{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem ( )\na\nh x\nx\ndla\n0\nx ≠\nWiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt\n(\n)\n2,5\nP =\na) Oblicz wartość współczynnika a .\nb) Ustal, czy liczba ( )\n(\n)\nh\nh\nπ -\n-π jest dodatnia czy ujemna.\nc) Rozwiąż nierówność ( )\n5\nh x >\n1\n1\nx\ny\n\nPoziom podstawowy\n15\nNr zadania\n10.1\n10.2\n10.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h, określonej wzorem h(x)=a/x dla x różnego od 0. Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P=(2,5). a) Oblicz wartość współczynnika a. b) Ustal, czy liczba h(\\pi)-h(-\\pi) jest dodatnia czy ujemna. c) Rozwiąż nierówność h(x)>5. Matura 2008. Zadanie. Hiperbola.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nRysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem ( )\na\nh x\nx\ndla\n0\nx ≠\nWiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt\n(\n)\n2,5\nP =\na) Oblicz wartość współczynnika a .\nb) Ustal, czy liczba ( )\n(\n)\nh\nh\nπ -\n-π jest dodatnia czy ujemna.\nc) Rozwiąż nierówność ( )\n5\nh x >\n(\n)\n2,5\nP =\n1\n1\nx\ny\na) Korzystam z faktu, że punkt\n(\n)\n2,5\nP =\nnależy do wykresu funkcji h\ni wyznaczam współczynnik a: 5\n2\na\nstąd a=10.\nFunkcja h jest dana wzorem: ( )\n10\nh x\nx\nb) Z wykresu odczytuję, że\n(\n)\n0\nh\nπ\n<\n, natomiast\n( )\n0\nh π >\n. Stąd wynika, że\n( )\n(\n)\nh\nh\nπ -\n-π jest liczbą dodatnią.\nZ informacji podanej w zadaniu wiem, że wykres funkcji h przechodzi przez\npunkt\n(\n)\n2,5\nP =\n. Odczytuję rozwiązanie nierówności ( )\n5\nh x > z wykresu: jest to\nprzedział (\n)\n0,2 .\nPoziom podstawowy\n12","solution":"## Poprawna odpowiedź:\na) \\(a = 10\\) - b) \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest **dodatnia** - c) \\(x \\in (0, 2)\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu i analiza bezpośrednia\n\n### Część a) Wyznaczenie współczynnika \\(a\\)\n\nPunkt \\(P = (2, 5)\\) należy do wykresu funkcji \\(h\\), więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji:\n\\[h(2) = 5\\]\n\\[\\frac{a}{2} = 5\\]\n\\[\\boxed{a = 10}\\]\n\nZatem wzór funkcji to:\n\\[h(x) = \\frac{10}{x}\\]\n\n### Część b) Znak wyrażenia \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\)\n\nObliczamy każdą wartość osobno:\n\\[h(\\pi) = \\frac{10}{\\pi}\\]\n\\[h(-\\pi) = \\frac{10}{-\\pi} = -\\frac{10}{\\pi}\\]\n\nZatem:\n\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = \\frac{10}{\\pi} - \\left(-\\frac{10}{\\pi}\\right) = \\frac{10}{\\pi} + \\frac{10}{\\pi} = \\frac{20}{\\pi}\\]\n\nPonieważ \\(\\pi > 0\\), mamy \\(\\frac{20}{\\pi} > 0\\).\n\n**Wyrażenie \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest dodatnie.**\n\n### Część c) Rozwiązanie nierówności \\(h(x) > 5\\)\n\nPodstawiamy \\(h(x) = \\frac{10}{x}\\):\n\\[\\frac{10}{x} > 5\\]\n\n**Uwaga:** nie możemy od razu mnożyć obu stron przez \\(x\\), bo nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\). Rozpatrujemy dwa przypadki.\n\n**Przypadek 1: \\(x > 0\\)**\n\nMnożymy obie strony przez \\(x > 0\\) - kierunek nierówności się nie zmienia:\n\\[10 > 5x\\]\n\\[x < 2\\]\n\nŁącząc z założeniem \\(x > 0\\): \\(\\quad x \\in (0, 2)\\)\n\n**Przypadek 2: \\(x < 0\\)**\n\nMnożymy obie strony przez \\(x < 0\\) - **kierunek nierówności się odwraca**:\n\\[10 < 5x\\]\n\\[x > 2\\]\n\nOtrzymalibyśmy \\(x < 0\\) i \\(x > 2\\) jednocześnie - to sprzeczność, brak rozwiązań.\n\n**Odpowiedź:** \\[x \\in (0, 2)\\]\n\n## Sposób 2 - przekształcenie nierówności do postaci z jednym ułamkiem\n\n### Część c) alternatywnie\n\nPrzenosimy \\(5\\) na lewą stronę:\n\\[\\frac{10}{x} - 5 > 0\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[\\frac{10 - 5x}{x} > 0\\]\n\n\\[\\frac{5(2 - x)}{x} > 0\\]\n\nIloraz jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają **ten sam znak**. Badamy znaki czynników:\n\n| Przedział | \\(2 - x\\) | \\(x\\) | \\(\\frac{5(2-x)}{x}\\) |\n| \\(x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(0 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n\nNierówność jest spełniona dla \\(x \\in (0, 2)\\). Wynik ten samo co