{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nLiczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i\n3\nn ≥\nwyraża się wzorem\n( )\n(\n)\n3\n2\nn n\nP n\nWykorzystując ten wzór:\na) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.\nb) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy\nwiększa od liczby boków.\nc) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:\nKażdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.\nOdpowiedź uzasadnij.\nNr zadania\n2.1\n2.2\n2.3\n2.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n5\nLiczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest $n$ boków i x>=3 wyraża się wzorem P(n) = n(n-3)/2 Wykorzystując ten wzór a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym, b) oblicz ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków, c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nLiczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i\n3\nn ≥\nwyraża się wzorem\n( )\n(\n)\n3\n2\nn n\nP n\nWykorzystując ten wzór:\na) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.\nb) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy\nwiększa od liczby boków.\nc) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:\nKażdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.\nOdpowiedź uzasadnij.\na) Do podanego wzoru podstawiam\n20\nn =\ni otrzymuję (\n)\n20 17\n20\n170\n2\nP\n⋅\nW dwudziestokącie wypukłym jest 170 przekątnych.\nb) Zapisuję równanie uwzględniające treść tego podpunktu: (\n)\n3\n5\n2\nn n\nn\nJest ono równoważne równaniu kwadratowemu\n2\n13\n0\nn\nn\n, którego\nrozwiązaniem są liczby\n0\nn =\nlub\n13\nn =\nBiorąc pod uwagę założenie, że\n3\n≥\nn\nformułuję odpowiedź: Wielokątem\nwypukłym, który ma 5 razy więcej przekątnych niż boków jest trzynastokąt.\nc) Powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe, ponieważ sześciokąt wypukły ma\n9 przekątnych, czyli ( )\n6\n9\nP\nPoziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(170\\) przekątnych\n**b)** \\(13\\) boków\n**c)** Stwierdzenie **FAŁSZYWE** - kontrprzykład: sześciokąt ma \\(9\\) przekątnych (liczba nieparzysta)\n\n## Sposób 1 - podstawianie do wzoru i rozwiązywanie równania\n\n### Część a) - dwudziestokąt (\\(n = 20\\))\n\nPodstawiamy \\(n = 20\\) do wzoru:\n\\[P(20) = \\frac{20 \\cdot (20 - 3)}{2} = \\frac{20 \\cdot 17}{2} = \\frac{340}{2} = \\mathbf{170}\\]\n\n**Dwudziestokąt wypukły ma 170 przekątnych.**\n\n### Część b) - liczba przekątnych = 5 · liczba boków\n\nWarunek zadania: liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków, czyli:\n\\[P(n) = 5n\\]\n\nPodstawiamy wzór:\n\\[\\frac{n(n-3)}{2} = 5n\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[n(n-3) = 10n\\]\n\nPonieważ szukamy wielokąta, więc \\(n \\geq 3\\), a w szczególności \\(n \\neq 0\\) - dzielimy obie strony przez \\(n\\):\n\\[n - 3 = 10\\]\n\\[n = 13\\]\n\n**Wielokąt ma 13 boków** (trzynastokąt).\n\n### Część c) - czy każdy wielokąt o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych?\n\nSprawdzamy kilka przypadków parzyste \\(n\\):\n\n| \\(n\\) | \\(P(n) = \\frac{n(n-3)}{2}\\) | Parzysta? |\n| 4 | \\(\\frac{4 \\cdot 1}{2} = 2\\) | TAK |\n| 6 | \\(\\frac{6 \\cdot 3}{2} = 9\\) | **NIE** |\n| 8 | \\(\\frac{8 \\cdot 5}{2} = 20\\) | TAK |\n| 10 | \\(\\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35\\) | **NIE** |\n\nJuż sześciokąt (\\(n = 6\\)) ma \\(\\mathbf{9}\\) przekątnych - liczba **nieparzysta**.\n\n**Stwierdzenie jest FAŁSZYWE.** Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby obalić twierdzenie - a mamy ich od razu kilka.\n\n## Sposób 2 - algebraiczne zbadanie parzystości (dla c)\n\nNiech \\(n\\) będzie parzyste, zapiszmy \\(n = 2k\\) dla pewnej liczby naturalnej \\(k \\geq 2\\). Wtedy:\n\\[P(2k) = \\frac{2k \\cdot (2k-3)}{2} = k(2k-3)\\]\n\nKluczowa obserwacja: \\(2k - 3\\) jest zawsze **nieparzyste** (parzyste minus nieparzyste).\n\nZatem parzystość \\(P(2k) = k(2k-3)\\) zależy **wyłącznie od \\(k\\)**:\n- Jeśli \\(k\\) **parzyste** (np. \\(k = 2, 4, 6, \\ldots\\), czyli \\(n = 4, 8, 12, \\ldots\\)): iloczyn parzysty × nieparzysty = **parzyste** ✓\n- Jeśli \\(k\\) **nieparzyste** (np. \\(k = 3, 5, 7, \\ldots\\), czyli \\(n = 6, 10, 14, \\ldots\\)): iloczyn nieparzysty × nieparzysty = **nieparzyste** ✗\n\n**Wniosek algebraiczny:** Wielokąty o liczbie boków \\(n \\equiv 2 \\pmod{4}\\) (tzn. \\(n = 6, 10, 14, \\ldots\\)) mają zawsze **nieparzystą** liczbę przekątnych.\n\nStwierdzenie jest **FAŁSZYWE**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy wzorów z karty CKE**. Wzór \\(P(n) = \\frac{n(n-3)}{2}\\) jest podany w treści zadania. Rozwiązanie opiera się na:\n- podstawianiu do wzoru,\n- rozwiązywaniu prostego równania liniowego (po uproszczeniu),\n- analizie parzystości liczb całkowitych.