{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nNa poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji\n( )\ny\nf x\nKorzystając z tego wykresu:\na) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,\nb) podaj wartość funkcji f dla argumentu\n1\n10\nx = -\n,\nc) wyznacz równanie prostej BC ,\nd) oblicz długość odcinka BC .\n1\n1\n2\n2\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-1\n-1\n0\n3\n3\n4\ny\nx\nA\nB\nC\nD\n\nPoziom podstawowy\n3\nNr zadania\n1.1\n1.2\n1.3\n1.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n4\nNa poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji y=f(x).Koszystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f, b) podaj wartości funkcji f dla argumentu x=1-\\sqrt{10}, c) wyznacz równanie prostej BC, d)oblicz długość odcinka BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (4 pkt)\nNa poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji\n( )\ny\nf x\nKorzystając z tego wykresu:\na) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,\nb) podaj wartość funkcji f dla argumentu\n1\n10\nx = -\n,\nc) wyznacz równanie prostej BC ,\nd) oblicz długość odcinka BC .\na) Zbiór wartości funkcji f odczytuję z wykresu. Jest nim przedział\n4, 3\nb) Zauważam, że\n3\n1\n10\n2\n-<\n< -. Z wykresu odczytuję, że w przedziale\n3,\n2\nfunkcja f jest stała i dla każdego argumentu z tego przedziału\nprzyjmuje wartość (\n)\n4\n, zatem wartością funkcji f dla argumentu\n1\n10\nx = -\njest (\n)\n4\n, co można zapisać (\n)\n1\n10\n4\nf\nc) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty\n(\n)\n2, 4\nB = -\ni\n(\n)\n2,3\nC =\n:\n(\n)\n4\n3\n3\n2\n2\n2\ny\nx\nstąd\n7\n1\n4\n2\ny\nx\nObliczam długość odcinka BC:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n65\nBC =\n1\n1\n2\n2\n-2\n-2\n-3\n-3\n-4\n-1\n-1\n0\n3\n3\n4\ny\nx\nA\nB\nC\nD\nPoziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) \\(\\langle -4, 3 \\rangle\\) - b) \\(f(1 - \\sqrt{10}) = -4\\) - c) \\(y = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}\\) - d) \\(|BC| = \\sqrt{65}\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu + obliczenia\n\nKorzystamy z danych: \\(A = (-3, -4)\\), \\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\), \\(D = (4, 3)\\).\n\n### a) Zbiór wartości funkcji \\(f\\)\n\nWykres to łamana - funkcja ciągła. Patrzymy na **minimalne i maksymalne wartości \\(y\\)**:\n\n- Odcinek \\(AB\\): poziomy na wysokości \\(y = -4\\) - to minimum.\n- Odcinek \\(CD\\): poziomy na wysokości \\(y = 3\\) - to maksimum.\n- Odcinek \\(BC\\): rosnący, łączy oba poziomy.\n\nFunkcja przyjmuje **każdą wartość** od \\(-4\\) do \\(3\\) włącznie (łamana jest ciągła, nie ma skoków).\n\n\\[\\boxed{ZW(f) = \\langle -4,\\, 3 \\rangle}\\]\n\n### b) Wartość \\(f(1 - \\sqrt{10})\\)\n\nMusimy ustalić, **gdzie leży argument** \\(x_0 = 1 - \\sqrt{10}\\) na osi \\(x\\).\n\nSzacujemy: \\(\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\), więc \\(x_0 \\approx 1 - 3{,}162 = -2{,}162\\).\n\nSprawdzamy dokładnie, czy \\(-3 \\leq 1 - \\sqrt{10} \\leq -2\\):\n\n- Nierówność lewa: \\(1 - \\sqrt{10} \\geq -3 \\iff 4 \\geq \\sqrt{10} \\iff 16 \\geq 10\\) ✓\n- Nierówność prawa: \\(1 - \\sqrt{10} \\leq -2 \\iff 3 \\leq \\sqrt{10} \\iff 9 \\leq 10\\) ✓\n\n**Zatem \\(x_0 \\in [-3, -2]\\)**, czyli argument leży na odcinku \\(AB\\) - poziomym na wysokości \\(y = -4\\).\n\n\\[\\boxed{f(1 - \\sqrt{10}) = -4}\\]\n\n### c) Równanie prostej \\(BC\\)\n\nDane punkty: \\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\).\n\n**Krok 1 - współczynnik kierunkowy:**\n\\[a = \\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \\frac{3 - (-4)}{2 - (-2)} = \\frac{7}{4}\\]\n\n**Krok 2 - równanie prostej** (wzór z punktem \\(C\\)):\n\\[y - 3 = \\frac{7}{4}(x - 2)\\]\n\\[y = \\frac{7}{4}x - \\frac{14}{4} + 3 = \\frac{7}{4}x - \\frac{7}{2} + \\frac{6}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzenie punktem \\(B\\):** \\(y = \\frac{7}{4} \\cdot (-2) - \\frac{1}{2} = -\\frac{7}{2} - \\frac{1}{2} = -4\\) ✓\n\n### d) Długość odcinka \\(BC\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (3-(-4))^2}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 7^2} = \\sqrt{16 + 49}\\]\n\n\\[\\boxed{|BC| = \\sqrt{65}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez parametryzację odcinka \\(BC\\)\n\nJako kontrolę równania prostej \\(BC\\) możemy wypisać parametryczną postać odcinka.