Zadanie 6. (5 pkt)
Prosta o równaniu 5
4
10
0
x
y
przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz
oś Oy w punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich,
że trójkąt ABC ma pole równe 35.
Poziom podstawowy
9
Nr zadania
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
10
Prosta o równaniu 5x+4y-10=0 Przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz oś Oy w punkcie B. Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 35. Przekształcanie wzoru funkcji liniowej do postaci kierunkowej. Znajdowanie punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Pole trójkąta. Matura 2008.
Zadanie 6. (5 pkt)
Prosta o równaniu 5
4
10
0
x
y
przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie A oraz
oś Oy w punkcie B . Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi Ox i takich,
że trójkąt ABC ma pole równe 35.
Wyznaczam współrzędne punktów A i B:
(
)
2,0
A =
oraz
5
0, 2
B
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
Punkt C może leżeć z lewej lub z prawej strony punktu A. Przyjmując, że w obu
przypadkach wysokością trójkąta ABC jest odcinek BO, którego długość jest
równa 5
2 i korzystając z faktu, że pole trójkąta ABC równa się 35 zapisuję
równanie:
1
35
2
AC
BO
⋅
⋅
1
5
35
2
2
AC
⋅
⋅
28
AC =
Ponieważ punkt
(
)
2, 0
A =
, więc
(
)
30,0
C =
lub
(
)
26,0
C = -
Zadanie ma zatem dwa rozwiązania.
x
y
O
B
A
C
C
Poziom podstawowy
8
Krok 1: Wyznacz punkt A (przecięcie z osią Ox)
\nNa osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\), więc podstawiamy do równania prostej:
\\[5x + 4 \\cdot 0 - 10 = 0 \\implies 5x = 10 \\implies x = 2\\]
\\[\\boxed{A = (2, 0)}\\]
Krok 2: Wyznacz punkt B (przecięcie z osią Oy)
\nNa osi \\(Oy\\) mamy \\(x = 0\\):
\\[5 \\cdot 0 + 4y - 10 = 0 \\implies 4y = 10 \\implies y = \\frac{5}{2}\\]
\\[\\boxed{B = \\left(0,\\, \\frac{5}{2}\\right)}\\]
Krok 3: Ustal wzór na pole trójkąta ABC
\nNiech \\(C = (c, 0)\\) - punkt na osi \\(Ox\\).
\nZauważamy, że:
\nZatem pole:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot |c - 2| \\cdot \\frac{5}{2} = \\frac{5}{4}|c - 2|\\]
Krok 4: Przyrównaj do 35 i rozwiąż
\n\\[\\frac{5}{4}|c - 2| = 35\\]
\\[|c - 2| = 35 \\cdot \\frac{4}{5} = 28\\]
Wartość bezwzględna daje dwa przypadki:
\n\\[c - 2 = 28 \\implies c = 30\\]
\\[c - 2 = -28 \\implies c = -26\\]
Stąd: \\(C_1 = (30, 0)\\) lub \\(C_2 = (-26, 0)\\).
\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\):
\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]
\nPodstawiamy \\(A = (2, 0)\\), \\(B = (0, \\frac{5}{2})\\), \\(C = (c, 0)\\):
\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(0 - 2)(0 - 0) - \\left(\\frac{5}{2} - 0\\right)(c - 2)\\right|\\]
\\[P = \\frac{1}{2}\\left|0 - \\frac{5}{2}(c-2)\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5}{2}|c-2| = \\frac{5}{4}|c-2|\\]
Przyrównujemy do 35 - wynik identyczny jak w Sposobie 1:
\\[\\frac{5}{4}|c-2| = 35 \\implies |c-2| = 28 \\implies c = 30 \\text{ lub } c = -26\\]
Weryfikacja \\(C_1 = (30, 0)\\):
\\[P = \\frac{5}{4} \\cdot |30 - 2| = \\frac{5}{4} \\cdot 28 = \\frac{140}{4} = 35 \\checkmark\\]
Weryfikacja \\(C_2 = (-26, 0)\\):
\\[P = \\frac{5}{4} \\cdot |-26 - 2| = \\frac{5}{4} \\cdot 28 = 35 \\checkmark\\]
Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1: podstawa \\(|AC|\\) i odpowiednia wysokość \\(h = \\frac{5}{2}\\).
Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - pole trójkąta ze współrzędnych:
\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]
Użyliśmy w Sposobie 2.
Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - rozwiązanie równania \\(|c - 2| = 28\\):
\\[|x - a| = r \\implies x = a + r \\text{ lub } x = a - r\\]
To właśnie dało nam dwa rozwiązania.
⚠️ Uwaga: Wysokość trójkąta nie jest odległością od \\(B\\) do punktu \\(A\\) ani do \\(C\\) - to odległość od \\(B\\) do prostej, na której leży \\(AC\\). Ponieważ \\(AC\\) leży na osi \\(Ox\\), wysokość jest po prostu rzędną \\(y_B = \\frac{5}{2}\\).\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(|c - 2| = 28\\) daje dwa punkty \\(C\\) - jeden po prawej, jeden po lewej od \\(A\\). Błędem jest podanie tylko jednego rozwiązania.\n
⚠️ Uwaga: Nie pomyl punktu \\(A\\) (na osi \\(Ox\\)) z punktem \\(B\\) (na osi \\(Oy\\)) - zamienienie ich nie zmieni pola trójkąta, ale może prowadzić do błędu przy interpretacji „podstawy".\n
Poprawne odpowiedzi: \\(C_1 = (30, 0)\\) oraz \\(C_2 = (-26, 0)\\).
\nKrok 1 - współrzędne \\(A\\) i \\(B\\).
\nKrok 2 - pole trójkąta \\(ABC\\) z \\(C\\) na osi \\(Ox\\).
Punkty \\(A\\) i \\(C\\) leżą na osi \\(Ox\\), więc bok \\(AC\\) jest odcinkiem na osi \\(Ox\\). Wysokość trójkąta z punktu \\(B\\) do prostej \\(AC\\) (czyli osi \\(Ox\\)) to odległość punktu \\(B\\) od osi \\(Ox\\):
\\[h = |y_B| = \\dfrac{5}{2}.\\]
Krok 3 - równanie pola.
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|AC|\\cdot h = 35\\]
\\[\\dfrac{1}{2}\\cdot|AC|\\cdot \\dfrac{5}{2} = 35\\]
\\[|AC| = \\dfrac{35\\cdot 2\\cdot 2}{5} = 28.\\]
Krok 4 - wyznaczenie współrzędnej \\(C\\).
Punkt \\(C\\) leży na osi \\(Ox\\), czyli \\(C = (x_C, 0)\\). Odległość \\(|AC| = |x_C - 2| = 28\\):
\\[x_C - 2 = 28 \\Rightarrow x_C = 30,\\]
\\[x_C - 2 = -28 \\Rightarrow x_C = -26.\\]
Odpowiedź: \\(C_1 = (30, 0)\\), \\(C_2 = (-26, 0)\\).
\nDla \\(A = (2, 0)\\), \\(B = (0, \\tfrac{5}{2})\\), \\(C = (x_C, 0)\\):
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)\\right|\\]
\\[= \\dfrac{1}{2}\\left|(0-2)(0-0) - (x_C - 2)\\cdot\\dfrac{5}{2}\\right| = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{5}{2}|x_C - 2|.\\]
Warunek \\(P = 35\\):
\\[\\dfrac{5}{4}|x_C - 2| = 35 \\Rightarrow |x_C - 2| = 28 \\Rightarrow x_C \\in \\{30, -26\\}.\\]
Dla \\(C = (30, 0)\\): \\(|AC| = 28\\), \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 28\\cdot\\tfrac{5}{2} = 35\\) ✓.
Dla \\(C = (-26, 0)\\): \\(|AC| = 28\\), \\(P = 35\\) ✓.
Punkt \\(C\\) może leżeć po obu stronach punktu \\(A\\), stąd dwa rozwiązania. Typowy błąd: pominięcie wartości bezwzględnej (tylko jedno rozwiązanie).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$C = (30, 0)$ lub $C = (-26, 0)$
"}]}