{"id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2008,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\nf x\nx\nx\nw przedziale\n2, 2\nNr zadania\n9.1\n9.2\n9.3\n9.4\n9.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=(2x+1)(x-2) w przedziale <-2,2>. Przekształcanie z postaci iloczynowej do postaci ogólnej. Wykres funkcji kwadratowej. Wierzchołek paraboli. Punkty należące do wykresu funkcji kwadratowej. Matura 2008.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n2\nf x\nx\nx\nw przedziale\n2, 2\nZapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej ( )\n2\n2\n3\n2\nf x\nx\nx\nWyznaczam odciętą wierzchołka paraboli:\n3\n2\n4\nw\nb\nx\na\nPierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału\n2, 2\n, więc\nnajmniejszą wartością funkcji f w tym przedziale jest druga współrzędna\nwierzchołka:\n25\n4\n8\nw\ny\na\n-Δ\nObliczam wartości funkcji na końcach przedziału: (\n)\n2\n12\nf -\n, ( )\n2\n0\nf\nNajwiększą wartością funkcji f w podanym przedziale jest (\n)\n2\n12\nf -\nOdpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest\n25\n8\nw\ny = -\n, a największą (\n)\n2\n12\nf -\nPoziom podstawowy\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - rozwinięcie boczne → wymiary stożka → objętość\n\n**Krok 1: Odczytaj wymiary ze rozwinięcia**\n\nRozwinięcie boczne stożka to wycinek koła. Jego elementy odpowiadają:\n- promień wycinka = tworzącą stożka: \\(l = 3\\)\n- długość łuku wycinka = obwodowi podstawy stożka\n\n**Krok 2: Oblicz długość łuku wycinka**\n\nKąt środkowy \\(\\alpha = 120°\\), promień \\(l = 3\\):\n\\[d = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi l = \\frac{120°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 = \\frac{1}{3} \\cdot 6\\pi = 2\\pi\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz promień podstawy stożka**\n\nDługość łuku = obwód podstawy:\n\\[2\\pi r = 2\\pi \\implies \\boxed{r = 1}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz wysokość stożka**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (tworzącą, promień, wysokość tworzą trójkąt prostokątny):\n\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{3^2 - 1^2} = \\sqrt{9 - 1} = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 5: Oblicz objętość**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1^2 \\cdot 2\\sqrt{2} = \\boxed{\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - proporcja łuków (podejście przez stosunek kątów)\n\nInny punkt wyjścia: promień podstawy \\(r\\) możemy wyznaczyć przez **stosunek kąta** do pełnego obrotu.\n\nGdy rozwijamy stożek, łuk wycinka (kąt \\(\\alpha\\)) przechodzi w pełen okrąg o promieniu \\(r\\). Zatem:\n\\[\\frac{\\text{długość łuku}}{\\text{obwód pełnego koła o promieniu }l} = \\frac{r}{l}\\]\n\n\\[\\frac{\\alpha}{360°} = \\frac{r}{l} \\implies \\frac{120°}{360°} = \\frac{r}{3} \\implies \\frac{1}{3} = \\frac{r}{3} \\implies r = 1\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[h = \\sqrt{9 - 1} = 2\\sqrt{2}, \\qquad V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1 \\cdot 2\\sqrt{2} = \\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w kroku 5 do obliczenia końcowego wyniku.\n\n**Dział 10 (Planimetria - wycinek koła, s. 19)** - długość łuku:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyte w kroku 2 do wyznaczenia długości łuku rozwinięcia (= obwodu podstawy stożka).\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Pitagorasa, s. 15)**:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w kroku 4 do wyznaczenia wysokości \\(h\\) ze związku \\(r^2 + h^2 = l^2\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień wycinka to **tworzącą stożka** \\(l\\), nie jego promień podstawy! Wiele osób podstawia \\(r = 3\\) bezpośrednio do wzoru na objętość - to błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapominanie o kroku z twierdzeniem Pitagorasa - \\(h \\neq l\\). Tworzącą, wysokość i promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny; \\(h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\), nie \\(h = l\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu długości łuku trzeba użyć **kąta 120°, nie 240°** (czyli kąta wycinka, nie reszty koła). Jeśli rysunek jest nieczytelny, pamiętaj: kąt środkowy wycinka to ten \"wewnętrzny\", podany w zadaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\).\n\n### Sposób 1 - Z porównania długości łuku wycinka i obwodu podstawy\nOznaczenia:\n- \\(l\\) - tworząca stożka (równa promieniowi wycinka): \\(l = 3\\),\n- \\(r\\) - promień podstawy stożka,\n- \\(h\\) - wysokość stożka.\n\n**Krok 1 - wyznaczenie \\(r\\) z warunku, że łuk wycinka = obwód podstawy:**\n\nDługość łuku wycinka o kącie środkowym \\(120° = \\dfrac{2\\pi}{3}\\) rad i promieniu \\(l\\):\n\\[L_{luk} = l\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3} = 3\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3} = 2\\pi.\\]\n\nAlternatywnie: kąt \\(120° = \\tfrac{1}{3}\\cdot 360°\\), więc łuk to \\(\\tfrac{1}{3}\\) obwodu koła o promieniu \\(l\\):\n\\[L_{luk} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 2\\pi l = \\dfrac{1}{3}\\cdot 2\\pi\\cdot 3 = 2\\pi.\\]\n\nObwód podstawy stożka: \\(2\\pi r\\). Porównanie:\n\\[2\\pi r = 2\\pi \\Rightarrow r = 1.\\]\n\n**Krok 2 - wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa:**\n\\[h^{2} + r^{2} = l^{2}\\]\n\\[h^{2} = 9 - 1 = 8\\]\n\\[h = 2\\sqrt{2}.\\]\n\n**Krok 3 - objętość stożka:**\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 1^{2}\\cdot 2\\sqrt{2} = \\dfrac{2\\sqrt{2}\\pi}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z porównania pola wycinka i pola powierzchni bocznej stożka\nPole wycinka koła o kącie środkowym \\(120°\\) i promieniu \\(l = 3\\):\n\\[P_{wyc} = \\dfrac{1}{3}\\pi l^{2} = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 9 = 3\\pi.\\]\n\nPole powierzchni bocznej stożka:\n\\[P_b = \\pi r l = \\pi r \\cdot 3 = 3\\pi r.\\]\n\nPorównanie: \\(3\\pi r = 3\\pi \\Rightarrow r = 1\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n### Komentarz dydaktyczny\n**Klucz:** łuk wycinka po rozwinięciu jest dokładnie obwodem podstawy stożka (bo powierzchnia boczna się \"zwija\" bez naciągnięcia). Stąd prosta zależność:\n\\[\\alpha\\cdot l = 2\\pi r \\quad \\text{(gdzie } \\alpha \\text{ w radianach)}\\]\nlub równoważnie \\(\\dfrac{\\alpha}{360°} = \\dfrac{r}{l}\\) (stosunek kąta do \\(360°\\) = stosunek promienia podstawy do tworzącej).\n\n### Weryfikacja\n\\(r = 1\\), \\(l = 3\\), \\(\\dfrac{r}{l} = \\dfrac{1}{3}\\) = \\(\\dfrac{120°}{360°}\\) ✓.\n\\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}\\pi}{3} \\approx \\dfrac{2\\cdot 1{,}414\\cdot 3{,}14159}{3} \\approx 2{,}961\\) (jednostek objętości).","image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2008 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (5 pkt)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej
( )
(
)(
)
2
1
2
f x
x
x
w przedziale
2, 2
Nr zadania
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
14
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=(2x+1)(x-2) w przedziale <-2,2>. Przekształcanie z postaci iloczynowej do postaci ogólnej. Wykres funkcji kwadratowej. Wierzchołek paraboli. Punkty należące do wykresu funkcji kwadratowej. Matura 2008.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (5 pkt)
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej
( )
(
)(
)
2
1
2
f x
x
x
w przedziale
2, 2
Zapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej ( )
2
2
3
2
f x
x
x
Wyznaczam odciętą wierzchołka paraboli:
3
2
4
w
b
x
a
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału
2, 2
, więc
najmniejszą wartością funkcji f w tym przedziale jest druga współrzędna
wierzchołka:
25
4
8
w
y
a
-Δ
Obliczam wartości funkcji na końcach przedziału: (
)
2
12
f -
, ( )
2
0
f
Największą wartością funkcji f w podanym przedziale jest (
)
2
12
f -
Odpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest
25
8
w
y = -
, a największą (
)
2
12
f -
Poziom podstawowy
11