\n\nWektor kierunkowy \\(\\vec{BC} = [2-(-2),\\; 3-(-4)] = [4, 7]\\).\n\nProsta \\(BC\\) przechodzi przez \\(B = (-2, -4)\\):\n\\[\\begin{cases} x = -2 + 4t \\\\ y = -4 + 7t \\end{cases}, \\quad t \\in [0, 1]\\]\n\nEliminujemy \\(t\\): z pierwszego równania \\(t = \\frac{x+2}{4}\\), podstawiamy:\n\\[y = -4 + 7 \\cdot \\frac{x+2}{4} = -4 + \\frac{7x + 14}{4} = \\frac{-16 + 7x + 14}{4} = \\frac{7x - 2}{4} = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}\\]\n\nWynik zgodny z Częścią c). ✓\n\nDługość odcinka \\(BC\\) można też policzyć jako:\n\\[|BC| = |\\vec{BC}| = \\sqrt{4^2 + 7^2} = \\sqrt{65}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka między punktami \\(A = (x_A, y_A)\\) i \\(B = (x_B, y_B)\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte w podpunkcie **d)** do obliczenia \\(|BC|\\).\n\nRównanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\nUżyte w podpunkcie **c)** do wyznaczenia prostej \\(BC\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W podpunkcie b) nie wystarczy powiedzieć „\\(x_0\\) jest ujemny, więc \\(f = -4\\)\". Trzeba **ścisłe nierówności algebraiczne** - sprawdzić, że \\(x_0\\) leży właśnie na odcinku \\(AB\\), a nie na \\(BC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając współczynnik kierunkowy \\(a\\), łatwo pomylić kolejność odejmowania - zawsze \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), czyli zmiany \\(y\\) przez zmiany \\(x\\), **nie odwrotnie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości funkcji to wartości \\(y\\), nie \\(x\\). Częsty błąd to podanie dziedziny \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\) zamiast zbioru wartości \\(\\langle -4, 3 \\rangle\\).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(\\langle-4, 3\\rangle\\); b) \\(-4\\); c) \\(y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}\\); d) \\(|BC| = \\sqrt{65}\\).\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu i rachunki analityczne\n**a) Zbiór wartości funkcji.**\nZ wykresu odczytujemy: najmniejsza wartość funkcji to \\(-4\\) (odcinek \\(AB\\)), największa to \\(3\\) (odcinek \\(CD\\)). Funkcja jako łamana przyjmuje wszystkie wartości pośrednie (odcinek \\(BC\\) jest ciągły i liniowy). Stąd:\n\\[\\text{Z}_f = \\langle-4, 3\\rangle.\\]\n\n**b) Wartość \\(f(1-\\sqrt{10})\\).**\nSzacujemy: \\(\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\), więc \\(1-\\sqrt{10} \\approx -2{,}162\\). Dokładniej:\n\\[\\sqrt{9} < \\sqrt{10} < \\sqrt{16} \\Rightarrow 3 < \\sqrt{10} < 4 \\Rightarrow -4 < 1-\\sqrt{10} < -2 \\Rightarrow -3 < 1-\\sqrt{10} < -2.\\]\n\nArgument leży w przedziale \\(\\langle-3, -2\\rangle\\), czyli na odcinku \\(AB\\), gdzie funkcja przyjmuje stałą wartość \\(-4\\):\n\\[f(1-\\sqrt{10}) = -4.\\]\n\n**c) Równanie prostej \\(BC\\).**\n\\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\). Współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)} = \\dfrac{7}{4}.\\]\nRównanie: \\(y - 3 = \\dfrac{7}{4}(x-2)\\), czyli:\n\\[y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{7}{2} + 3 = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n**d) Długość odcinka \\(BC\\).**\n\\[|BC| = \\sqrt{(2-(-2))^{2} + (3-(-4))^{2}} = \\sqrt{16 + 49} = \\sqrt{65}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie równania prostej przez układ równań\nPodstawiamy punkty \\(B\\) i \\(C\\) do równania \\(y = ax + b\\):\n\\[\\begin{cases} -4 = -2a + b \\\\ 3 = 2a + b \\end{cases}\\]\nOdejmując: \\(7 = 4a \\Rightarrow a = \\dfrac{7}{4}\\). Z drugiego: \\(b = 3 - 2\\cdot\\dfrac{7}{4} = 3 - \\dfrac{7}{2} = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKluczowa obserwacja w b): zamiast liczyć \\(1-\\sqrt{10}\\) dokładnie, wystarczy oszacować do jakiego przedziału należy, bo funkcja na \\(\\langle-3, -2\\rangle\\) jest stała.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (4 pkt)
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji
( )
y
f x
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,
b) podaj wartość funkcji f dla argumentu
1
10
x = -
,
c) wyznacz równanie prostej BC ,
d) oblicz długość odcinka BC .
1
1
2
2
-2
-2
-3
-3
-4
-1
-1
0
3
3
4
y
x
A
B
C
D

