{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą\nz dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.\n\nPoziom podstawowy\n11\nNr zadania\n7.1\n7.2\n7.3\n7.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nDany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4cm i 10cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30 i 45 stopni. Oblicz wysokość tego trapezu. Funkcja tg. Usuwanie niewymierności z mianownika.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą\nz dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.\nTrójkąt\nAED\njest\ntrójkątem\nprostokątnym\ni\nrównoramiennym\n(\n45\nDAE\nEDA\n°\n)\n)\n), więc AE\nED\nh\nKorzystam z własności trójkąta prostokątnego BFC i zapisuję zależność między\nprzyprostokątnymi\ntg30\nCF\nFB =\n° , stąd\n3\nFB\nCF\n⋅\n,\n3\nFB\nh\n4\nEF\nDC\n, więc otrzymuję równanie:\n4\n10\nAE\nFB\n, z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkości\notrzymuję:\n4\n3\n10\nh\nh\nObliczam wysokość trapezu:\n3\n6\nh\nh\n(\n)\n1\n3\n6\nh\n(\n)\n6\n3\n3\n1\n3\n1\nh =\nOdpowiedź: Wysokość trapezu jest równa (\n)\n3\n3\n1\ncm.\nh\nh\n45°\n30°\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nPoziom podstawowy\n9","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm\n\n## Sposób 1 - Rzuty ramion na dłuższą podstawę\n\n**Rysujemy pomocnicze wysokości.** Opuszczamy z obu wierzchołków krótszej podstawy prostopadłe do dłuższej podstawy. Powstają dwa trójkąty prostokątne po bokach i prostokąt pośrodku.\n\nNazwijmy trapez \\(ABCD\\), gdzie \\(|AB| = 10\\) cm (dłuższa podstawa), \\(|CD| = 4\\) cm, kąt przy \\(A\\) to \\(30°\\), kąt przy \\(B\\) to \\(45°\\).\n\nOpuszczamy \\(CF \\perp AB\\) i \\(DH \\perp AB\\), gdzie \\(F, H\\) leżą na \\(AB\\).\n\nW trójkącie prostokątnym przy \\(A\\) (kąt \\(30°\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{h}{|AH|} \\implies |AH| = \\frac{h}{\\operatorname{tg}30°} = \\frac{h}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = h\\sqrt{3}\\]\n\nW trójkącie prostokątnym przy \\(B\\) (kąt \\(45°\\), wysokość \\(h\\)):\n\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|BF|} \\implies |BF| = \\frac{h}{1} = h\\]\n\nProstokąt \\(HDCF\\) ma szerokość \\(|HF| = |DC| = 4\\) cm. Zatem:\n\\[|AH| + |HF| + |BF| = |AB|\\]\n\\[h\\sqrt{3} + 4 + h = 10\\]\n\\[h(\\sqrt{3} + 1) = 6\\]\n\\[h = \\frac{6}{\\sqrt{3}+1} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{(\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{3-1} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{h = 3(\\sqrt{3}-1) \\approx 3 \\cdot 0{,}732 \\approx 2{,}20 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przedłużenie ramion (podobieństwo trójkątów)\n\n**Przedłużamy** oba ramiona trapezu do punktu przecięcia \\(E\\). Powstaje **trójkąt \\(ABE\\)**, w którym:\n- kąt przy \\(A\\) = \\(30°\\)\n- kąt przy \\(B\\) = \\(45°\\)\n- kąt przy \\(E\\) = \\(180° - 30° - 45° = 105°\\)\n\n**Wyznaczamy wysokość trójkąta \\(ABE\\) z \\(E\\) na \\(AB\\).**\n\nZe wzoru sinusów w \\(\\triangle ABE\\):\n\\[\\frac{|AE|}{\\sin 45°} = \\frac{|AB|}{\\sin 105°}\\]\n\nObliczamy \\(\\sin 105° = \\sin(60°+45°) = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\).\n\n\\[|AE| = \\frac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}}{\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}} = \\frac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot 4}{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{20}{\\sqrt{3}+1} = 10(\\sqrt{3}-1)\\]\n\nWysokość z \\(E\\) na \\(AB\\):\n\\[H_E = |AE| \\cdot \\sin 30° = 10(\\sqrt{3}-1) \\cdot \\frac{1}{2} = 5(\\sqrt{3}-1)\\]\n\n**Korzystamy z podobieństwa.