{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nKoncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz\no 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez\nten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi\npodwyżkami.\nNr zadania\n4.1\n4.2\n4.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n7\nKoncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymipodwyżkami. Podnoszenie ceny o dany procent. Rozwiązywanie równania z procentami.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nKoncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz\no 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez\nten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi\npodwyżkami.\nOznaczam literą x cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami;\n1,1x -cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyżce;\n1,05 1,1x\n⋅\n- cena jednego litra benzyny po obu podwyżkach.\nZapisuję równanie: 1,05 1,1\n4,62\nx\n⋅\n1,155\n4,62\nx =\nRozwiązaniem równania jest\n4\nx =\n;\nCena jednego litra benzyny przed podwyżkami była równa 4 zł.\nPoziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 4\\) zł\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą\n\n**Oznaczamy** cenę przed podwyżkami jako \\(x\\) zł.\n\n**Pierwsza podwyżka o \\(10\\%\\):** cena rośnie do\n\\[x \\cdot 1{,}10\\]\n\n**Druga podwyżka o \\(5\\%\\):** cena rośnie do\n\\[x \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05\\]\n\n**Po obu podwyżkach cena wynosi \\(4{,}62\\) zł**, więc:\n\\[x \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05 = 4{,}62\\]\n\\[x \\cdot 1{,}155 = 4{,}62\\]\n\\[x = \\frac{4{,}62}{1{,}155} = 4\\]\n\n**Cena jednego litra benzyny przed podwyżkami wynosiła \\(4\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy od ceny \\(4\\) zł po obu podwyżkach rzeczywiście otrzymamy \\(4{,}62\\) zł.\n\n**Po podwyżce o \\(10\\%\\):**\n\\[4 \\cdot 1{,}10 = 4{,}40 \\text{ zł}\\]\n\n**Po podwyżce o \\(5\\%\\):**\n\\[4{,}40 \\cdot 1{,}05 = 4{,}62 \\text{ zł}\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź jest poprawna. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie pojęcia procentu: podwyżka o \\(p\\%\\) oznacza pomnożenie ceny przez czynnik \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\).\n\nPomocniczo można tu dostrzec związek z **Działem 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\nTu jednak obie podwyżki mają różne stopy procentowe (\\(10\\%\\) i \\(5\\%\\)), więc stosujemy dwa osobne mnożniki:\n\\[K_2 = K_0 \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podwyżka o \\(10\\%\\), a potem o \\(5\\%\\) to **NIE TO SAMO** co podwyżka o \\(15\\%\\)! Łączna podwyżka wynosi \\(15{,}5\\%\\), bo \\(1{,}10 \\cdot 1{,}05 = 1{,}155\\). Wielu uczniów liczy \\(x \\cdot 1{,}15 = 4{,}62\\) i dostaje błędny wynik \\(\\approx 4{,}02\\) zł.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodajemy procentów do ceny wyjściowej osobno (np. \\(x + 0{,}10x + 0{,}05x\\)) - to błąd, bo druga podwyżka dotyczy już **nowej**, wyższej ceny po pierwszej podwyżce, a nie ceny pierwotnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kolejności działań przy weryfikacji - najpierw podwyżka o \\(10\\%\\), dopiero potem o \\(5\\%\\) od nowej ceny. Zamiana kolejności tutaj nie zmienia wyniku (mnożenie jest przemienne), ale w zadaniach z obniżkami i podwyżkami kolejność może mieć znaczenie kontekstowe.