{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nNieskończony ciąg liczbowy (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n1\n2\nn\na\nn\n,\n1, 2, 3,\nn\na) Oblicz, ile wyrazów ciągu (\n)\nn\na\njest mniejszych od 1,975.\nb) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (\n)\n2\n7\n,\n,\na\na x jest arytmetyczny. Oblicz x.\nNr zadania\n5.1\n5.2\n5.3\n5.4\n5.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n8\nNieskończony ciąg liczbowy (a_n) jest określony wzorem a_n = 2-{1\\o n}, n=1,2,3,\\dots a) Oblicz ile wyrazów ciągu (a_n) jest mniejszych od 1\\.975. b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a_2, a_7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x. Własność ciągu arytmetycznego. Liczenie drugiego i siódmego wyrazu ciągu liczbowego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nNieskończony ciąg liczbowy (\n)\nn\na\njest określony wzorem\n1\n2\nn\na\nn\n,\n1, 2, 3,\nn\na) Oblicz, ile wyrazów ciągu (\n)\nn\na\njest mniejszych od 1,975.\nb) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (\n)\n2\n7\n,\n,\na\na x jest arytmetyczny. Oblicz x.\na) Rozwiązuję nierówność\n1\n2\n1,975\nn\n<\nPrzekształcam ją do postaci równoważnej 1\n0,025\nn >\n. Nierówność tę\nzapisuję w postaci 1\n1\n40\nn >\n. Jest ona spełniona gdy:\n40\nn <\nPonieważ n jest liczbą naturalną, więc odpowiedź jest następująca:\n39 wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od 1,975.\nb) Korzystam ze związku między sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym\ni zapisuję równanie:\n2\n7\n2\na\nx\na\n, czyli\n7\n2\n2\nx\na\na\nObliczam potrzebne wyrazy:\n2\n3\n2\na =\n,\n7\n13\n7\na =\nWstawiam obliczone wartości do równania i otrzymuję\n13\n3\n31\n2 7\n2\n14\nx =\n⋅\nOdpowiedź: Trzywyrazowy ciąg (\n)\n2\n7\n,\n,\na\na x jest arytmetyczny dla\n31\n14\nx =\nPoziom podstawowy\n7","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** 39 wyrazów jest mniejszych od \\(1{,}975\\)\n\n**b)** \\(x = \\dfrac{31}{14}\\)\n\n## Sposób 1 - rozwiązanie przez nierówność (część a)\n\nChcemy znaleźć, dla ilu wartości \\(n\\) zachodzi \\(a_n < 1{,}975\\).\n\nPodstawiamy wzór ogólny:\n\\[2 - \\frac{1}{n} < 1{,}975\\]\n\nOdejmujemy \\(2\\) od obu stron:\n\\[-\\frac{1}{n} < -0{,}025\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga: odwracamy nierówność!**\n\\[\\frac{1}{n} > 0{,}025\\]\n\nZamieniamy \\(0{,}025 = \\frac{1}{40}\\):\n\\[\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\]\n\nPonieważ \\(n > 0\\), możemy odwrócić ułamki - **uwaga: nierówność znów się odwraca!**\n\\[n < 40\\]\n\nSzukamy naturalnych wartości \\(n \\geq 1\\), czyli \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 39\\}\\).\n\n**Odpowiedź: 39 wyrazów ciągu jest mniejszych od \\(1{,}975\\).**\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie graniczne (weryfikacja, część a)\n\nSprawdzamy, co dzieje się dla \\(n = 39\\), \\(n = 40\\) i \\(n = 41\\):\n\n\\[a_{39} = 2 - \\frac{1}{39} = \\frac{77}{39} \\approx 1{,}9744\\ldots < 1{,}975 \\quad \\checkmark\\]\n\\[a_{40} = 2 - \\frac{1}{40} = 2 - 0{,}025 = 1{,}975 \\quad \\not< 1{,}975 \\quad \\times\\]\n\\[a_{41} = 2 - \\frac{1}{41} \\approx 1{,}9756\\ldots > 1{,}975 \\quad \\times\\]\n\nPotwierdzenie: warunek \\(a_n < 1{,}975\\) spełniają dokładnie wyrazy \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{39}\\).\n\n**Odpowiedź: 39 wyrazów.** ✓\n\n## Sposób 1 - własność ciągu arytmetycznego (część b)\n\nObliczamy potrzebne wyrazy:\n\\[a_2 = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\\[a_7 = 2 - \\frac{1}{7} = \\frac{14 - 1}{7} = \\frac{13}{7}\\]\n\nCiąg \\((a_2,\\, a_7,\\, x)\\) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:\n\\[a_7 = \\frac{a_2 + x}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[2 \\cdot a_7 = a_2 + x\\]\n\\[x = 2a_7 - a_2 = 2 \\cdot \\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{26}{7} - \\frac{3}{2}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika (\\(\\text{NWW}(7,2) = 14\\)):\n\\[x = \\frac{52}{14} - \\frac{21}{14} = \\frac{31}{14}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{31}{14}\\).**\n\n## Sposób 2 - różnica ciągu (część b)\n\nWyznaczamy wspólną różnicę \\(r\\) ciągu arytmetycznego \\((a_2, a_7, x)\\):\n\\[r = a_7 - a_2 = \\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{26}{14} - \\frac{21}{14} = \\frac{5}{14}\\]\n\nTrzeci wyraz to:\n\\[x = a_7 + r = \\frac{13}{7} + \\frac{5}{14} = \\frac{26}{14} + \\frac{5}{14} = \\frac{31}{14}\\]\n\n**Weryfikacja:** różnice \\(\\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{5}{14}\\) i \\(\\frac{31}{14} - \\frac{13}{7} = \\frac{31}{14} - \\frac{26}{14} = \\frac{5}{14}\\) - równe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n\nUogólniona wersja (dla ciągu trzywyrazowego \\((b_1, b_2, b_3)\\)):\n\\[b_2 = \\frac{b_1 + b_3}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach rozwiązania części b), wyznaczając \\(x\\) jako \"trzeci wyraz\" na podstawie środkowego.