** Ponieważ \\(CD \\parallel AB\\), trójkąt \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle ABE\\) ze skalą:\n\\[k = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{4}{10} = \\frac{2}{5}\\]\n\nWysokość z \\(E\\) na \\(CD\\):\n\\[H_{CD} = k \\cdot H_E = \\frac{2}{5} \\cdot 5(\\sqrt{3}-1) = 2(\\sqrt{3}-1)\\]\n\nWysokość trapezu:\n\\[h = H_E - H_{CD} = 5(\\sqrt{3}-1) - 2(\\sqrt{3}-1) = \\boxed{3(\\sqrt{3}-1) \\text{ cm}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyprostokątna kąta}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia poziomych rzutów ramion przez \\(h\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin 105° = \\sin(60°+45°)\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - twierdzenie sinusów (wymienione w dziale planimetria, s. 15):\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boku \\(|AE|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - figury podobne, s. 21)** - skala podobieństwa przekłada się liniowo na długości:\n\\[\\frac{H_{CD}}{H_E} = k = \\frac{|CD|}{|AB|}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów błędnie zakłada, że dwa rzuty poziome razem wynoszą \\(10 - 4 = 6\\) cm bez pisania równania - i tak jest! Ale uwaga na kierunek: oba rzuty **dodajemy** do \\(4\\), żeby uzyskać \\(10\\). Pomieszanie stron daje błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizowaniu mianownika \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}+1}\\) - mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}-1}\\), co daje mianownik \\(3-1=2\\), nie \\(3+1=4\\). Pomylenie znaku to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartości \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) i \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) - warto je znać na pamięć lub odczytać z tabeli na karcie wzorów (s. 34). Pomylenie \\(\\operatorname{tg}30°\\) z \\(\\operatorname{tg}60°=\\sqrt{3}\\) daje zupełnie inny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm \\(\\approx 2{,}196\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Rozbicie dłuższej podstawy i funkcje trygonometryczne\nOznaczenia: trapez \\(ABCD\\), \\(|AB| = 10\\) cm (dłuższa podstawa), \\(|DC| = 4\\) cm (krótsza podstawa), kąt \\(\\angle DAB = 45^{\\circ}\\), kąt \\(\\angle ABC = 30^{\\circ}\\). Wysokości spuszczone z \\(D\\) i \\(C\\) do \\(AB\\) mają spodki \\(E\\) i \\(F\\).\n\nPodstawa rozbita: \\(|AB| = |AE| + |EF| + |FB|\\), przy czym \\(|EF| = |DC| = 4\\) cm.\n\n**Trójkąt \\(AED\\):** prostokątny, kąt \\(\\angle DAE = 45^{\\circ}\\), więc jest to trójkąt równoramienny i:\n\\[|AE| = |DE| = h.\\]\n\n**Trójkąt \\(BFC\\):** prostokątny, kąt \\(\\angle FBC = 30^{\\circ}\\), \\(|CF| = h\\). Z definicji tangensa:\n\\[\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{|CF|}{|FB|} \\Rightarrow |FB| = \\dfrac{h}{\\tan 30^{\\circ}} = \\dfrac{h}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = h\\sqrt{3}.\\]\n\n**Równanie długości \\(AB\\):**\n\\[|AE| + |EF| + |FB| = 10\\]\n\\[h + 4 + h\\sqrt{3} = 10\\]\n\\[h(1 + \\sqrt{3}) = 6\\]\n\\[h = \\dfrac{6}{1+\\sqrt{3}} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{(1+\\sqrt{3})(1-\\sqrt{3})} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{1-3} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{-2} = 3(\\sqrt{3}-1).\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Racjonalizacja mianownika przez \\(\\sqrt{3}+1\\)\nRówna droga do wyniku - mnożenie \\(\\dfrac{6}{1+\\sqrt{3}}\\) przez \\(\\dfrac{\\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}-1}\\) daje \\(\\dfrac{6(\\sqrt{3}-1)}{3-1} = 3(\\sqrt{3}-1)\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(h \\approx 3\\cdot(1{,}732 - 1) = 3\\cdot 0{,}732 \\approx 2{,}196\\) cm.\n- \\(|AE| = h \\approx 2{,}196\\),\n- \\(|EF| = 4\\),\n- \\(|FB| = h\\sqrt{3} \\approx 2{,}196\\cdot 1{,}732 \\approx 3{,}804\\),\n- suma: \\(2{,}196 + 4 + 3{,}804 = 10\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nWartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów: \\(\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\), \\(\\tan 45^{\\circ} = 1\\). Trójkąt z kątem \\(45^{\\circ}\\) to połowa kwadratu, trójkąt z kątem \\(30^{\\circ}\\) to połowa trójkąta równobocznego.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (4 pkt)
Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą
z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.