\n\nEwentualnie można skojarzyć z **działem 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - wzór na liczbę przekątnych to w istocie \\(\\binom{n}{2} - n = \\frac{n(n-1)}{2} - n = \\frac{n(n-3)}{2}\\), czyli wybieramy 2 wierzchołki i odejmujemy boki, ale na maturze korzystamy ze wzoru danego wprost.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga (część b):** Po uproszczeniu \\(n(n-3) = 10n\\) można ulec pokusie, żeby przenieść wszystko na jedną stronę i rozwiązać równanie kwadratowe \\(n^2 - 13n = 0\\). Daje to \\(n(n-13) = 0\\), czyli \\(n = 0\\) lub \\(n = 13\\). Rozwiązanie \\(n = 0\\) odrzucamy, bo wielokąt ma co najmniej 3 boki. Wynik ten sam, ale ścieżka przez dzielenie przez \\(n\\) jest szybsza.\n\n> ⚠️ **Uwaga (część c):** Na maturze NIE wystarczy sprawdzić jeden przypadek i powiedzieć \"wygląda na prawdziwe\". Do obalenia stwierdzenia wystarczy **jeden kontrprzykład** (tutaj: sześciokąt). Do udowodnienia twierdzenia trzeba by pokazać, że działa dla **wszystkich** \\(n\\) parzystych - jak w Sposobie 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga (część a):** Pamiętaj, że \\(n = 20\\), nie \\(n = 20 - 1\\). Wzór już uwzględnia, że mamy \\(n\\) wierzchołków - nie odejmuj nic \"na zapas\".\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(170\\); b) \\(n = 13\\); c) stwierdzenie jest FAŁSZYWE (kontrprzykład: \\(n=6\\), \\(P(6)=9\\) - nieparzyste).\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienia do wzoru\n**a) \\(n = 20\\):**\n\\[P(20) = \\dfrac{20\\cdot(20-3)}{2} = \\dfrac{20\\cdot 17}{2} = 10\\cdot 17 = 170.\\]\nW dwudziestokącie wypukłym jest \\(170\\) przekątnych.\n\n**b) Warunek:** liczba przekątnych = \\(5\\cdot\\) liczba boków, czyli \\(P(n) = 5n\\):\n\\[\\dfrac{n(n-3)}{2} = 5n \\quad |\\cdot 2\\]\n\\[n(n-3) = 10n\\]\n\\[n^{2} - 3n - 10n = 0\\]\n\\[n^{2} - 13n = 0\\]\n\\[n(n-13) = 0 \\Rightarrow n = 0 \\text{ lub } n = 13.\\]\nZ założenia \\(n \\ge 3\\), więc \\(n = 13\\). Wielokąt ma \\(13\\) boków (trzynastokąt).\n\n**c) Sprawdzenie stwierdzenia:**\nRozważmy \\(n = 6\\) (sześciokąt, parzysta liczba boków):\n\\[P(6) = \\dfrac{6\\cdot 3}{2} = 9.\\]\nLiczba \\(9\\) jest NIEPARZYSTA. Zatem stwierdzenie jest **fałszywe**.\n\n### Sposób 2 - Analiza parzystości wzoru\n\\(P(n) = \\dfrac{n(n-3)}{2}\\). Dla \\(n\\) parzystego, \\(n-3\\) jest nieparzyste, więc \\(n(n-3)\\) jest parzyste (dzielenie przez 2 da liczbę całkowitą), ale nie ma gwarancji parzystości wyniku.\n\nFormalnie: dla \\(n = 2k\\): \\(P(2k) = \\dfrac{2k(2k-3)}{2} = k(2k-3)\\). Parzystość zależy od \\(k\\):\n- \\(k = 3\\) (\\(n=6\\)): \\(P(6) = 3\\cdot 3 = 9\\) - nieparzyste.\n- \\(k = 5\\) (\\(n=10\\)): \\(P(10) = 5\\cdot 7 = 35\\) - nieparzyste.\n\nWięc stwierdzenie nie zachodzi dla wszystkich parzystych \\(n\\).\n\n### Komentarz\nInne kontrprzykłady: \\(P(10) = 35\\), \\(P(14) = 77\\) - wszystkie nieparzyste. Dla \\(n = 4k\\) (np. \\(n=4,8,12\\)): \\(P(4) = 2\\), \\(P(8) = 20\\), \\(P(12) = 54\\) - wtedy parzyste. Parzystość zależy od reszty \\(n\\) z dzielenia przez 4.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (4 pkt)
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i
3
n ≥
wyraża się wzorem
( )
(
)
3
2
n n
P n
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy
większa od liczby boków.
c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:
Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.
Odpowiedź uzasadnij.
Nr zadania
2.1
2.2
2.3
2.4
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
5
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest $n$ boków i x>=3 wyraża się wzorem P(n) = n(n-3)/2 Wykorzystując ten wzór a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym, b) oblicz ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków, c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (4 pkt)
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i
3
n ≥
wyraża się wzorem
( )
(
)
3
2
n n
P n
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy
większa od liczby boków.
c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie:
Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.
Odpowiedź uzasadnij.
a) Do podanego wzoru podstawiam
20
n =
i otrzymuję (
)
20 17
20
170
2
P
⋅
W dwudziestokącie wypukłym jest 170 przekątnych.
b) Zapisuję równanie uwzględniające treść tego podpunktu: (
)
3
5
2
n n
n
Jest ono równoważne równaniu kwadratowemu
2
13
0
n
n
, którego
rozwiązaniem są liczby
0
n =
lub
13
n =
Biorąc pod uwagę założenie, że
3
≥
n
formułuję odpowiedź: Wielokątem
wypukłym, który ma 5 razy więcej przekątnych niż boków jest trzynastokąt.
c) Powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe, ponieważ sześciokąt wypukły ma
9 przekątnych, czyli ( )
6
9
P
Poziom podstawowy
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(170\\) przekątnych
b) \\(13\\) boków
c) Stwierdzenie FAŁSZYWE - kontrprzykład: sześciokąt ma \\(9\\) przekątnych (liczba nieparzysta)