w Sposobie 1. ✓\n\n### Weryfikacja części b) - obserwacja ogólna\n\nDla każdej funkcji postaci \\(h(x) = \\frac{a}{x}\\) zachodzi własność:\n\\[h(-x) = \\frac{a}{-x} = -\\frac{a}{x} = -h(x)\\]\n\nJest to funkcja **nieparzysta** (symetryczna względem początku układu współrzędnych). Zatem:\n\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = h(\\pi) - (-h(\\pi)) = 2h(\\pi) = \\frac{20}{\\pi} > 0\\]\n\nTę obserwację widać też na rysunku - wykres hiperboli leży w I i III ćwiartce (bo \\(a = 10 > 0\\)), więc wartości dla \\(x > 0\\) są dodatnie, a dla \\(x < 0\\) - ujemne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się na definicji funkcji, podstawieniu punktu do wzoru oraz analizie znaku iloczynu/ilorazu. Wystarczy znajomość elementarnych działań na ułamkach i rozwiązywania nierówności z nieznaną w mianowniku.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \\(\\frac{10}{x} > 5\\) **nie wolno** od razu mnożyć obu stron przez \\(x\\), bo nie znamy znaku \\(x\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania - prowadzi do pominięcia jednego przypadku lub błędnego odwrócenia nierówności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) uczniowie często liczą \\(h(\\pi)\\) i \\(h(-\\pi)\\) oddzielnie i mylą się przy odejmowaniu liczb ujemnych: \\(\\frac{10}{\\pi} - \\left(-\\frac{10}{\\pi}\\right)\\) to **dodawanie**, nie odejmowanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwiązaniem nierówności jest **przedział otwarty** \\((0, 2)\\) - bez punktu \\(x = 0\\) (bo funkcja tam nie istnieje) i bez \\(x = 2\\) (bo \\(h(2) = 5\\), a szukamy \\(h(x) > 5\\), czyli ostrej nierówności).\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(a = 10\\); b) \\(h(\\pi) - h(-\\pi) > 0\\); c) \\(x \\in (0, 2)\\).\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a\\) i analiza funkcji \\(\\dfrac{10}{x}\\)\n**a) Wyznaczenie \\(a\\):**\nPunkt \\(P = (2, 5)\\) należy do wykresu \\(h(x) = \\dfrac{a}{x}\\):\n\\[5 = \\dfrac{a}{2} \\Rightarrow a = 10.\\]\nZatem \\(h(x) = \\dfrac{10}{x}\\).\n\n**b) Znak \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\):**\n\\[h(\\pi) = \\dfrac{10}{\\pi} > 0\\]\n\\[h(-\\pi) = \\dfrac{10}{-\\pi} = -\\dfrac{10}{\\pi} < 0.\\]\n\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = \\dfrac{10}{\\pi} - \\left(-\\dfrac{10}{\\pi}\\right) = \\dfrac{20}{\\pi} > 0.\\]\n\nLiczba \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest **dodatnia**.\n\n**c) Nierówność \\(h(x) > 5\\):**\n\\[\\dfrac{10}{x} > 5.\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x > 0\\). Mnożymy obustronnie przez \\(x > 0\\) (bez zmiany znaku):\n\\[10 > 5x \\Rightarrow x < 2.\\]\nZ warunku \\(x > 0\\): \\(x \\in (0, 2)\\).\n\n**Przypadek 2:** \\(x < 0\\). Mnożymy przez \\(x < 0\\) (zmiana znaku):\n\\[10 < 5x \\Rightarrow x > 2.\\]\nSprzeczność z \\(x < 0\\) - brak rozwiązań.\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in (0, 2)\\).\n\n### Sposób 2 - Graficznie (c)\nFunkcja \\(h(x) = \\dfrac{10}{x}\\) jest malejąca na \\((-\\infty, 0)\\) i na \\((0, +\\infty)\\) osobno. Wartość \\(5\\) osiąga w \\(x = 2\\). Na prawej gałęzi hiperboli (\\(x > 0\\)) dla \\(x < 2\\) wartości są **większe** od \\(5\\) (funkcja malejąca). Dla \\(x > 2\\) wartości \\(< 5\\). Dla \\(x < 0\\) wartości są ujemne → nigdy nie są \\(> 5\\).\n\nStąd \\(h(x) > 5 \\iff x \\in (0, 2)\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nPrzy rozwiązywaniu nierówności z niewiadomą w mianowniku **nigdy** nie mnóż od razu przez mianownik - wprowadzi to błędy znaku dla ujemnego mianownika. Zawsze rozważ osobno przypadki \\(x > 0\\) i \\(x < 0\\), albo przekształć do postaci \\(\\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0\\) i analizuj znaki.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (3 pkt)
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem ( )
a
h x
x
dla
0
x ≠
Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt
(
)
2,5
P =
a) Oblicz wartość współczynnika a .
b) Ustal, czy liczba ( )
(
)
h
h
π -
-π jest dodatnia czy ujemna.
c) Rozwiąż nierówność ( )
5
h x >
1
1
x
y