\n

Poziom podstawowy
3
Nr zadania
1.1
1.2
1.3
1.4
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
4
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji y=f(x).Koszystając z tego wykresu: a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f, b) podaj wartości funkcji f dla argumentu x=1-\\sqrt{10}, c) wyznacz równanie prostej BC, d)oblicz długość odcinka BC.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (4 pkt)
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną ABCD, która jest wykresem funkcji
( )
y
f x
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f ,
b) podaj wartość funkcji f dla argumentu
1
10
x = -
,
c) wyznacz równanie prostej BC ,
d) oblicz długość odcinka BC .
a) Zbiór wartości funkcji f odczytuję z wykresu. Jest nim przedział
4, 3
b) Zauważam, że
3
1
10
2
-<
< -. Z wykresu odczytuję, że w przedziale
3,
2
funkcja f jest stała i dla każdego argumentu z tego przedziału
przyjmuje wartość (
)
4
, zatem wartością funkcji f dla argumentu
1
10
x = -
jest (
)
4
, co można zapisać (
)
1
10
4
f
c) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty
(
)
2, 4
B = -
i
(
)
2,3
C =
:
(
)
4
3
3
2
2
2
y
x
stąd
7
1
4
2
y
x
Obliczam długość odcinka BC:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
4
65
BC =
1
1
2
2
-2
-2
-3
-3
-4
-1
-1
0
3
3
4
y
x
A
B
C
D
Poziom podstawowy
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(\\langle -4, 3 \\rangle\\) - b) \\(f(1 - \\sqrt{10}) = -4\\) - c) \\(y = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}\\) - d) \\(|BC| = \\sqrt{65}\\)

\n

Sposób 1 - odczyt z wykresu + obliczenia

\n

Korzystamy z danych: \\(A = (-3, -4)\\), \\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\), \\(D = (4, 3)\\).