\n

Sposób 1 - podstawianie do wzoru i rozwiązywanie równania

\n
Część a) - dwudziestokąt (\\(n = 20\\))
\n

Podstawiamy \\(n = 20\\) do wzoru:
\\[P(20) = \\frac{20 \\cdot (20 - 3)}{2} = \\frac{20 \\cdot 17}{2} = \\frac{340}{2} = \\mathbf{170}\\]

\n

Dwudziestokąt wypukły ma 170 przekątnych.

\n
Część b) - liczba przekątnych = 5 · liczba boków
\n

Warunek zadania: liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków, czyli:
\\[P(n) = 5n\\]

\n

Podstawiamy wzór:
\\[\\frac{n(n-3)}{2} = 5n\\]

\n

Mnożymy obie strony przez 2:
\\[n(n-3) = 10n\\]

\n

Ponieważ szukamy wielokąta, więc \\(n \\geq 3\\), a w szczególności \\(n \\neq 0\\) - dzielimy obie strony przez \\(n\\):
\\[n - 3 = 10\\]
\\[n = 13\\]

\n

Wielokąt ma 13 boków (trzynastokąt).

\n
Część c) - czy każdy wielokąt o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych?
\n

Sprawdzamy kilka przypadków parzyste \\(n\\):

\n

| \\(n\\) | \\(P(n) = \\frac{n(n-3)}{2}\\) | Parzysta? |
| 4 | \\(\\frac{4 \\cdot 1}{2} = 2\\) | TAK |
| 6 | \\(\\frac{6 \\cdot 3}{2} = 9\\) | NIE |
| 8 | \\(\\frac{8 \\cdot 5}{2} = 20\\) | TAK |
| 10 | \\(\\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35\\) | NIE |

\n

Już sześciokąt (\\(n = 6\\)) ma \\(\\mathbf{9}\\) przekątnych - liczba nieparzysta.

\n

Stwierdzenie jest FAŁSZYWE. Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby obalić twierdzenie - a mamy ich od razu kilka.

\n

Sposób 2 - algebraiczne zbadanie parzystości (dla c)

\n

Niech \\(n\\) będzie parzyste, zapiszmy \\(n = 2k\\) dla pewnej liczby naturalnej \\(k \\geq 2\\). Wtedy:
\\[P(2k) = \\frac{2k \\cdot (2k-3)}{2} = k(2k-3)\\]

\n

Kluczowa obserwacja: \\(2k - 3\\) jest zawsze nieparzyste (parzyste minus nieparzyste).

