{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n4\n23\n9\n4\n4\n4\n32\n16\n4\n⋅\nx\nx\nZapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.\nNr zadania\n3.1\n3.2\n3.3\n3.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n6\nRozwiąż równanie 4^{23}x-32^9x = 16^4\\c(4^4)^4. Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2^k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Równanie z potęgami. Sprowadzanie potęg do jednakowej podstawy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n4\n23\n9\n4\n4\n4\n32\n16\n4\n⋅\nx\nx\nZapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.\nWszystkie liczby występujące w równaniu zapisuję w postaci potęgi o podstawie 2:\n46\n45\n16\n32\n2\n2\n2\n2\nx\nx\n⋅\nPo lewej stronie równania wyłączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej\nstronie wykonuję mnożenie:\n(\n)\n45\n48\n2\n2\n1\n2\nx\n45\n48\n2\n2\nx =\ndzielę obie strony równania przez\n45\n2 i otrzymuję:\n48\n45\n3\n2\n:2\n2\nx =\nRozwiązaniem równania jest liczba\n32 .\nPoziom podstawowy\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 2^3 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie wszystkich potęg do podstawy 2\n\n**Zauważamy**, że \\(4\\), \\(32\\), \\(16\\) są potęgami dwójki - więc zamieniamy je wszystkie na \\(2^{\\ldots}\\), żeby móc porównywać wykładniki.\n\n**Lewa strona równania:**\n\n\\[4^{23} = (2^2)^{23} = 2^{46}\\]\n\\[32^{9} = (2^5)^{9} = 2^{45}\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\n\\[4^{23} \\cdot x - 32^{9} \\cdot x = x\\bigl(2^{46} - 2^{45}\\bigr)\\]\n\nWyłączamy \\(2^{45}\\) z nawiasu:\n\n\\[= x \\cdot 2^{45}(2^1 - 1) = x \\cdot 2^{45} \\cdot 1 = x \\cdot 2^{45}\\]\n\n**Prawa strona równania:**\n\n\\[16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}\\]\n\\[(4^4)^4 = \\bigl((2^2)^4\\bigr)^4 = (2^8)^4 = 2^{32}\\]\n\\[16^4 \\cdot (4^4)^4 = 2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\]\n\n**Równanie po uproszczeniu:**\n\n\\[x \\cdot 2^{45} = 2^{48}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(2^{45}\\):\n\n\\[x = \\frac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{48-45} = \\mathbf{2^3 = 8}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 8\\) spełnia oryginalne równanie.\n\n**Lewa strona:**\n\\[4^{23} \\cdot 8 - 32^{9} \\cdot 8 = 2^{46} \\cdot 2^3 - 2^{45} \\cdot 2^3 = 2^{49} - 2^{48}\\]\n\nWyłączamy \\(2^{48}\\):\n\\[= 2^{48}(2^1 - 1) = 2^{48} \\cdot 1 = 2^{48}\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[16^4 \\cdot (4^4)^4 = 2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\]\n\n\\[2^{48} = 2^{48} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Wynik się zgadza** - rozwiązanie jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w każdym kroku - przy zamianie \\(4^{23} = (2^2)^{23} = 2^{46}\\), przy mnożeniu \\(2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\) i przy dzieleniu \\(\\frac{2^{48}}{2^{45}} = 2^3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((4^4)^4\\) łatwo pomylić kolejność potęgowania. Pamiętaj: \\((4^4)^4 = 4^{4 \\cdot 4} = 4^{16} = 2^{32}\\), a nie \\(4^{4+4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{46} - 2^{45} \\neq 2^{46-45} = 2^1\\). Odejmowanie potęg to **NIE** odejmowanie wykładników! Należy wyłączyć wspólny czynnik: \\(2^{46} - 2^{45} = 2^{45}(2-1) = 2^{45}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upewnij się, że traktujesz \\(4^{23} \\cdot x\\) jako **iloczyn** \\(4^{23}\\) i \\(x\\) (równanie jest liniowe względem \\(x\\)), nie jako \\(4^{23x}\\) (to byłoby równanie wykładnicze z zupełnie innym rozwiązaniem).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 2^{3}\\) (czyli \\(k = 3\\), \\(x = 8\\)).\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy 2\nWszystkie liczby wyrażamy jako potęgi dwójki:\n- \\(4 = 2^{2}\\), więc \\(4^{23} = 2^{46}\\),\n- \\(32 = 2^{5}\\), więc \\(32^{9} = 2^{45}\\),\n- \\(16 = 2^{4}\\), więc \\(16^{4} = 2^{16}\\),\n- \\((4^{4})^{4} = 4^{16} = 2^{32}\\).\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[2^{46}x - 2^{45}x = 2^{16}\\cdot 2^{32}.\\]\n\n**Lewa strona - wyłączamy \\(2^{45}\\) przed nawias:**\n\\[2^{45}(2 - 1)x = 2^{45}x.\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[2^{16}\\cdot 2^{32} = 2^{48}.\\]\n\nRównanie:\n\\[2^{45}x = 2^{48}.\\]\n\nDzielimy obustronnie przez \\(2^{45}\\):\n\\[x = \\dfrac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{48-45} = 2^{3} = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Podzielenie przez \\(2^{45}\\) od razu\nPo sprowadzeniu do postaci \\(2^{46}x - 2^{45}x = 2^{48}\\), dzielimy obustronnie przez \\(2^{45}\\):\n\\[2x - x = \\dfrac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{3} \\Rightarrow x = 8 = 2^{3}.\\]\n\n### Sprawdzenie\n\\(4^{23}\\cdot 8 - 32^{9}\\cdot 8 = 2^{46}\\cdot 2^{3} - 2^{45}\\cdot 2^{3} = 2^{49} - 2^{48} = 2^{48}(2-1) = 2^{48}\\). ✓\n\\(16^{4}\\cdot(4^{4})^{4} = 2^{16}\\cdot 2^{32} = 2^{48}.\\) ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nTypowa pułapka: niepoprawne stosowanie wzorów potęg. Warto pamiętać: \\((a^{m})^{n} = a^{mn}\\), a nie \\(a^{m+n}\\). Tu: \\((4^{4})^{4} = 4^{16}\\), nie \\(4^{8}\\).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
(
)
4
23
9
4
4
4
32
16
4
⋅
x
x
Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.
Nr zadania
3.1
3.2
3.3
3.4
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
6
Rozwiąż równanie 4^{23}x-32^9x = 16^4\\c(4^4)^4. Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2^k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Równanie z potęgami. Sprowadzanie potęg do jednakowej podstawy.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
(
)
4
23
9
4
4
4
32
16
4
⋅
x
x
Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.
Wszystkie liczby występujące w równaniu zapisuję w postaci potęgi o podstawie 2:
46
45
16
32
2
2
2
2
x
x
⋅
Po lewej stronie równania wyłączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej
stronie wykonuję mnożenie:
(
)
45
48
2
2
1
2
x
45
48
2
2
x =
dzielę obie strony równania przez
45
2 i otrzymuję:
48
45
3
2
:2
2
x =
Rozwiązaniem równania jest liczba
32 .
Poziom podstawowy
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 2^3 = 8\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie wszystkich potęg do podstawy 2

