{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n5\n9\n45\nW x\nx\nx\nx\na) Sprawdź, czy punkt\n(\n)\n1, 30\nA =\nnależy do wykresu tego wielomianu.\nb) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.\nNr zadania\n8.1\n8.2\n8.3\n8.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n13\nDany jest wielomian W(x)=x^3-5x^2-9x+45. a) Sprawdź, czy punkt A=(1,30) należy do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. Matura 2008. Rozkład na czynniki wielomianu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nDany jest wielomian\n( )\n3\n2\n5\n9\n45\nW x\nx\nx\nx\na) Sprawdź, czy punkt\n(\n)\n1, 30\nA =\nnależy do wykresu tego wielomianu.\nb) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.\na) Obliczam\n( )\n1\nW\n:\n( )\n3\n2\n1\n1\n5 1\n9 1\n45\n32\nW\n-⋅\n-⋅+\n( )\n1\n30\n≠\nW\nOtrzymany wynik oznacza, że punkt A nie należy do wykresu wielomianu W.\nb) Rozkładam wielomian na czynniki:\n( )\n3\n2\n5\n9\n45\nW x\nx\nx\nx\n3\n2\n9\n5\n45\nx\nx\nx\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n9\n5\n9\nx x\nx\n(\n)(\n)\n2\n9\n5\nx\nx\n(\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n( )\n(\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\nW x\nx\nx\nx\nPoziom podstawowy\n10","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Punkt \\(A = (1, 30)\\) **NIE należy** do wykresu \\(W\\), bo \\(W(1) = 32 \\neq 30\\).\n\n**b)** \\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie i grupowanie\n\n### Część a) - sprawdzenie przynależności punktu\n\nPunkt \\((x_0, y_0)\\) należy do wykresu wielomianu \\(\\iff\\) \\(W(x_0) = y_0\\).\n\nSprawdzamy, czy \\(W(1) = 30\\):\n\n\\[W(1) = 1^3 - 5 \\cdot 1^2 - 9 \\cdot 1 + 45\\]\n\\[= 1 - 5 - 9 + 45\\]\n\\[= 32\\]\n\n**\\(W(1) = 32 \\neq 30\\), więc punkt \\(A = (1, 30)\\) NIE należy do wykresu.**\n\n### Część b) - rozkład na czynniki przez grupowanie wyrazów\n\nMetoda grupowania polega na \"sparowaniu\" wyrazów tak, żeby wyciągnąć wspólny czynnik.\n\n\\[W(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 45\\]\n\nGrupujemy wyrazy parami:\n\\[= (x^3 - 5x^2) + (-9x + 45)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik z każdej pary:\n\\[= x^2(x - 5) - 9(x - 5)\\]\n\nTeraz \\((x-5)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników:\n\\[= (x - 5)(x^2 - 9)\\]\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów \\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2\\):\n\\[= (x - 5)(x - 3)(x + 3)\\]\n\n**\\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)**\n\n## Sposób 2 - odgadnięcie pierwiastka wymiernego i dzielenie wielomianów\n\n### Część b) - szukanie pierwiastków całkowitych\n\n**Obserwacja:** Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych z wiodącym \\(1\\) ma pierwiastek wymierny, to musi być on dzielnikiem wyrazu wolnego.\n\nWyraz wolny: \\(45\\). Dzielniki całkowite: \\(\\pm 1, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 9, \\pm 15, \\pm 45\\).\n\nSprawdzamy \\(x = 5\\):\n\\[W(5) = 125 - 125 - 45 + 45 = 0\\]\n\n\\(x = 5\\) jest pierwiastkiem, więc \\((x-5)\\) jest czynnikiem.\n\nDzielimy \\(W(x)\\) przez \\((x-5)\\) - schemat Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-5\\) | \\(-9\\) | \\(45\\) |\n| \\(\\times 5\\) | | \\(5\\) | \\(0\\) | \\(-45\\) |\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-9\\) | \\(0\\) ✓ |\n\nZatem:\n\\[W(x) = (x-5)(x^2 + 0x - 9) = (x-5)(x^2 - 9)\\]\n\nRozkładamy \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\):\n\\[W(x) = (x-5)(x-3)(x+3)\\]\n\n**\\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) w obu sposobach.