\n

Zatem parzystość \\(P(2k) = k(2k-3)\\) zależy wyłącznie od \\(k\\):

\n\n

Wniosek algebraiczny: Wielokąty o liczbie boków \\(n \\equiv 2 \\pmod{4}\\) (tzn. \\(n = 6, 10, 14, \\ldots\\)) mają zawsze nieparzystą liczbę przekątnych.

\n

Stwierdzenie jest FAŁSZYWE.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE. Wzór \\(P(n) = \\frac{n(n-3)}{2}\\) jest podany w treści zadania. Rozwiązanie opiera się na:

\n\n

Ewentualnie można skojarzyć z działem 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - wzór na liczbę przekątnych to w istocie \\(\\binom{n}{2} - n = \\frac{n(n-1)}{2} - n = \\frac{n(n-3)}{2}\\), czyli wybieramy 2 wierzchołki i odejmujemy boki, ale na maturze korzystamy ze wzoru danego wprost.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga (część b): Po uproszczeniu \\(n(n-3) = 10n\\) można ulec pokusie, żeby przenieść wszystko na jedną stronę i rozwiązać równanie kwadratowe \\(n^2 - 13n = 0\\). Daje to \\(n(n-13) = 0\\), czyli \\(n = 0\\) lub \\(n = 13\\). Rozwiązanie \\(n = 0\\) odrzucamy, bo wielokąt ma co najmniej 3 boki. Wynik ten sam, ale ścieżka przez dzielenie przez \\(n\\) jest szybsza.
\n
⚠️ Uwaga (część c): Na maturze NIE wystarczy sprawdzić jeden przypadek i powiedzieć "wygląda na prawdziwe". Do obalenia stwierdzenia wystarczy jeden kontrprzykład (tutaj: sześciokąt). Do udowodnienia twierdzenia trzeba by pokazać, że działa dla wszystkich \\(n\\) parzystych - jak w Sposobie 2.
\n
⚠️ Uwaga (część a): Pamiętaj, że \\(n = 20\\), nie \\(n = 20 - 1\\). Wzór już uwzględnia, że mamy \\(n\\) wierzchołków - nie odejmuj nic "na zapas".
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(170\\); b) \\(n = 13\\); c) stwierdzenie jest FAŁSZYWE (kontrprzykład: \\(n=6\\), \\(P(6)=9\\) - nieparzyste).

\n
Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienia do wzoru
\n

a) \\(n = 20\\):
\\[P(20) = \\dfrac{20\\cdot(20-3)}{2} = \\dfrac{20\\cdot 17}{2} = 10\\cdot 17 = 170.\\]
W dwudziestokącie wypukłym jest \\(170\\) przekątnych.

\n

b) Warunek: liczba przekątnych = \\(5\\cdot\\) liczba boków, czyli \\(P(n) = 5n\\):
\\[\\dfrac{n(n-3)}{2} = 5n \\quad |\\cdot 2\\]
\\[n(n-3) = 10n\\]
\\[n^{2} - 3n - 10n = 0\\]
\\[n^{2} - 13n = 0\\]
\\[n(n-13) = 0 \\Rightarrow n = 0 \\text{ lub } n = 13.\\]
Z założenia \\(n \\ge 3\\), więc \\(n = 13\\). Wielokąt ma \\(13\\) boków (trzynastokąt).

\n

c) Sprawdzenie stwierdzenia:
Rozważmy \\(n = 6\\) (sześciokąt, parzysta liczba boków):
\\[P(6) = \\dfrac{6\\cdot 3}{2} = 9.\\]
Liczba \\(9\\) jest NIEPARZYSTA. Zatem stwierdzenie jest fałszywe.

\n
Sposób 2 - Analiza parzystości wzoru
\n

\\(P(n) = \\dfrac{n(n-3)}{2}\\). Dla \\(n\\) parzystego, \\(n-3\\) jest nieparzyste, więc \\(n(n-3)\\) jest parzyste (dzielenie przez 2 da liczbę całkowitą), ale nie ma gwarancji parzystości wyniku.

\n

Formalnie: dla \\(n = 2k\\): \\(P(2k) = \\dfrac{2k(2k-3)}{2} = k(2k-3)\\). Parzystość zależy od \\(k\\):

\n\n

Więc stwierdzenie nie zachodzi dla wszystkich parzystych \\(n\\).

\n
Komentarz
\n

Inne kontrprzykłady: \\(P(10) = 35\\), \\(P(14) = 77\\) - wszystkie nieparzyste. Dla \\(n = 4k\\) (np. \\(n=4,8,12\\)): \\(P(4) = 2\\), \\(P(8) = 20\\), \\(P(12) = 54\\) - wtedy parzyste. Parzystość zależy od reszty \\(n\\) z dzielenia przez 4.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $170$, b) wielokąt ma $13$ boków, c) Nie, stwierdzenie nie jest prawdziwe.

"}]}