{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/9","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (5 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC , w którym\nBC\nAC =\nwysokość CE jest dwa razy\ndłuższa od wysokości AD (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych\ntrójkąta ABC .\nA\nB\nC\nE\nD\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"9.5\nObliczenie sinusa kąta DCA z trójkąta ADC:\n15\nsin\n8\nAD\nDCA\nAC\n)\n1\n9.4\nIII sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)\nPrzedstawienie metody pozwalającej obliczyć kosinus kąta przy wierzchołku C :\nnp. z trójkąta prostokątnego ADC :\ncos\n1\nDC\nDC\nDB\nDB\nDB\nDCA\nAC\nDB\nDC\nDB\nDC\n)\noraz wyznaczenie BD z\ntrójkąta ADB:\n1\n4\nBD\nAB\n⋅\n1\n9.5\nObliczenie kosinusa kąta DCA:\n7\ncos\n8\nDCA =\n)\n1\n9.4\nIV sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)\nZastosowanie twierdzenia kosinusów i zapisanie, że\n2\n2\n2\n2\ncos\nAB\nAC\nBC\nAC\nBC\nBCA\n-⋅\n⋅\n⋅\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n) (\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\na\na\na\na\na\nBCA\n-⋅\n⋅\n⋅\n)\n1\n9.5\nObliczenie kosinusa kąta BCA:\n7\ncos\n8\nBCA =\n)\n1\n10.1\nWyznaczenie wyrazu\n1\nna + :\n1\n3 n\nna\n1\n10.2\nObliczenie ilorazu ciągu (\n)\nna\n:\n1\n3\nq\nlub\n1\n3\nq =\n1\nJeśli zdający od razu poda\nprawidłowo iloraz ciągu to\notrzymuje również punkt w\nczynności 10.1\n10.3\nZapisanie sumy logarytmów:\n( )\n1\n2\n99\n100\n3\n3\n3\n3\nlog 1 log\n3\nlog 3\nlog 3\nS\n1\n10.4\nZapisanie sumy logarytmów w postaci:\n(1 2 3 99)\n50 ( 99)\n100\n3\n3\nlog 3\nlog 3\nS\n⋅-\n1\n10\n10.5\nObliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu:\n100\n4950\nS\n1\nPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n11","solution":null,"image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 9. (5 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC , w którym
BC
AC =
wysokość CE jest dwa razy
dłuższa od wysokości AD (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych
trójkąta ABC .
A
B
C
E
D
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Poziom rozszerzony
11
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Poziom rozszerzony
12

","answer_text_html":"

9.5
Obliczenie sinusa kąta DCA z trójkąta ADC:
15
sin
8
AD
DCA
AC
)
1
9.4
III sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)
Przedstawienie metody pozwalającej obliczyć kosinus kąta przy wierzchołku C :
np. z trójkąta prostokątnego ADC :
cos
1
DC
DC
DB
DB
DB
DCA
AC
DB
DC
DB
DC
)
oraz wyznaczenie BD z
trójkąta ADB:
1
4
BD
AB
⋅
1
9.5
Obliczenie kosinusa kąta DCA:
7
cos
8
DCA =
)
1
9.4
IV sposób rozwiązania: (czynności 10.4, 10.5)
Zastosowanie twierdzenia kosinusów i zapisanie, że
2
2
2
2
cos
AB
AC
BC
AC
BC
BCA
-⋅
⋅
⋅
)
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
a
a
a
a
a
BCA
-⋅
⋅
⋅
)
1
9.5
Obliczenie kosinusa kąta BCA:
7
cos
8
BCA =
)
1
10.1
Wyznaczenie wyrazu
1
na + :
1
3 n
na
1
10.2
Obliczenie ilorazu ciągu (
)
na
:
1
3
q
lub
1
3
q =
1
Jeśli zdający od razu poda
prawidłowo iloraz ciągu to
otrzymuje również punkt w
czynności 10.1
10.3
Zapisanie sumy logarytmów:
( )
1
2
99
100
3
3
3
3
log 1 log
3
log 3
log 3
S
1
10.4
Zapisanie sumy logarytmów w postaci:
(1 2 3 99)
50 ( 99)
100
3
3
log 3
log 3
S
⋅-
1
10
10.5
Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu:
100
4950
S
1
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
11

","solutions":[]}