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\)

\n

Sposób 1 - rozwinięcie boczne → wymiary stożka → objętość

\n

Krok 1: Odczytaj wymiary ze rozwinięcia

\n

Rozwinięcie boczne stożka to wycinek koła. Jego elementy odpowiadają:

\n\n

Krok 2: Oblicz długość łuku wycinka

\n

Kąt środkowy \\(\\alpha = 120°\\), promień \\(l = 3\\):
\\[d = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi l = \\frac{120°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 = \\frac{1}{3} \\cdot 6\\pi = 2\\pi\\]

\n

Krok 3: Wyznacz promień podstawy stożka

\n

Długość łuku = obwód podstawy:
\\[2\\pi r = 2\\pi \\implies \\boxed{r = 1}\\]

\n

Krok 4: Wyznacz wysokość stożka

\n

Z twierdzenia Pitagorasa (tworzącą, promień, wysokość tworzą trójkąt prostokątny):
\\[h = \\sqrt{l^2 - r^2} = \\sqrt{3^2 - 1^2} = \\sqrt{9 - 1} = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\]

\n

Krok 5: Oblicz objętość

\n

\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1^2 \\cdot 2\\sqrt{2} = \\boxed{\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi}\\]

\n

Sposób 2 - proporcja łuków (podejście przez stosunek kątów)

\n

Inny punkt wyjścia: promień podstawy \\(r\\) możemy wyznaczyć przez stosunek kąta do pełnego obrotu.