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 4\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Równanie z wieloma podwyżkami procentowymi\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - cena jednego litra benzyny przed podwyżkami (w zł),\n- po pierwszej podwyżce o \\(10\\%\\): cena = \\(1{,}10\\cdot x = 1{,}1x\\),\n- po drugiej podwyżce o \\(5\\%\\) (od nowej ceny): cena = \\(1{,}05\\cdot 1{,}1x = 1{,}155x\\).\n\nRównanie:\n\\[1{,}155x = 4{,}62\\]\n\\[x = \\dfrac{4{,}62}{1{,}155} = 4.\\]\n\n**Odpowiedź:** cena przed podwyżkami wynosiła \\(4\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie krokowe (odwrotne)\nBenzyna po dwóch podwyżkach: \\(4{,}62\\) zł = \\(105\\%\\) ceny po pierwszej podwyżce.\n\nCena po pierwszej podwyżce:\n\\[\\dfrac{4{,}62}{1{,}05} = 4{,}40 \\text{ zł}.\\]\n\nCena przed podwyżkami: \\(4{,}40\\) zł = \\(110\\%\\) ceny pierwotnej:\n\\[\\dfrac{4{,}40}{1{,}10} = 4 \\text{ zł}.\\]\n\n### Sprawdzenie\nCena początkowa \\(4\\) zł → po \\(+10\\%\\): \\(4\\cdot 1{,}1 = 4{,}4\\) zł → po \\(+5\\%\\): \\(4{,}4\\cdot 1{,}05 = 4{,}62\\) zł ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nTypowy błąd: sumowanie procentów - \\(10\\% + 5\\% = 15\\%\\) - daje błędną cenę \\(4{,}62/1{,}15 \\approx 4{,}017\\) zł. Podwyżki procentowe **mnożą się**, nie dodają: \\(1{,}1\\cdot 1{,}05 = 1{,}155\\) (czyli łączna podwyżka to \\(15{,}5\\%\\), nie \\(15\\%\\)).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (3 pkt)<br>Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz<br>o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez<br>ten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi<br>podwyżkami.<br>Nr zadania<br>4.1<br>4.2<br>4.3<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymipodwyżkami. Podnoszenie ceny o dany procent. Rozwiązywanie równania z procentami.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (3 pkt)<br>Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz<br>o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez<br>ten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi<br>podwyżkami.<br>Oznaczam literą x cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami;<br>1,1x -cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyżce;<br>1,05 1,1x<br>⋅</p>\n<ul><li>cena jednego litra benzyny po obu podwyżkach.</li></ul>\n<p>Zapisuję równanie: 1,05 1,1<br>4,62<br>x<br>⋅<br>1,155<br>4,62<br>x =<br>Rozwiązaniem równania jest<br>4<br>x =<br>;<br>Cena jednego litra benzyny przed podwyżkami była równa 4 zł.<br>Poziom podstawowy<br>6</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = 4\\) zł</h4>\n<h4>Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą</h4>\n<p><strong>Oznaczamy</strong> cenę przed podwyżkami jako \\(x\\) zł.</p>\n<p><strong>Pierwsza podwyżka o \\(10\\%\\):</strong> cena rośnie do<br>\\[x \\cdot 1{,}10\\]</p>\n<p><strong>Druga podwyżka o \\(5\\%\\):</strong> cena rośnie do<br>\\[x \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05\\]</p>\n<p><strong>Po obu podwyżkach cena wynosi \\(4{,}62\\) zł</strong>, więc:<br>\\[x \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05 = 4{,}62\\]<br>\\[x \\cdot 1{,}155 = 4{,}62\\]<br>\\[x = \\frac{4{,}62}{1{,}155} = 4\\]</p>\n<p><strong>Cena jednego litra benzyny przed podwyżkami wynosiła \\(4\\) zł.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wyniku)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy od ceny \\(4\\) zł po obu podwyżkach rzeczywiście otrzymamy \\(4{,}62\\) zł.