\n

Poziom podstawowy
15
Nr zadania
10.1
10.2
10.3
Maks. liczba pkt
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
16
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h, określonej wzorem h(x)=a/x dla x różnego od 0. Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P=(2,5). a) Oblicz wartość współczynnika a. b) Ustal, czy liczba h(\\pi)-h(-\\pi) jest dodatnia czy ujemna. c) Rozwiąż nierówność h(x)>5. Matura 2008. Zadanie. Hiperbola.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (3 pkt)
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji h , określonej wzorem ( )
a
h x
x
dla
0
x ≠
Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt
(
)
2,5
P =
a) Oblicz wartość współczynnika a .
b) Ustal, czy liczba ( )
(
)
h
h
π -
-π jest dodatnia czy ujemna.
c) Rozwiąż nierówność ( )
5
h x >
(
)
2,5
P =
1
1
x
y
a) Korzystam z faktu, że punkt
(
)
2,5
P =
należy do wykresu funkcji h
i wyznaczam współczynnik a: 5
2
a
stąd a=10.
Funkcja h jest dana wzorem: ( )
10
h x
x
b) Z wykresu odczytuję, że
(
)
0
h
π
<
, natomiast
( )
0
h π >
. Stąd wynika, że
( )
(
)
h
h
π -
-π jest liczbą dodatnią.
Z informacji podanej w zadaniu wiem, że wykres funkcji h przechodzi przez
punkt
(
)
2,5
P =
. Odczytuję rozwiązanie nierówności ( )
5
h x > z wykresu: jest to
przedział (
)
0,2 .
Poziom podstawowy
12

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(a = 10\\) - b) \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest dodatnia - c) \\(x \\in (0, 2)\\)

