{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne\nsąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do\npodstawy graniastosłupa pod kątem\n60\nα =\n°. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną\nrówna się 8 3 . Zaznacz na poniższym rysunku kąt α . Oblicz objętość tego graniastosłupa.\nA\nC\nB\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n10","answer":null,"answer_text":"8.2\nWyznaczenie wysokości w z trójkąta prostokątnego CDE:\n2\na\nDE =\ni z własności\ntrójkąta CDE\n2\nw\nDE\n⋅\nstąd w\na\n1\n8.3\nObliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa:\n3\nAB\na\n,\n4\na =\n1\n8.4\nObliczenie wysokości h graniastosłupa:\n2 3\nh =\n1\n8.5\nObliczenie objętości V graniastosłupa:\n144\nV =\n1\n9.1\nPrzyjęcie metody prowadzącej do wyznaczenia zależności między bokami AB i BC\ntrójkąta ABC (np. zapisanie pola trójkąta ABC na dwa sposoby lub zapisanie, że\nADB\nCEB\nΔ\nΔ\n∼\n).\n1\n9.2\nWyznaczenie zależności między bokami AB i BC trójkąt ABC: AB\na\n,\n2\nAC\nBC\na\nlub\n2\nBC\nAB\n1\n9.3\nObliczenie kosinusa kąta ABC , np. z trójkąta CEB:\n1\ncos\ncos\n4\nABC\nCAB\n)\n)\n1\nZdający nie musi zapisywać\n„podwójnej” równości.\nWystarczy, że oznaczy tą samą\nliterą kąty przy podstawie\ntrójkąta.\n9.4\nWyznaczenie BD z trójkąta ADB:\ncos\nBD\nABD\nAB =\n)\nstąd\n1\n4\nBD\nAB\n⋅\noraz,\n7\n4\nCD\nAB\n1\n9.5\nObliczenie kosinusa kąta BCA z trójkąta ADC:\n7\ncos\n8\nCD\nBCA\nAC\n)\n1\n9\n9.4\nII sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)\nZapisanie długości boków trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej,\nnp.: AB\na\n,\n2\nAC\nBC\na\nObliczenie z tw. Pitagorasa w trójkącie ACE wysokości CE:\n15\n2\na\nCE =\n, oraz\n1\n15\n2\n4\na\nAD\nCE\n⋅\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n10","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 8. (5 pkt)
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne
sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do
podstawy graniastosłupa pod kątem
60
α =
°. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną
równa się 8 3 . Zaznacz na poniższym rysunku kąt α . Oblicz objętość tego graniastosłupa.
A
C
B
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Poziom rozszerzony
10

","answer_text_html":"

8.2
Wyznaczenie wysokości w z trójkąta prostokątnego CDE:
2
a
DE =
i z własności
trójkąta CDE
2
w
DE
⋅
stąd w
a
1
8.3
Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa:
3
AB
a
,
4
a =
1
8.4
Obliczenie wysokości h graniastosłupa:
2 3
h =
1
8.5
Obliczenie objętości V graniastosłupa:
144
V =
1
9.1
Przyjęcie metody prowadzącej do wyznaczenia zależności między bokami AB i BC
trójkąta ABC (np. zapisanie pola trójkąta ABC na dwa sposoby lub zapisanie, że
ADB
CEB
Δ
Δ
∼
).
1
9.2
Wyznaczenie zależności między bokami AB i BC trójkąt ABC: AB
a
,
2
AC
BC
a
lub
2
BC
AB
1
9.3
Obliczenie kosinusa kąta ABC , np. z trójkąta CEB:
1
cos
cos
4
ABC
CAB
)
)
1
Zdający nie musi zapisywać
„podwójnej” równości.
Wystarczy, że oznaczy tą samą
literą kąty przy podstawie
trójkąta.
9.4
Wyznaczenie BD z trójkąta ADB:
cos
BD
ABD
AB =
)
stąd
1
4
BD
AB
⋅
oraz,
7
4
CD
AB
1
9.5
Obliczenie kosinusa kąta BCA z trójkąta ADC:
7
cos
8
CD
BCA
AC
)
1
9
9.4
II sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)
Zapisanie długości boków trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej,
np.: AB
a
,
2
AC
BC
a
Obliczenie z tw. Pitagorasa w trójkącie ACE wysokości CE:
15
2
a
CE =
, oraz
1
15
2
4
a
AD
CE
⋅
1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
10

","solutions":[]}