{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/4","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nWiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu\n2\n3\ny\nx\n- w punkcie\n(\n)\n2,1\nA =\ni styczny do prostej o równaniu\n1\n9\n2\ny\nx\nw punkcie\n(\n)\n4,7\nB = -\n. Oblicz promień tego\nokręgu.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n6","answer":null,"answer_text":"4.1\nWykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do\nstycznej w punkcie styczności.\n1\n4.2\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej\no równaniu\n1\n9\n2\ny\nx\n:\n2\n1\ny\nx\n1\n4.3\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej\no równaniu\n2\n3\ny\nx\n-:\n1\n2\n2\ny\nx\n1\n4.4\nObliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych\n1\n2\n2\ny\nx\ni\n2\n1\ny\nx\n-,\nktóry jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych:\n(\n)\n2,3\nS = -\n1\n4\n4.5\nObliczenie promienia szukanego okręgu:\n2 5\nr\nSA\nSB\n1\nJeśli zdający nie zapisał w\npunkcie 4.1 własności:\npromień okręgu jest\nprostopadły do stycznej w\npunkcie styczności, ale z niej\nskorzystał w rozwiązaniu, to\nprzyznajemy punkt w\nczynności 4.1.\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n5\n4.1\nII sposób rozwiązania:\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\nx\ny\nB\nA\nP\nS\nW\nWykorzystanie własności - środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB.\nObliczenie współrzędnych punktów W - przecięcia się danych prostych\noraz P - środka odcinka AB:\n(\n)\n8,13\nW =\n,\n(\n)\n1,4\nP = -\n1\n4.2\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty W oraz P (symetralnej\nodcinka AB):\n5\ny\nx\n1\n4.3\nWyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej,\nna której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do\nprostej, na której leży ten punkt):\n2\n1\ny\nx\n- lub\n1\n2\n2\ny\nx\n1\n4.4\nObliczenie współrzędnych środka okręgu:\n(\n)\n2,3\nS = -\n1\n4.5\nObliczenie promienia okręgu:\n2 5\nr\nSA\nSB\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n6\n4.1\nIII sposób rozwiązania\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\nx\ny\nB\nA\nP\nS\nW\nObliczenie współrzędnych punktu W i obliczenie długości odcinków AW i BW:\n(\n)\n8,13\nW =\n,\n6 5\nAW\nBW\n(trójkąt AWB jest równoramienny).\n1\n4.2\nObliczenie współrzędnych punktu P (środka odcinka AB) oraz długości odcinków BP\ni PW:\n(\n)\n1,4\nP = -\n,\n3 2\nBP =\n,\n9 2\nPW =\n1\n4.3\nStwierdzenie podobieństwa trójkątów BWP i BSP.\n1\n4.4\nZapisanie proporcji BS\nBW\nBP\nPW\n1\n4.5\nObliczenie promienia okręgu:\n2 5\nr\nAS\nBS\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n7","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 4. (5 pkt)
Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu
2
3
y
x

\n\n

(
)
2,1
A =
i styczny do prostej o równaniu
1
9
2
y
x
w punkcie
(
)
4,7
B = -
. Oblicz promień tego
okręgu.
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Poziom rozszerzony
6

","answer_text_html":"

4.1
Wykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do
stycznej w punkcie styczności.
1
4.2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej
o równaniu
1
9
2
y
x
:
2
1
y
x
1
4.3
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej
o równaniu
2
3
y
x
-:
1
2
2
y
x
1
4.4
Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych
1
2
2
y
x
i
2
1
y
x
-,
który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych:
(
)
2,3
S = -
1
4
4.5
Obliczenie promienia szukanego okręgu:
2 5
r
SA
SB
1
Jeśli zdający nie zapisał w
punkcie 4.1 własności:
promień okręgu jest
prostopadły do stycznej w
punkcie styczności, ale z niej
skorzystał w rozwiązaniu, to
przyznajemy punkt w
czynności 4.1.
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
5
4.1
II sposób rozwiązania:
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
y
B
A
P
S
W
Wykorzystanie własności - środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB.
Obliczenie współrzędnych punktów W - przecięcia się danych prostych
oraz P - środka odcinka AB:
(
)
8,13
W =
,
(
)
1,4
P = -
1
4.2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty W oraz P (symetralnej
odcinka AB):
5
y
x
1
4.3
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej,
na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do
prostej, na której leży ten punkt):
2
1
y
x

\n\n

1
2
2
y
x
1
4.4
Obliczenie współrzędnych środka okręgu:
(
)
2,3
S = -
1
4.5
Obliczenie promienia okręgu:
2 5
r
SA
SB
1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
6
4.1
III sposób rozwiązania
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
y
B
A
P
S
W
Obliczenie współrzędnych punktu W i obliczenie długości odcinków AW i BW:
(
)
8,13
W =
,
6 5
AW
BW
(trójkąt AWB jest równoramienny).
1
4.2
Obliczenie współrzędnych punktu P (środka odcinka AB) oraz długości odcinków BP
i PW:
(
)
1,4
P = -
,
3 2
BP =
,
9 2
PW =
1
4.3
Stwierdzenie podobieństwa trójkątów BWP i BSP.
1
4.4
Zapisanie proporcji BS
BW
BP
PW
1
4.5
Obliczenie promienia okręgu:
2 5
r
AS
BS
1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
7

","solutions":[]}