\n\nW części a) nie korzystamy z żadnego wzoru z karty - wystarczy rozwiązać nierówność algebraicznie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną (tu: przez \\(-1\\)) **zawsze** odwracamy znak nierówności. Pominięcie tej zasady da wynik \\(n > 40\\), co jest błędne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odwracaniu ułamków w nierówności \\(\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\) można też sprawdzić intuicyjnie: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dla \\(n > 0\\)). Zatem \\(\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\) oznacza \\(n < 40\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) łatwo pomylić kolejność działań - pamiętaj, że to \\((a_2, a_7, x)\\) jest ciągiem arytmetycznym, więc \\(a_7\\) jest **środkowym** wyrazem. Mylne podstawienie \\(a_2\\) jako środkowego da błędny wynik.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(39\\) wyrazów; b) \\(x = \\dfrac{31}{14}\\).\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie przez nierówność i własność ciągu arytmetycznego\n**a) Szukamy \\(n\\) spełniających \\(a_n < 1{,}975\\):**\n\\[2 - \\dfrac{1}{n} < 1{,}975\\]\n\\[-\\dfrac{1}{n} < -0{,}025\\]\n\\[\\dfrac{1}{n} > 0{,}025 = \\dfrac{1}{40}.\\]\n\nNierówność \\(\\dfrac{1}{n} > \\dfrac{1}{40}\\) dla \\(n > 0\\) jest spełniona gdy \\(n < 40\\). Liczba wyrazów: \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 39\\}\\), czyli \\(39\\) wyrazów.\n\n**Weryfikacja:** \\(a_{39} = 2 - \\dfrac{1}{39} \\approx 1{,}9744 < 1{,}975\\) ✓; \\(a_{40} = 2 - \\dfrac{1}{40} = 1{,}975\\) (nie mniejsze) ✓.\n\n**b) Warunek ciągu arytmetycznego** dla \\((a_2, a_7, x)\\):\n\\[\\dfrac{a_2 + x}{2} = a_7 \\Rightarrow x = 2a_7 - a_2.\\]\n\nObliczamy wyrazy:\n\\[a_2 = 2 - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2}, \\quad a_7 = 2 - \\dfrac{1}{7} = \\dfrac{13}{7}.\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[x = 2\\cdot\\dfrac{13}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{26}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{52 - 21}{14} = \\dfrac{31}{14}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia bezpośrednie w b) przez różnicę ciągu\nRóżnica ciągu arytmetycznego: \\(r = a_7 - a_2 = \\dfrac{13}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{26-21}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).\n\nWtedy \\(x = a_7 + r = \\dfrac{13}{7} + \\dfrac{5}{14} = \\dfrac{26+5}{14} = \\dfrac{31}{14}\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nCiąg \\(a_n = 2 - \\tfrac{1}{n}\\) jest rosnący i zbieżny do 2. Nie ma on wyrazu równego 2 - wszystkie są mniejsze. Granica ograniczona od góry przez 2.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"ciagi","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (5 pkt)
Nieskończony ciąg liczbowy (
)
n
a
jest określony wzorem
1
2
n
a
n
,
1, 2, 3,
n
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu (
)
n
a
jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (
)
2
7
,
,
a
a x jest arytmetyczny. Oblicz x.
Nr zadania
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
8
Nieskończony ciąg liczbowy (a_n) jest określony wzorem a_n = 2-{1\\o n}, n=1,2,3,\\dots a) Oblicz ile wyrazów ciągu (a_n) jest mniejszych od 1\\.975. b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a_2, a_7, x) jest arytmetyczny. Oblicz x. Własność ciągu arytmetycznego. Liczenie drugiego i siódmego wyrazu ciągu liczbowego.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (5 pkt)
Nieskończony ciąg liczbowy (
)
n
a
jest określony wzorem
1
2
n
a
n
,
1, 2, 3,
n
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu (
)
n
a
jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (
)
2
7
,
,
a
a x jest arytmetyczny. Oblicz x.
a) Rozwiązuję nierówność
1
2
1,975
n
<
Przekształcam ją do postaci równoważnej 1
0,025
n >
. Nierówność tę
zapisuję w postaci 1
1
40
n >
. Jest ona spełniona gdy:
40
n <
Ponieważ n jest liczbą naturalną, więc odpowiedź jest następująca:
39 wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od 1,975.
b) Korzystam ze związku między sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym
i zapisuję równanie:
2
7
2
a
x
a
, czyli
7
2
2
x
a
a
Obliczam potrzebne wyrazy:
2
3
2
a =
,
7
13
7
a =
Wstawiam obliczone wartości do równania i otrzymuję
13
3
31
2 7
2
14
x =
⋅
Odpowiedź: Trzywyrazowy ciąg (
)
2
7
,
,
a
a x jest arytmetyczny dla
31
14
x =
Poziom podstawowy
7

