{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/3","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym\nrównania\n3\n3\n2\n2\n1\n0\nx\nm x\nm x\njest liczba 1.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n5","answer":null,"answer_text":"3.1\nWykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach\nwielomianu i zapisanie równania z niewiadomą m:\n3\n3\n2\n2\n1\n1\n1 1\n0\nm\nm\n⋅\n⋅-=\n1\n3.2\nObliczenie wszystkich wartości m, dla których liczba 1 jest rozwiązaniem równania\n(pierwiastkiem wielomianu):\n0\nm =\nlub\n1\nm = .\n1\n3.3\nUzasadnienie, że dla\n0\nm =\nrównanie ma tylko jedno rozwiązanie\n1\nx = (wielomian\nma tylko jeden pierwiastek), np. dla\n0\nm =\nrównanie ma postać\n(\n)(\n)\n3\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n, a trójmian\n2\n1\nx\nx\n+ nie ma pierwiastków.\n1\n3.4\nUzasadnienie, że dla\n1\nm = równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian\nma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla\n1\nm = równanie ma postać\n(\n) (\n)\n2\n1\n1\n0\nx\nx\n, co oznacza, że liczba (\n)1\nteż jest jego rozwiązaniem.\n1\n3.1\nII sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2\nZapisanie równania w postaci iloczynu, np. (\n)(\n)\n2\n1\n0\nx\nx\nbx\nc\ni wykonanie\nmnożenia\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n1\n0\nx\nb\nx\nc\nb x\nc\n1\n3.2\nZastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków:\n1\nc = ,\n2\n1\nb\nm\n+ i\n3\n1\nb\nm\n+ oraz rozwiązanie równania\n3\n2\n1\n1\nm\nm\n+ :\n0\nm =\nlub\n1\nm = .\n1\n3.1\nIII sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2\nWykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia\nwielomianu W przez dwumian (\n)1\nx\n:\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n3\n2\n3\n3\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\nx\nm\nx\nx\nx\nW\n,\n1\n3\n3.2\nSkorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m:\n0\n2\n3\n-m\nm\nstąd\n0\nm =\nlub\n1\nm = .\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym
równania
3
3
2
2
1
0
x
m x
m x
jest liczba 1.
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Poziom rozszerzony
5

","answer_text_html":"

3.1
Wykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach
wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą m:
3
3
2
2
1
1
1 1
0
m
m
⋅
⋅-=
1
3.2
Obliczenie wszystkich wartości m, dla których liczba 1 jest rozwiązaniem równania
(pierwiastkiem wielomianu):
0
m =
lub
1
m = .
1
3.3
Uzasadnienie, że dla
0
m =
równanie ma tylko jedno rozwiązanie
1
x = (wielomian
ma tylko jeden pierwiastek), np. dla
0
m =
równanie ma postać
(
)(
)
3
2
1
1
1
0
x
x
x
x
, a trójmian
2
1
x
x

\n\n

1
3.4
Uzasadnienie, że dla
1
m = równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian
ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla
1
m = równanie ma postać
(
) (
)
2
1
1
0
x
x
, co oznacza, że liczba (
)1
też jest jego rozwiązaniem.
1
3.1
II sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2
Zapisanie równania w postaci iloczynu, np. (
)(
)
2
1
0
x
x
bx
c
i wykonanie
mnożenia
(
)
(
)
3
2
1
0
x
b
x
c
b x
c
1
3.2
Zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków:
1
c = ,
2
1
b
m

\n\n

3
1
b
m

\n\n

3
2
1
1
m
m

\n\n

0
m =
lub
1
m = .
1
3.1
III sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2
Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia
wielomianu W przez dwumian (
)1
x
:
( )
(
)
(
)
(
) (
)
2
3
2
3
3
2
1
1
1
m
m
m
m
x
m
x
x
x
W
,
1
3
3.2
Skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m:
0
2
3
-m
m
stąd
0
m =
lub
1
m = .
1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
4

","solutions":[]}