</p>\n<p><strong>Po podwyżce o \\(10\\%\\):</strong><br>\\[4 \\cdot 1{,}10 = 4{,}40 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Po podwyżce o \\(5\\%\\):</strong><br>\\[4{,}40 \\cdot 1{,}05 = 4{,}62 \\text{ zł}\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - odpowiedź jest poprawna. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie pojęcia procentu: podwyżka o \\(p\\%\\) oznacza pomnożenie ceny przez czynnik \\(\\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)\\).</p>\n<p>Pomocniczo można tu dostrzec związek z <strong>Działem 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na procent składany:<br>\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]<br>Tu jednak obie podwyżki mają różne stopy procentowe (\\(10\\%\\) i \\(5\\%\\)), więc stosujemy dwa osobne mnożniki:<br>\\[K_2 = K_0 \\cdot 1{,}10 \\cdot 1{,}05\\]</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podwyżka o \\(10\\%\\), a potem o \\(5\\%\\) to <strong>NIE TO SAMO</strong> co podwyżka o \\(15\\%\\)! Łączna podwyżka wynosi \\(15{,}5\\%\\), bo \\(1{,}10 \\cdot 1{,}05 = 1{,}155\\). Wielu uczniów liczy \\(x \\cdot 1{,}15 = 4{,}62\\) i dostaje błędny wynik \\(\\approx 4{,}02\\) zł.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie dodajemy procentów do ceny wyjściowej osobno (np. \\(x + 0{,}10x + 0{,}05x\\)) - to błąd, bo druga podwyżka dotyczy już <strong>nowej</strong>, wyższej ceny po pierwszej podwyżce, a nie ceny pierwotnej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o kolejności działań przy weryfikacji - najpierw podwyżka o \\(10\\%\\), dopiero potem o \\(5\\%\\) od nowej ceny. Zamiana kolejności tutaj nie zmienia wyniku (mnożenie jest przemienne), ale w zadaniach z obniżkami i podwyżkami kolejność może mieć znaczenie kontekstowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(x = 4\\) zł.</p>\n<h5>Sposób 1 - Równanie z wieloma podwyżkami procentowymi</h5>\n<p>Oznaczenia:</p>\n<ul><li>\\(x\\) - cena jednego litra benzyny przed podwyżkami (w zł),</li><li>po pierwszej podwyżce o \\(10\\%\\): cena = \\(1{,}10\\cdot x = 1{,}1x\\),</li><li>po drugiej podwyżce o \\(5\\%\\) (od nowej ceny): cena = \\(1{,}05\\cdot 1{,}1x = 1{,}155x\\).</li></ul>\n<p>Równanie:<br>\\[1{,}155x = 4{,}62\\]<br>\\[x = \\dfrac{4{,}62}{1{,}155} = 4.\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> cena przed podwyżkami wynosiła \\(4\\) zł.</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozwiązanie krokowe (odwrotne)</h5>\n<p>Benzyna po dwóch podwyżkach: \\(4{,}62\\) zł = \\(105\\%\\) ceny po pierwszej podwyżce.</p>\n<p>Cena po pierwszej podwyżce:<br>\\[\\dfrac{4{,}62}{1{,}05} = 4{,}40 \\text{ zł}.\\]</p>\n<p>Cena przed podwyżkami: \\(4{,}40\\) zł = \\(110\\%\\) ceny pierwotnej:<br>\\[\\dfrac{4{,}40}{1{,}10} = 4 \\text{ zł}.\\]</p>\n<h5>Sprawdzenie</h5>\n<p>Cena początkowa \\(4\\) zł → po \\(+10\\%\\): \\(4\\cdot 1{,}1 = 4{,}4\\) zł → po \\(+5\\%\\): \\(4{,}4\\cdot 1{,}05 = 4{,}62\\) zł ✓.</p>\n<h5>Komentarz dydaktyczny</h5>\n<p>Typowy błąd: sumowanie procentów - \\(10\\% + 5\\% = 15\\%\\) - daje błędną cenę \\(4{,}62/1{,}15 \\approx 4{,}017\\) zł. Podwyżki procentowe <strong>mnożą się</strong>, nie dodają: \\(1{,}1\\cdot 1{,}05 = 1{,}155\\) (czyli łączna podwyżka to \\(15{,}5\\%\\), nie \\(15\\%\\)).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$4$ zł</p>"}]}