\n

Sposób 1 - podstawienie punktu i analiza bezpośrednia

\n
Część a) Wyznaczenie współczynnika \\(a\\)
\n

Punkt \\(P = (2, 5)\\) należy do wykresu funkcji \\(h\\), więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji:
\\[h(2) = 5\\]
\\[\\frac{a}{2} = 5\\]
\\[\\boxed{a = 10}\\]

\n

Zatem wzór funkcji to:
\\[h(x) = \\frac{10}{x}\\]

\n
Część b) Znak wyrażenia \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\)
\n

Obliczamy każdą wartość osobno:
\\[h(\\pi) = \\frac{10}{\\pi}\\]
\\[h(-\\pi) = \\frac{10}{-\\pi} = -\\frac{10}{\\pi}\\]

\n

Zatem:
\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = \\frac{10}{\\pi} - \\left(-\\frac{10}{\\pi}\\right) = \\frac{10}{\\pi} + \\frac{10}{\\pi} = \\frac{20}{\\pi}\\]

\n

Ponieważ \\(\\pi > 0\\), mamy \\(\\frac{20}{\\pi} > 0\\).

\n

Wyrażenie \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest dodatnie.

\n
Część c) Rozwiązanie nierówności \\(h(x) > 5\\)
\n

Podstawiamy \\(h(x) = \\frac{10}{x}\\):
\\[\\frac{10}{x} > 5\\]

\n

Uwaga: nie możemy od razu mnożyć obu stron przez \\(x\\), bo nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\). Rozpatrujemy dwa przypadki.

\n

Przypadek 1: \\(x > 0\\)

\n

Mnożymy obie strony przez \\(x > 0\\) - kierunek nierówności się nie zmienia:
\\[10 > 5x\\]
\\[x < 2\\]

\n

Łącząc z założeniem \\(x > 0\\): \\(\\quad x \\in (0, 2)\\)

\n

Przypadek 2: \\(x < 0\\)

\n

Mnożymy obie strony przez \\(x < 0\\) - kierunek nierówności się odwraca:
\\[10 < 5x\\]
\\[x > 2\\]

\n

Otrzymalibyśmy \\(x < 0\\) i \\(x > 2\\) jednocześnie - to sprzeczność, brak rozwiązań.

\n

Odpowiedź: \\[x \\in (0, 2)\\]

\n

Sposób 2 - przekształcenie nierówności do postaci z jednym ułamkiem

\n
Część c) alternatywnie
\n

Przenosimy \\(5\\) na lewą stronę:
\\[\\frac{10}{x} - 5 > 0\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
\\[\\frac{10 - 5x}{x} > 0\\]

\n

\\[\\frac{5(2 - x)}{x} > 0\\]

\n

Iloraz jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają ten sam znak. Badamy znaki czynników:

\n

| Przedział | \\(2 - x\\) | \\(x\\) | \\(\\frac{5(2-x)}{x}\\) |
| \\(x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(0 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |

\n

Nierówność jest spełniona dla \\(x \\in (0, 2)\\). Wynik ten samo co w Sposobie 1. ✓

\n
Weryfikacja części b) - obserwacja ogólna
\n

Dla każdej funkcji postaci \\(h(x) = \\frac{a}{x}\\) zachodzi własność:
\\[h(-x) = \\frac{a}{-x} = -\\frac{a}{x} = -h(x)\\]

\n

Jest to funkcja nieparzysta (symetryczna względem początku układu współrzędnych). Zatem:
\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = h(\\pi) - (-h(\\pi)) = 2h(\\pi) = \\frac{20}{\\pi} > 0\\]