\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z innych konkretnych wzorów z karty CKE - kluczowe są techniki algebry: grupowanie i dzielenie wielomianów.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu a) sprawdzamy, czy \\(W(1) = 30\\) (wartość \\(y\\)), a nie czy \\(W(30) = 1\\). Często uczniowie mylą, który współrzędny wstawiają do wielomianu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu wyrazów w b) - uważaj na znaki! \\(-9x + 45 = -9(x - 5)\\), bo \\(-9 \\cdot (-5) = +45\\). Błąd znaku to najczęstsza pomyłka przy tej metodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 - 9\\) to **NIE jest** \\((x-9)(x+9)\\). To różnica kwadratów: \\((x-3)(x+3)\\), bo \\(9 = 3^2\\). Warto od razu rozpoznawać ten wzorzec.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(W(1) = 32\\), punkt \\(A\\) NIE należy do wykresu; b) \\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\n**a) Obliczamy \\(W(1)\\):**\n\\[W(1) = 1^{3} - 5\\cdot 1^{2} - 9\\cdot 1 + 45 = 1 - 5 - 9 + 45 = 32.\\]\n\nPoniewaz \\(W(1) = 32 \\ne 30\\), punkt \\(A = (1, 30)\\) **nie należy** do wykresu wielomianu.\n\n**b) Rozkład na czynniki metodą grupowania.**\nPrzegrupujmy wyrazy:\n\\[W(x) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45 = x^{3} - 9x - 5x^{2} + 45 = x(x^{2} - 9) - 5(x^{2} - 9) = (x^{2}-9)(x-5).\\]\n\nDalej: \\(x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)\\):\n\\[\\boxed{W(x) = (x+3)(x-3)(x-5).}\\]\n\n### Sposób 2 - Szukanie pierwiastków wymiernych\nPierwiastki wymierne \\(W(x)\\) muszą być dzielnikami wyrazu wolnego \\(45\\): \\(\\pm 1, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 9, \\pm 15, \\pm 45\\).\n\nSprawdzamy:\n\\[W(3) = 27 - 45 - 27 + 45 = 0 \\Rightarrow x = 3 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]\n\\[W(-3) = -27 - 45 + 27 + 45 = 0 \\Rightarrow x = -3 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]\n\\[W(5) = 125 - 125 - 45 + 45 = 0 \\Rightarrow x = 5 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]\n\nTrzy pierwiastki: \\(-3, 3, 5\\), więc:\n\\[W(x) = (x+3)(x-3)(x-5).\\]\n\n### Weryfikacja rozkładu\n\\((x+3)(x-3) = x^{2} - 9\\). Dalej:\n\\[(x^{2}-9)(x-5) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45.\\] ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nMetoda grupowania - skuteczna, gdy współczynniki mają wyraźny wzorzec (tu: \\(-5\\) wyłącza się z dwóch wyrazów). Zawsze warto sprawdzić strukturę zanim sięgnie się po schemat Hornera.","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wielomiany","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (4 pkt)
Dany jest wielomian
( )
3
2
5
9
45
W x
x
x
x
a) Sprawdź, czy punkt
(
)
1, 30
A =
należy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Nr zadania
8.1
8.2
8.3
8.4
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
13
Dany jest wielomian W(x)=x^3-5x^2-9x+45. a) Sprawdź, czy punkt A=(1,30) należy do wykresu tego wielomianu. b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. Matura 2008. Rozkład na czynniki wielomianu.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (4 pkt)
Dany jest wielomian
( )
3
2
5
9
45
W x
x
x
x
a) Sprawdź, czy punkt
(
)
1, 30
A =
należy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
a) Obliczam
( )
1
W
:
( )
3
2
1
1
5 1
9 1
45
32
W
-⋅
-⋅+
( )
1
30
≠
W
Otrzymany wynik oznacza, że punkt A nie należy do wykresu wielomianu W.
b) Rozkładam wielomian na czynniki:
( )
3
2
5
9
45
W x
x
x
x
3
2
9
5
45
x
x
x
(
)
(
)
2
2
9
5
9
x x
x
(
)(
)
2
9
5
x
x
(
)(
)(
)
3
3
5
x
x
x
Odpowiedź:
( )
(
)(
)(
)
3
3
5
W x
x
x
x
Poziom podstawowy
10