\n

Zauważamy, że \\(4\\), \\(32\\), \\(16\\) są potęgami dwójki - więc zamieniamy je wszystkie na \\(2^{\\ldots}\\), żeby móc porównywać wykładniki.

\n

Lewa strona równania:

\n

\\[4^{23} = (2^2)^{23} = 2^{46}\\]
\\[32^{9} = (2^5)^{9} = 2^{45}\\]

\n

Wyciągamy \\(x\\) przed nawias:

\n

\\[4^{23} \\cdot x - 32^{9} \\cdot x = x\\bigl(2^{46} - 2^{45}\\bigr)\\]

\n

Wyłączamy \\(2^{45}\\) z nawiasu:

\n

\\[= x \\cdot 2^{45}(2^1 - 1) = x \\cdot 2^{45} \\cdot 1 = x \\cdot 2^{45}\\]

\n

Prawa strona równania:

\n

\\[16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}\\]
\\[(4^4)^4 = \\bigl((2^2)^4\\bigr)^4 = (2^8)^4 = 2^{32}\\]
\\[16^4 \\cdot (4^4)^4 = 2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\]

\n

Równanie po uproszczeniu:

\n

\\[x \\cdot 2^{45} = 2^{48}\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(2^{45}\\):

\n

\\[x = \\frac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{48-45} = \\mathbf{2^3 = 8}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(x = 8\\) spełnia oryginalne równanie.