\n

Poziom podstawowy
11
Nr zadania
7.1
7.2
7.3
7.4
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
12
Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4cm i 10cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30 i 45 stopni. Oblicz wysokość tego trapezu. Funkcja tg. Usuwanie niewymierności z mianownika.

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (4 pkt)
Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą
z dłuższą podstawą kąty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysokość tego trapezu.
Trójkąt
AED
jest
trójkątem
prostokątnym
i
równoramiennym
(
45
DAE
EDA
°
)
)
), więc AE
ED
h
Korzystam z własności trójkąta prostokątnego BFC i zapisuję zależność między
przyprostokątnymi
tg30
CF
FB =
° , stąd
3
FB
CF
⋅
,
3
FB
h
4
EF
DC
, więc otrzymuję równanie:
4
10
AE
FB
, z którego po podstawieniu wyznaczonych wielkości
otrzymuję:
4
3
10
h
h
Obliczam wysokość trapezu:
3
6
h
h
(
)
1
3
6
h
(
)
6
3
3
1
3
1
h =
Odpowiedź: Wysokość trapezu jest równa (
)
3
3
1
cm.
h
h
45°
30°
A
B
C
D
E
F
Poziom podstawowy
9

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm

\n

Sposób 1 - Rzuty ramion na dłuższą podstawę

\n

Rysujemy pomocnicze wysokości. Opuszczamy z obu wierzchołków krótszej podstawy prostopadłe do dłuższej podstawy. Powstają dwa trójkąty prostokątne po bokach i prostokąt pośrodku.

\n

Nazwijmy trapez \\(ABCD\\), gdzie \\(|AB| = 10\\) cm (dłuższa podstawa), \\(|CD| = 4\\) cm, kąt przy \\(A\\) to \\(30°\\), kąt przy \\(B\\) to \\(45°\\).

\n

Opuszczamy \\(CF \\perp AB\\) i \\(DH \\perp AB\\), gdzie \\(F, H\\) leżą na \\(AB\\).

\n

W trójkącie prostokątnym przy \\(A\\) (kąt \\(30°\\), wysokość \\(h\\)):
\\[\\operatorname{tg}30° = \\frac{h}{|AH|} \\implies |AH| = \\frac{h}{\\operatorname{tg}30°} = \\frac{h}{\\frac{\\sqrt{3}}{3}} = h\\sqrt{3}\\]

\n

W trójkącie prostokątnym przy \\(B\\) (kąt \\(45°\\), wysokość \\(h\\)):
\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|BF|} \\implies |BF| = \\frac{h}{1} = h\\]

\n

Prostokąt \\(HDCF\\) ma szerokość \\(|HF| = |DC| = 4\\) cm. Zatem:
\\[|AH| + |HF| + |BF| = |AB|\\]
\\[h\\sqrt{3} + 4 + h = 10\\]
\\[h(\\sqrt{3} + 1) = 6\\]
\\[h = \\frac{6}{\\sqrt{3}+1} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{(\\sqrt{3}+1)(\\sqrt{3}-1)} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{3-1} = \\frac{6(\\sqrt{3}-1)}{2}\\]

\n

\\[\\boxed{h = 3(\\sqrt{3}-1) \\approx 3 \\cdot 0{,}732 \\approx 2{,}20 \\text{ cm}}\\]

\n

Sposób 2 - Przedłużenie ramion (podobieństwo trójkątów)

\n

Przedłużamy oba ramiona trapezu do punktu przecięcia \\(E\\). Powstaje trójkąt \\(ABE\\), w którym:

\n\n

Wyznaczamy wysokość trójkąta \\(ABE\\) z \\(E\\) na \\(AB\\).

\n

Ze wzoru sinusów w \\(\\triangle ABE\\):
\\[\\frac{|AE|}{\\sin 45°} = \\frac{|AB|}{\\sin 105°}\\]

\n

Obliczamy \\(\\sin 105° = \\sin(60°+45°) = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\).

\n

\\[|AE| = \\frac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2}}{\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}} = \\frac{10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot 4}{\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+1)} = \\frac{20}{\\sqrt{3}+1} = 10(\\sqrt{3}-1)\\]

\n

Wysokość z \\(E\\) na \\(AB\\):
\\[H_E = |AE| \\cdot \\sin 30° = 10(\\sqrt{3}-1) \\cdot \\frac{1}{2} = 5(\\sqrt{3}-1)\\]

\n

Korzystamy z podobieństwa. Ponieważ \\(CD \\parallel AB\\), trójkąt \\(\\triangle CDE \\sim \\triangle ABE\\) ze skalą:
\\[k = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{4}{10} = \\frac{2}{5}\\]

\n

Wysokość z \\(E\\) na \\(CD\\):
\\[H_{CD} = k \\cdot H_E = \\frac{2}{5} \\cdot 5(\\sqrt{3}-1) = 2(\\sqrt{3}-1)\\]

\n

Wysokość trapezu:
\\[h = H_E - H_{CD} = 5(\\sqrt{3}-1) - 2(\\sqrt{3}-1) = \\boxed{3(\\sqrt{3}-1) \\text{ cm}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyprostokątna kąta}}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia poziomych rzutów ramion przez \\(h\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - wzór na sinus sumy kątów:
\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin 105° = \\sin(60°+45°)\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - twierdzenie sinusów (wymienione w dziale planimetria, s. 15):
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boku \\(|AE|\\).