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Punkt \\(A = (1, 30)\\) NIE należy do wykresu \\(W\\), bo \\(W(1) = 32 \\neq 30\\).

\n

b) \\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)

\n

Sposób 1 - podstawienie i grupowanie

\n
Część a) - sprawdzenie przynależności punktu
\n

Punkt \\((x_0, y_0)\\) należy do wykresu wielomianu \\(\\iff\\) \\(W(x_0) = y_0\\).

\n

Sprawdzamy, czy \\(W(1) = 30\\):

\n

\\[W(1) = 1^3 - 5 \\cdot 1^2 - 9 \\cdot 1 + 45\\]
\\[= 1 - 5 - 9 + 45\\]
\\[= 32\\]

\n

\\(W(1) = 32 \\neq 30\\), więc punkt \\(A = (1, 30)\\) NIE należy do wykresu.

\n
Część b) - rozkład na czynniki przez grupowanie wyrazów
\n

Metoda grupowania polega na "sparowaniu" wyrazów tak, żeby wyciągnąć wspólny czynnik.

\n

\\[W(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 45\\]

\n

Grupujemy wyrazy parami:
\\[= (x^3 - 5x^2) + (-9x + 45)\\]

\n

Wyciągamy wspólny czynnik z każdej pary:
\\[= x^2(x - 5) - 9(x - 5)\\]

\n

Teraz \\((x-5)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników:
\\[= (x - 5)(x^2 - 9)\\]

\n

Rozpoznajemy różnicę kwadratów \\(x^2 - 9 = x^2 - 3^2\\):
\\[= (x - 5)(x - 3)(x + 3)\\]

\n

\\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\)

\n

Sposób 2 - odgadnięcie pierwiastka wymiernego i dzielenie wielomianów

\n
Część b) - szukanie pierwiastków całkowitych
\n

Obserwacja: Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych z wiodącym \\(1\\) ma pierwiastek wymierny, to musi być on dzielnikiem wyrazu wolnego.

\n

Wyraz wolny: \\(45\\). Dzielniki całkowite: \\(\\pm 1, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 9, \\pm 15, \\pm 45\\).

\n

Sprawdzamy \\(x = 5\\):
\\[W(5) = 125 - 125 - 45 + 45 = 0\\]

\n

\\(x = 5\\) jest pierwiastkiem, więc \\((x-5)\\) jest czynnikiem.

\n

Dzielimy \\(W(x)\\) przez \\((x-5)\\) - schemat Hornera:

\n

| | \\(1\\) | \\(-5\\) | \\(-9\\) | \\(45\\) |
| \\(\\times 5\\) | | \\(5\\) | \\(0\\) | \\(-45\\) |
| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-9\\) | \\(0\\) ✓ |

\n

Zatem:
\\[W(x) = (x-5)(x^2 + 0x - 9) = (x-5)(x^2 - 9)\\]

\n

Rozkładamy \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\):
\\[W(x) = (x-5)(x-3)(x+3)\\]

\n

\\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego do rozkładu \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) w obu sposobach.

\n

W tym zadaniu nie korzystamy z innych konkretnych wzorów z karty CKE - kluczowe są techniki algebry: grupowanie i dzielenie wielomianów.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu a) sprawdzamy, czy \\(W(1) = 30\\) (wartość \\(y\\)), a nie czy \\(W(30) = 1\\). Często uczniowie mylą, który współrzędny wstawiają do wielomianu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu wyrazów w b) - uważaj na znaki! \\(-9x + 45 = -9(x - 5)\\), bo \\(-9 \\cdot (-5) = +45\\). Błąd znaku to najczęstsza pomyłka przy tej metodzie.
\n
⚠️ Uwaga: \\(x^2 - 9\\) to NIE jest \\((x-9)(x+9)\\). To różnica kwadratów: \\((x-3)(x+3)\\), bo \\(9 = 3^2\\). Warto od razu rozpoznawać ten wzorzec.
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(W(1) = 32\\), punkt \\(A\\) NIE należy do wykresu; b) \\(W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)\\).

\n
Sposób 1 - Metoda grupowania
\n

a) Obliczamy \\(W(1)\\):
\\[W(1) = 1^{3} - 5\\cdot 1^{2} - 9\\cdot 1 + 45 = 1 - 5 - 9 + 45 = 32.\\]

\n

Poniewaz \\(W(1) = 32 \\ne 30\\), punkt \\(A = (1, 30)\\) nie należy do wykresu wielomianu.

\n

b) Rozkład na czynniki metodą grupowania.
Przegrupujmy wyrazy:
\\[W(x) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45 = x^{3} - 9x - 5x^{2} + 45 = x(x^{2} - 9) - 5(x^{2} - 9) = (x^{2}-9)(x-5).\\]

\n

Dalej: \\(x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)\\):
\\[\\boxed{W(x) = (x+3)(x-3)(x-5).}\\]

\n
Sposób 2 - Szukanie pierwiastków wymiernych
\n

Pierwiastki wymierne \\(W(x)\\) muszą być dzielnikami wyrazu wolnego \\(45\\): \\(\\pm 1, \\pm 3, \\pm 5, \\pm 9, \\pm 15, \\pm 45\\).

\n

Sprawdzamy:
\\[W(3) = 27 - 45 - 27 + 45 = 0 \\Rightarrow x = 3 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]
\\[W(-3) = -27 - 45 + 27 + 45 = 0 \\Rightarrow x = -3 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]
\\[W(5) = 125 - 125 - 45 + 45 = 0 \\Rightarrow x = 5 \\text{ jest pierwiastkiem.}\\]

\n

Trzy pierwiastki: \\(-3, 3, 5\\), więc:
\\[W(x) = (x+3)(x-3)(x-5).\\]

\n
Weryfikacja rozkładu
\n

\\((x+3)(x-3) = x^{2} - 9\\). Dalej:
\\[(x^{2}-9)(x-5) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45.\\] ✓

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Metoda grupowania - skuteczna, gdy współczynniki mają wyraźny wzorzec (tu: \\(-5\\) wyłącza się z dwóch wyrazów). Zawsze warto sprawdzić strukturę zanim sięgnie się po schemat Hornera.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) Nie, b) $W(x) = (x+3)(x-3)(x-5)$

"}]}