\n
a) Zbiór wartości funkcji \\(f\\)
\n

Wykres to łamana - funkcja ciągła. Patrzymy na minimalne i maksymalne wartości \\(y\\):

\n\n

Funkcja przyjmuje każdą wartość od \\(-4\\) do \\(3\\) włącznie (łamana jest ciągła, nie ma skoków).

\n

\\[\\boxed{ZW(f) = \\langle -4,\\, 3 \\rangle}\\]

\n
b) Wartość \\(f(1 - \\sqrt{10})\\)
\n

Musimy ustalić, gdzie leży argument \\(x_0 = 1 - \\sqrt{10}\\) na osi \\(x\\).

\n

Szacujemy: \\(\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\), więc \\(x_0 \\approx 1 - 3{,}162 = -2{,}162\\).

\n

Sprawdzamy dokładnie, czy \\(-3 \\leq 1 - \\sqrt{10} \\leq -2\\):

\n\n

Zatem \\(x_0 \\in [-3, -2]\\), czyli argument leży na odcinku \\(AB\\) - poziomym na wysokości \\(y = -4\\).

\n

\\[\\boxed{f(1 - \\sqrt{10}) = -4}\\]

\n
c) Równanie prostej \\(BC\\)
\n

Dane punkty: \\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\).

\n

Krok 1 - współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \\frac{3 - (-4)}{2 - (-2)} = \\frac{7}{4}\\]

\n

Krok 2 - równanie prostej (wzór z punktem \\(C\\)):
\\[y - 3 = \\frac{7}{4}(x - 2)\\]
\\[y = \\frac{7}{4}x - \\frac{14}{4} + 3 = \\frac{7}{4}x - \\frac{7}{2} + \\frac{6}{2}\\]

\n

\\[\\boxed{y = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}}\\]

\n

Sprawdzenie punktem \\(B\\): \\(y = \\frac{7}{4} \\cdot (-2) - \\frac{1}{2} = -\\frac{7}{2} - \\frac{1}{2} = -4\\) ✓

\n
d) Długość odcinka \\(BC\\)
\n

Korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów:
\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (3-(-4))^2}\\]
\\[|BC| = \\sqrt{4^2 + 7^2} = \\sqrt{16 + 49}\\]

\n

\\[\\boxed{|BC| = \\sqrt{65}}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez parametryzację odcinka \\(BC\\)

\n

Jako kontrolę równania prostej \\(BC\\) możemy wypisać parametryczną postać odcinka.

\n

Wektor kierunkowy \\(\\vec{BC} = [2-(-2),\\; 3-(-4)] = [4, 7]\\).

\n

Prosta \\(BC\\) przechodzi przez \\(B = (-2, -4)\\):
\\[\\begin{cases} x = -2 + 4t \\\\ y = -4 + 7t \\end{cases}, \\quad t \\in [0, 1]\\]

\n

Eliminujemy \\(t\\): z pierwszego równania \\(t = \\frac{x+2}{4}\\), podstawiamy:
\\[y = -4 + 7 \\cdot \\frac{x+2}{4} = -4 + \\frac{7x + 14}{4} = \\frac{-16 + 7x + 14}{4} = \\frac{7x - 2}{4} = \\frac{7}{4}x - \\frac{1}{2}\\]

\n

Wynik zgodny z Częścią c). ✓

\n

Długość odcinka \\(BC\\) można też policzyć jako:
\\[|BC| = |\\vec{BC}| = \\sqrt{4^2 + 7^2} = \\sqrt{65}\\] ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Długość odcinka między punktami \\(A = (x_A, y_A)\\) i \\(B = (x_B, y_B)\\):
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyte w podpunkcie d) do obliczenia \\(|BC|\\).