\n

Dział 10 (Planimetria - figury podobne, s. 21) - skala podobieństwa przekłada się liniowo na długości:
\\[\\frac{H_{CD}}{H_E} = k = \\frac{|CD|}{|AB|}\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów błędnie zakłada, że dwa rzuty poziome razem wynoszą \\(10 - 4 = 6\\) cm bez pisania równania - i tak jest! Ale uwaga na kierunek: oba rzuty dodajemy do \\(4\\), żeby uzyskać \\(10\\). Pomieszanie stron daje błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Przy racjonalizowaniu mianownika \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}+1}\\) - mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}-1}\\), co daje mianownik \\(3-1=2\\), nie \\(3+1=4\\). Pomylenie znaku to klasyczna pułapka!
\n
⚠️ Uwaga: Wartości \\(\\operatorname{tg}30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) i \\(\\operatorname{tg}45° = 1\\) - warto je znać na pamięć lub odczytać z tabeli na karcie wzorów (s. 34). Pomylenie \\(\\operatorname{tg}30°\\) z \\(\\operatorname{tg}60°=\\sqrt{3}\\) daje zupełnie inny wynik.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm \\(\\approx 2{,}196\\) cm.

\n
Sposób 1 - Rozbicie dłuższej podstawy i funkcje trygonometryczne
\n

Oznaczenia: trapez \\(ABCD\\), \\(|AB| = 10\\) cm (dłuższa podstawa), \\(|DC| = 4\\) cm (krótsza podstawa), kąt \\(\\angle DAB = 45^{\\circ}\\), kąt \\(\\angle ABC = 30^{\\circ}\\). Wysokości spuszczone z \\(D\\) i \\(C\\) do \\(AB\\) mają spodki \\(E\\) i \\(F\\).

\n

Podstawa rozbita: \\(|AB| = |AE| + |EF| + |FB|\\), przy czym \\(|EF| = |DC| = 4\\) cm.

\n

Trójkąt \\(AED\\): prostokątny, kąt \\(\\angle DAE = 45^{\\circ}\\), więc jest to trójkąt równoramienny i:
\\[|AE| = |DE| = h.\\]

\n

Trójkąt \\(BFC\\): prostokątny, kąt \\(\\angle FBC = 30^{\\circ}\\), \\(|CF| = h\\). Z definicji tangensa:
\\[\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{|CF|}{|FB|} \\Rightarrow |FB| = \\dfrac{h}{\\tan 30^{\\circ}} = \\dfrac{h}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{3}} = h\\sqrt{3}.\\]

\n

Równanie długości \\(AB\\):
\\[|AE| + |EF| + |FB| = 10\\]
\\[h + 4 + h\\sqrt{3} = 10\\]
\\[h(1 + \\sqrt{3}) = 6\\]
\\[h = \\dfrac{6}{1+\\sqrt{3}} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{(1+\\sqrt{3})(1-\\sqrt{3})} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{1-3} = \\dfrac{6(1-\\sqrt{3})}{-2} = 3(\\sqrt{3}-1).\\]

\n

Odpowiedź: \\(h = 3(\\sqrt{3}-1)\\) cm.

\n
Sposób 2 - Racjonalizacja mianownika przez \\(\\sqrt{3}+1\\)
\n

Równa droga do wyniku - mnożenie \\(\\dfrac{6}{1+\\sqrt{3}}\\) przez \\(\\dfrac{\\sqrt{3}-1}{\\sqrt{3}-1}\\) daje \\(\\dfrac{6(\\sqrt{3}-1)}{3-1} = 3(\\sqrt{3}-1)\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\(h \\approx 3\\cdot(1{,}732 - 1) = 3\\cdot 0{,}732 \\approx 2{,}196\\) cm.

\n\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów: \\(\\tan 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\), \\(\\tan 45^{\\circ} = 1\\). Trójkąt z kątem \\(45^{\\circ}\\) to połowa kwadratu, trójkąt z kątem \\(30^{\\circ}\\) to połowa trójkąta równobocznego.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$3(\\sqrt{3}-1)$ cm

"}]}