\n

Gdy rozwijamy stożek, łuk wycinka (kąt \\(\\alpha\\)) przechodzi w pełen okrąg o promieniu \\(r\\). Zatem:
\\[\\frac{\\text{długość łuku}}{\\text{obwód pełnego koła o promieniu }l} = \\frac{r}{l}\\]

\n

\\[\\frac{\\alpha}{360°} = \\frac{r}{l} \\implies \\frac{120°}{360°} = \\frac{r}{3} \\implies \\frac{1}{3} = \\frac{r}{3} \\implies r = 1\\]

\n

Dalej identycznie jak w Sposobie 1:
\\[h = \\sqrt{9 - 1} = 2\\sqrt{2}, \\qquad V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1 \\cdot 2\\sqrt{2} = \\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
Użyte w kroku 5 do obliczenia końcowego wyniku.

\n

Dział 10 (Planimetria - wycinek koła, s. 19) - długość łuku:
\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]
Użyte w kroku 2 do wyznaczenia długości łuku rozwinięcia (= obwodu podstawy stożka).

\n

Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Pitagorasa, s. 15):
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w kroku 4 do wyznaczenia wysokości \\(h\\) ze związku \\(r^2 + h^2 = l^2\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Promień wycinka to tworzącą stożka \\(l\\), nie jego promień podstawy! Wiele osób podstawia \\(r = 3\\) bezpośrednio do wzoru na objętość - to błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Zapominanie o kroku z twierdzeniem Pitagorasa - \\(h \\neq l\\). Tworzącą, wysokość i promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny; \\(h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\), nie \\(h = l\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu długości łuku trzeba użyć kąta 120°, nie 240° (czyli kąta wycinka, nie reszty koła). Jeśli rysunek jest nieczytelny, pamiętaj: kąt środkowy wycinka to ten "wewnętrzny", podany w zadaniu.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\pi\\).

\n
Sposób 1 - Z porównania długości łuku wycinka i obwodu podstawy
\n

Oznaczenia:

\n\n

Krok 1 - wyznaczenie \\(r\\) z warunku, że łuk wycinka = obwód podstawy:

\n

Długość łuku wycinka o kącie środkowym \\(120° = \\dfrac{2\\pi}{3}\\) rad i promieniu \\(l\\):
\\[L_{luk} = l\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3} = 3\\cdot\\dfrac{2\\pi}{3} = 2\\pi.\\]

\n

Alternatywnie: kąt \\(120° = \\tfrac{1}{3}\\cdot 360°\\), więc łuk to \\(\\tfrac{1}{3}\\) obwodu koła o promieniu \\(l\\):
\\[L_{luk} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 2\\pi l = \\dfrac{1}{3}\\cdot 2\\pi\\cdot 3 = 2\\pi.\\]

\n

Obwód podstawy stożka: \\(2\\pi r\\). Porównanie:
\\[2\\pi r = 2\\pi \\Rightarrow r = 1.\\]

\n

Krok 2 - wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa:
\\[h^{2} + r^{2} = l^{2}\\]
\\[h^{2} = 9 - 1 = 8\\]
\\[h = 2\\sqrt{2}.\\]

\n

Krok 3 - objętość stożka:
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 1^{2}\\cdot 2\\sqrt{2} = \\dfrac{2\\sqrt{2}\\pi}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Z porównania pola wycinka i pola powierzchni bocznej stożka
\n

Pole wycinka koła o kącie środkowym \\(120°\\) i promieniu \\(l = 3\\):
\\[P_{wyc} = \\dfrac{1}{3}\\pi l^{2} = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 9 = 3\\pi.\\]

\n

Pole powierzchni bocznej stożka:
\\[P_b = \\pi r l = \\pi r \\cdot 3 = 3\\pi r.\\]

\n

Porównanie: \\(3\\pi r = 3\\pi \\Rightarrow r = 1\\). Dalej jak w sposobie 1.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Klucz: łuk wycinka po rozwinięciu jest dokładnie obwodem podstawy stożka (bo powierzchnia boczna się "zwija" bez naciągnięcia). Stąd prosta zależność:
\\[\\alpha\\cdot l = 2\\pi r \\quad \\text{(gdzie } \\alpha \\text{ w radianach)}\\]
lub równoważnie \\(\\dfrac{\\alpha}{360°} = \\dfrac{r}{l}\\) (stosunek kąta do \\(360°\\) = stosunek promienia podstawy do tworzącej).

\n
Weryfikacja
\n

\\(r = 1\\), \\(l = 3\\), \\(\\dfrac{r}{l} = \\dfrac{1}{3}\\) = \\(\\dfrac{120°}{360°}\\) ✓.
\\(V = \\dfrac{2\\sqrt{2}\\pi}{3} \\approx \\dfrac{2\\cdot 1{,}414\\cdot 3{,}14159}{3} \\approx 2{,}961\\) (jednostek objętości).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Najmniejsza wartość: $-\\dfrac{25}{8}$, największa wartość: $12$

"}]}