\n

Lewa strona:
\\[4^{23} \\cdot 8 - 32^{9} \\cdot 8 = 2^{46} \\cdot 2^3 - 2^{45} \\cdot 2^3 = 2^{49} - 2^{48}\\]

\n

Wyłączamy \\(2^{48}\\):
\\[= 2^{48}(2^1 - 1) = 2^{48} \\cdot 1 = 2^{48}\\]

\n

Prawa strona:
\\[16^4 \\cdot (4^4)^4 = 2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\]

\n

\\[2^{48} = 2^{48} \\quad \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - rozwiązanie jest poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w każdym kroku - przy zamianie \\(4^{23} = (2^2)^{23} = 2^{46}\\), przy mnożeniu \\(2^{16} \\cdot 2^{32} = 2^{48}\\) i przy dzieleniu \\(\\frac{2^{48}}{2^{45}} = 2^3\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\((4^4)^4\\) łatwo pomylić kolejność potęgowania. Pamiętaj: \\((4^4)^4 = 4^{4 \\cdot 4} = 4^{16} = 2^{32}\\), a nie \\(4^{4+4}\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(2^{46} - 2^{45} \\neq 2^{46-45} = 2^1\\). Odejmowanie potęg to NIE odejmowanie wykładników! Należy wyłączyć wspólny czynnik: \\(2^{46} - 2^{45} = 2^{45}(2-1) = 2^{45}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Upewnij się, że traktujesz \\(4^{23} \\cdot x\\) jako iloczyn \\(4^{23}\\) i \\(x\\) (równanie jest liniowe względem \\(x\\)), nie jako \\(4^{23x}\\) (to byłoby równanie wykładnicze z zupełnie innym rozwiązaniem).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 2^{3}\\) (czyli \\(k = 3\\), \\(x = 8\\)).

\n
Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy 2
\n

Wszystkie liczby wyrażamy jako potęgi dwójki:

\n\n

Równanie przyjmuje postać:
\\[2^{46}x - 2^{45}x = 2^{16}\\cdot 2^{32}.\\]

\n

Lewa strona - wyłączamy \\(2^{45}\\) przed nawias:
\\[2^{45}(2 - 1)x = 2^{45}x.\\]

\n

Prawa strona:
\\[2^{16}\\cdot 2^{32} = 2^{48}.\\]

\n

Równanie:
\\[2^{45}x = 2^{48}.\\]

\n

Dzielimy obustronnie przez \\(2^{45}\\):
\\[x = \\dfrac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{48-45} = 2^{3} = 8.\\]

\n
Sposób 2 - Podzielenie przez \\(2^{45}\\) od razu
\n

Po sprowadzeniu do postaci \\(2^{46}x - 2^{45}x = 2^{48}\\), dzielimy obustronnie przez \\(2^{45}\\):
\\[2x - x = \\dfrac{2^{48}}{2^{45}} = 2^{3} \\Rightarrow x = 8 = 2^{3}.\\]

\n
Sprawdzenie
\n

\\(4^{23}\\cdot 8 - 32^{9}\\cdot 8 = 2^{46}\\cdot 2^{3} - 2^{45}\\cdot 2^{3} = 2^{49} - 2^{48} = 2^{48}(2-1) = 2^{48}\\). ✓
\\(16^{4}\\cdot(4^{4})^{4} = 2^{16}\\cdot 2^{32} = 2^{48}.\\) ✓

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Typowa pułapka: niepoprawne stosowanie wzorów potęg. Warto pamiętać: \\((a^{m})^{n} = a^{mn}\\), a nie \\(a^{m+n}\\). Tu: \\((4^{4})^{4} = 4^{16}\\), nie \\(4^{8}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 2^3$

"}]}