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) 39 wyrazów jest mniejszych od \\(1{,}975\\)

\n

b) \\(x = \\dfrac{31}{14}\\)

\n

Sposób 1 - rozwiązanie przez nierówność (część a)

\n

Chcemy znaleźć, dla ilu wartości \\(n\\) zachodzi \\(a_n < 1{,}975\\).

\n

Podstawiamy wzór ogólny:
\\[2 - \\frac{1}{n} < 1{,}975\\]

\n

Odejmujemy \\(2\\) od obu stron:
\\[-\\frac{1}{n} < -0{,}025\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) - uwaga: odwracamy nierówność!
\\[\\frac{1}{n} > 0{,}025\\]

\n

Zamieniamy \\(0{,}025 = \\frac{1}{40}\\):
\\[\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\]

\n

Ponieważ \\(n > 0\\), możemy odwrócić ułamki - uwaga: nierówność znów się odwraca!
\\[n < 40\\]

\n

Szukamy naturalnych wartości \\(n \\geq 1\\), czyli \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 39\\}\\).

\n

Odpowiedź: 39 wyrazów ciągu jest mniejszych od \\(1{,}975\\).

\n

Sposób 2 - sprawdzenie graniczne (weryfikacja, część a)

\n

Sprawdzamy, co dzieje się dla \\(n = 39\\), \\(n = 40\\) i \\(n = 41\\):

\n

\\[a_{39} = 2 - \\frac{1}{39} = \\frac{77}{39} \\approx 1{,}9744\\ldots < 1{,}975 \\quad \\checkmark\\]
\\[a_{40} = 2 - \\frac{1}{40} = 2 - 0{,}025 = 1{,}975 \\quad \\not< 1{,}975 \\quad \\times\\]
\\[a_{41} = 2 - \\frac{1}{41} \\approx 1{,}9756\\ldots > 1{,}975 \\quad \\times\\]

\n

Potwierdzenie: warunek \\(a_n < 1{,}975\\) spełniają dokładnie wyrazy \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{39}\\).

\n

Odpowiedź: 39 wyrazów. ✓

\n

Sposób 1 - własność ciągu arytmetycznego (część b)

\n

Obliczamy potrzebne wyrazy:
\\[a_2 = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]
\\[a_7 = 2 - \\frac{1}{7} = \\frac{14 - 1}{7} = \\frac{13}{7}\\]

\n

Ciąg \\((a_2,\\, a_7,\\, x)\\) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:
\\[a_7 = \\frac{a_2 + x}{2}\\]

\n

Stąd:
\\[2 \\cdot a_7 = a_2 + x\\]
\\[x = 2a_7 - a_2 = 2 \\cdot \\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{26}{7} - \\frac{3}{2}\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika (\\(\\text{NWW}(7,2) = 14\\)):
\\[x = \\frac{52}{14} - \\frac{21}{14} = \\frac{31}{14}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{31}{14}\\).

