n7.2.\n7.3.\n7.4.\n7.5.\n7.6.\n7.7.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\n10\nDany jest układ równań: {mx-y=2 x+my=m}. Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (x,y), która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x+y dla m w <2,4>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (7 pkt)\nDany jest układ równań:\n2\n⎧\n⎨+\n⎩\nmx\ny\nx\nmy\nm\nDla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (\n)\nx,y , która jest rozwiązaniem tego\nukładu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x\ny\ndla\n2,4\nm∈\nRozwiązaniem układu równań\n2\nmx\ny\nx\nmy\nm\n⎧\n⎨+\n⎩\ndla każdego m\nR\n∈\njest para liczb\n2\n2\n2\n3\n1\n2 .\n1\nm\nx\nm\nm\ny\nm\n⎧=\n⎪⎪\n⎨\n⎪\n⎪\n⎩\nSumę x\ny\nzapisuję w postaci funkcji ( )\n2\n2\n3\n2\n1\nm\nm\nf m\nm\n, m\nR\n∈\nAby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną\nfunkcji f:\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n6\n3\n1\nm\nm\nf\nm\nm\n′\n, m\nR\n∈\nObliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f:\n( ) 0\nf\nm\n′\ngdy\n2\n3\n6\n3\n0\nm\nm\nRozwiązaniami równania są liczby:\n1\n1\n2\nm = -\n,\n2\n1\n2\nm = +\n, przy czym\n1\n2,4\nm ∉\nBadam znak pochodnej w przedziale 2,4 :\nPonieważ\n( )\n(\n)\n0 dla\n2, 1\n2\nf\nm\nm\n′\n>\n∈\n, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale\n)\n2, 1\n2\n. Ponieważ\n( )\n(\n)\n0 dla\n1\n2, 4\nf\nm\nm\n′\n<\n∈\n, więc funkcja f jest\nmalejąca w przedziale (1\n2, 4\nStąd wnioskuję, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców\nprzedziału 2,4 .\nPoziom rozszerzony\n11\nObliczam wartość funkcji f na końcach przedziału:\n( )\n8\n2\n5\nf\noraz\n( )\n26\n4\n17\nf\ni porównuję otrzymane liczby.\nNajmniejszą wartością sumy x\ny\njest ( )\n26\n4\n17\nf\nPoziom rozszerzony\n12","solution":"$x = \\dfrac{3m}{m^2 + 1}$, $y = \\dfrac{m^2 - 2}{m^2 + 1}$. Najmniejsza wartość sumy to $\\dfrac{26}{17}$.","image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2007 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (7 pkt)
Dany jest układ równań:
2
⎧
⎨+
⎩
mx
y
x
my
m
Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (
)
x,y , która jest rozwiązaniem tego
układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x
y
dla
2,4
m∈

\n

Poziom rozszerzony
9
Nr czynności
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom rozszerzony
10
Dany jest układ równań: {mx-y=2 x+my=m}. Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (x,y), która jest rozwiązaniem tego układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x+y dla m w <2,4>.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (7 pkt)
Dany jest układ równań:
2
⎧
⎨+
⎩
mx
y
x
my
m
Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb (
)
x,y , która jest rozwiązaniem tego
układu równań. Wyznacz najmniejszą wartość sumy x
y
dla
2,4
m∈
Rozwiązaniem układu równań
2
mx
y
x
my
m
⎧
⎨+
⎩
dla każdego m
R
∈
jest para liczb
2
2
2
3
1
2 .
1
m
x
m
m
y
m
⎧=
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Sumę x
y
zapisuję w postaci funkcji ( )
2
2
3
2
1
m
m
f m
m
, m
R
∈
Aby znaleźć najmniejszą wartość sumy w danym przedziale obliczam pochodną
funkcji f:
( )
(
)
2
2
2
3
6
3
1
m
m
f
m
m
′
, m
R
∈
Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f:
( ) 0
f
m
′
gdy
2
3
6
3
0
m
m
Rozwiązaniami równania są liczby:
1
1
2
m = -
,
2
1
2
m = +
, przy czym
1
2,4
m ∉
Badam znak pochodnej w przedziale 2,4 :
Ponieważ
( )
(
)
0 dla
2, 1
2
f
m
m
′

\n
\n

∈
, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale
)
2, 1
2
. Ponieważ
( )
(
)
0 dla
1
2, 4
f
m
m
′
<
∈
, więc funkcja f jest
malejąca w przedziale (1
2, 4
Stąd wnioskuję, że funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość w jednym z końców
przedziału 2,4 .
Poziom rozszerzony
11
Obliczam wartość funkcji f na końcach przedziału:
( )
8
2
5
f
oraz
( )
26
4
17
f
i porównuję otrzymane liczby.
Najmniejszą wartością sumy x
y
jest ( )
26
4
17
f
Poziom rozszerzony
12

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x=3mm2+1, y=m2−2m2+1. Najmniejsza wartość sumy to 2617.

"}]}