\n

Równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]
Użyte w podpunkcie c) do wyznaczenia prostej \\(BC\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W podpunkcie b) nie wystarczy powiedzieć „\\(x_0\\) jest ujemny, więc \\(f = -4\\)". Trzeba ścisłe nierówności algebraiczne - sprawdzić, że \\(x_0\\) leży właśnie na odcinku \\(AB\\), a nie na \\(BC\\).
\n
⚠️ Uwaga: Obliczając współczynnik kierunkowy \\(a\\), łatwo pomylić kolejność odejmowania - zawsze \\(\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), czyli zmiany \\(y\\) przez zmiany \\(x\\), nie odwrotnie.
\n
⚠️ Uwaga: Zbiór wartości funkcji to wartości \\(y\\), nie \\(x\\). Częsty błąd to podanie dziedziny \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\) zamiast zbioru wartości \\(\\langle -4, 3 \\rangle\\).
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(\\langle-4, 3\\rangle\\); b) \\(-4\\); c) \\(y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}\\); d) \\(|BC| = \\sqrt{65}\\).

\n
Sposób 1 - Odczyt z wykresu i rachunki analityczne
\n

a) Zbiór wartości funkcji.
Z wykresu odczytujemy: najmniejsza wartość funkcji to \\(-4\\) (odcinek \\(AB\\)), największa to \\(3\\) (odcinek \\(CD\\)). Funkcja jako łamana przyjmuje wszystkie wartości pośrednie (odcinek \\(BC\\) jest ciągły i liniowy). Stąd:
\\[\\text{Z}_f = \\langle-4, 3\\rangle.\\]

\n

b) Wartość \\(f(1-\\sqrt{10})\\).
Szacujemy: \\(\\sqrt{10} \\approx 3{,}162\\), więc \\(1-\\sqrt{10} \\approx -2{,}162\\). Dokładniej:
\\[\\sqrt{9} < \\sqrt{10} < \\sqrt{16} \\Rightarrow 3 < \\sqrt{10} < 4 \\Rightarrow -4 < 1-\\sqrt{10} < -2 \\Rightarrow -3 < 1-\\sqrt{10} < -2.\\]

\n

Argument leży w przedziale \\(\\langle-3, -2\\rangle\\), czyli na odcinku \\(AB\\), gdzie funkcja przyjmuje stałą wartość \\(-4\\):
\\[f(1-\\sqrt{10}) = -4.\\]

\n

c) Równanie prostej \\(BC\\).
\\(B = (-2, -4)\\), \\(C = (2, 3)\\). Współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\dfrac{3-(-4)}{2-(-2)} = \\dfrac{7}{4}.\\]
Równanie: \\(y - 3 = \\dfrac{7}{4}(x-2)\\), czyli:
\\[y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{7}{2} + 3 = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}.\\]

\n

d) Długość odcinka \\(BC\\).
\\[|BC| = \\sqrt{(2-(-2))^{2} + (3-(-4))^{2}} = \\sqrt{16 + 49} = \\sqrt{65}.\\]

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie równania prostej przez układ równań
\n

Podstawiamy punkty \\(B\\) i \\(C\\) do równania \\(y = ax + b\\):
\\[\\begin{cases} -4 = -2a + b \\\\ 3 = 2a + b \\end{cases}\\]
Odejmując: \\(7 = 4a \\Rightarrow a = \\dfrac{7}{4}\\). Z drugiego: \\(b = 3 - 2\\cdot\\dfrac{7}{4} = 3 - \\dfrac{7}{2} = -\\dfrac{1}{2}\\).

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Kluczowa obserwacja w b): zamiast liczyć \\(1-\\sqrt{10}\\) dokładnie, wystarczy oszacować do jakiego przedziału należy, bo funkcja na \\(\\langle-3, -2\\rangle\\) jest stała.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $\\langle -4, 3 \\rangle$, b) $-4$, c) $y = \\dfrac{7}{4}x - \\dfrac{1}{2}$, d) $\\sqrt{65}$

"}]}