\n

Sposób 2 - różnica ciągu (część b)

\n

Wyznaczamy wspólną różnicę \\(r\\) ciągu arytmetycznego \\((a_2, a_7, x)\\):
\\[r = a_7 - a_2 = \\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{26}{14} - \\frac{21}{14} = \\frac{5}{14}\\]

\n

Trzeci wyraz to:
\\[x = a_7 + r = \\frac{13}{7} + \\frac{5}{14} = \\frac{26}{14} + \\frac{5}{14} = \\frac{31}{14}\\]

\n

Weryfikacja: różnice \\(\\frac{13}{7} - \\frac{3}{2} = \\frac{5}{14}\\) i \\(\\frac{31}{14} - \\frac{13}{7} = \\frac{31}{14} - \\frac{26}{14} = \\frac{5}{14}\\) - równe. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]

\n

Uogólniona wersja (dla ciągu trzywyrazowego \\((b_1, b_2, b_3)\\)):
\\[b_2 = \\frac{b_1 + b_3}{2}\\]

\n

Użyliśmy tego w obu sposobach rozwiązania części b), wyznaczając \\(x\\) jako "trzeci wyraz" na podstawie środkowego.

\n

W części a) nie korzystamy z żadnego wzoru z karty - wystarczy rozwiązać nierówność algebraicznie.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną (tu: przez \\(-1\\)) zawsze odwracamy znak nierówności. Pominięcie tej zasady da wynik \\(n > 40\\), co jest błędne.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odwracaniu ułamków w nierówności \\(\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\) można też sprawdzić intuicyjnie: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dla \\(n > 0\\)). Zatem \\(\\frac{1}{n} > \\frac{1}{40}\\) oznacza \\(n < 40\\).
\n
⚠️ Uwaga: W części b) łatwo pomylić kolejność działań - pamiętaj, że to \\((a_2, a_7, x)\\) jest ciągiem arytmetycznym, więc \\(a_7\\) jest środkowym wyrazem. Mylne podstawienie \\(a_2\\) jako środkowego da błędny wynik.
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(39\\) wyrazów; b) \\(x = \\dfrac{31}{14}\\).

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie przez nierówność i własność ciągu arytmetycznego
\n

a) Szukamy \\(n\\) spełniających \\(a_n < 1{,}975\\):
\\[2 - \\dfrac{1}{n} < 1{,}975\\]
\\[-\\dfrac{1}{n} < -0{,}025\\]
\\[\\dfrac{1}{n} > 0{,}025 = \\dfrac{1}{40}.\\]

\n

Nierówność \\(\\dfrac{1}{n} > \\dfrac{1}{40}\\) dla \\(n > 0\\) jest spełniona gdy \\(n < 40\\). Liczba wyrazów: \\(n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 39\\}\\), czyli \\(39\\) wyrazów.

\n

Weryfikacja: \\(a_{39} = 2 - \\dfrac{1}{39} \\approx 1{,}9744 < 1{,}975\\) ✓; \\(a_{40} = 2 - \\dfrac{1}{40} = 1{,}975\\) (nie mniejsze) ✓.

\n

b) Warunek ciągu arytmetycznego dla \\((a_2, a_7, x)\\):
\\[\\dfrac{a_2 + x}{2} = a_7 \\Rightarrow x = 2a_7 - a_2.\\]

\n

Obliczamy wyrazy:
\\[a_2 = 2 - \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{2}, \\quad a_7 = 2 - \\dfrac{1}{7} = \\dfrac{13}{7}.\\]

\n

Podstawiamy:
\\[x = 2\\cdot\\dfrac{13}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{26}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{52 - 21}{14} = \\dfrac{31}{14}.\\]

\n
Sposób 2 - Obliczenia bezpośrednie w b) przez różnicę ciągu
\n

Różnica ciągu arytmetycznego: \\(r = a_7 - a_2 = \\dfrac{13}{7} - \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{26-21}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).

\n

Wtedy \\(x = a_7 + r = \\dfrac{13}{7} + \\dfrac{5}{14} = \\dfrac{26+5}{14} = \\dfrac{31}{14}\\).

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Ciąg \\(a_n = 2 - \\tfrac{1}{n}\\) jest rosnący i zbieżny do 2. Nie ma on wyrazu równego 2 - wszystkie są mniejsze. Granica ograniczona od góry przez 2.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $39$, b) $x = \\dfrac{31}{14}$

"}]}