\n

Tę obserwację widać też na rysunku - wykres hiperboli leży w I i III ćwiartce (bo \\(a = 10 > 0\\)), więc wartości dla \\(x > 0\\) są dodatnie, a dla \\(x < 0\\) - ujemne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się na definicji funkcji, podstawieniu punktu do wzoru oraz analizie znaku iloczynu/ilorazu. Wystarczy znajomość elementarnych działań na ułamkach i rozwiązywania nierówności z nieznaną w mianowniku.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy nierówności \\(\\frac{10}{x} > 5\\) nie wolno od razu mnożyć obu stron przez \\(x\\), bo nie znamy znaku \\(x\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania - prowadzi do pominięcia jednego przypadku lub błędnego odwrócenia nierówności.
\n
⚠️ Uwaga: W części b) uczniowie często liczą \\(h(\\pi)\\) i \\(h(-\\pi)\\) oddzielnie i mylą się przy odejmowaniu liczb ujemnych: \\(\\frac{10}{\\pi} - \\left(-\\frac{10}{\\pi}\\right)\\) to dodawanie, nie odejmowanie!
\n
⚠️ Uwaga: Rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty \\((0, 2)\\) - bez punktu \\(x = 0\\) (bo funkcja tam nie istnieje) i bez \\(x = 2\\) (bo \\(h(2) = 5\\), a szukamy \\(h(x) > 5\\), czyli ostrej nierówności).
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(a = 10\\); b) \\(h(\\pi) - h(-\\pi) > 0\\); c) \\(x \\in (0, 2)\\).

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a\\) i analiza funkcji \\(\\dfrac{10}{x}\\)
\n

a) Wyznaczenie \\(a\\):
Punkt \\(P = (2, 5)\\) należy do wykresu \\(h(x) = \\dfrac{a}{x}\\):
\\[5 = \\dfrac{a}{2} \\Rightarrow a = 10.\\]
Zatem \\(h(x) = \\dfrac{10}{x}\\).

\n

b) Znak \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\):
\\[h(\\pi) = \\dfrac{10}{\\pi} > 0\\]
\\[h(-\\pi) = \\dfrac{10}{-\\pi} = -\\dfrac{10}{\\pi} < 0.\\]
\\[h(\\pi) - h(-\\pi) = \\dfrac{10}{\\pi} - \\left(-\\dfrac{10}{\\pi}\\right) = \\dfrac{20}{\\pi} > 0.\\]

\n

Liczba \\(h(\\pi) - h(-\\pi)\\) jest dodatnia.

\n

c) Nierówność \\(h(x) > 5\\):
\\[\\dfrac{10}{x} > 5.\\]

\n

Przypadek 1: \\(x > 0\\). Mnożymy obustronnie przez \\(x > 0\\) (bez zmiany znaku):
\\[10 > 5x \\Rightarrow x < 2.\\]
Z warunku \\(x > 0\\): \\(x \\in (0, 2)\\).

\n

Przypadek 2: \\(x < 0\\). Mnożymy przez \\(x < 0\\) (zmiana znaku):
\\[10 < 5x \\Rightarrow x > 2.\\]
Sprzeczność z \\(x < 0\\) - brak rozwiązań.

\n

Rozwiązanie: \\(x \\in (0, 2)\\).

\n
Sposób 2 - Graficznie (c)
\n

Funkcja \\(h(x) = \\dfrac{10}{x}\\) jest malejąca na \\((-\\infty, 0)\\) i na \\((0, +\\infty)\\) osobno. Wartość \\(5\\) osiąga w \\(x = 2\\). Na prawej gałęzi hiperboli (\\(x > 0\\)) dla \\(x < 2\\) wartości są większe od \\(5\\) (funkcja malejąca). Dla \\(x > 2\\) wartości \\(< 5\\). Dla \\(x < 0\\) wartości są ujemne → nigdy nie są \\(> 5\\).

\n

Stąd \\(h(x) > 5 \\iff x \\in (0, 2)\\).

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Przy rozwiązywaniu nierówności z niewiadomą w mianowniku nigdy nie mnóż od razu przez mianownik - wprowadzi to błędy znaku dla ujemnego mianownika. Zawsze rozważ osobno przypadki \\(x > 0\\) i \\(x < 0\\), albo przekształć do postaci \\(\\dfrac{P(x)}{Q(x)} > 0\\) i analizuj znaki.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $a = 10$, b) liczba dodatnia, c) $x \\in (0, 2)$

"}]}