Zadanie 1. (5 pkt)
Punkty
(
)
2,12
A = -
i
(
)
6,
2
B =
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o kącie
prostym przy wierzchołku C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta, wiedząc,
że leży on na prostej o równaniu
3
22
x
y
. Sporządź rysunek w prostokątnym układzie
współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
3
Nr czynności
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
4
1.1
I metoda rozwiązania („PITAGORAS”):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych: np.
1
• Rysunek musi zawierać daną prostą oraz
punkty A i B. Inne elementy mogą, ale nie
muszą być uwzględnione.
• Współrzędne punktu C można odczytać
z rysunku, ale zdający musi sprawdzić, np.
przez wstawienie do równania prostej
prawidłowość odczytu. Przyznajemy pełna
pulę punktów.
• W przypadku, gdy zdający poda odczytane
współrzędne punktu C i nie dokona
sprawdzenia z warunkami zadania otrzymuje
punkty tylko w czynnościach 1.1 i 1.5.
1.2
Wprowadzenie oznaczenia współrzędnych punktu C, np.
(22
3 , )
C
y y
lub
1
22
( ,
)
3
3
C
x
x
1
1.3
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie warunku
prostopadłości odcinków AC i BC:
2
2
2
AC
BC
AB
, w którym
2
2
10
168
720
AC
y
y
,
2
2
10
92
260
BC
y
y
,
2
260
AB
lub
(
)
2
2
1 10
64
232
9
AC
x
y
,
(
)
2
2
1 10
164 1108
9
BC
x
1
1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą:
np.
2
13
36
0
y
y
lub
2
5
50
0
x
x
1
1.5
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
(
)
10,4
C =
lub
(
)
5,9
C = -
1
x
y
0
1
2
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
9
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-6
-7
-8
10
11
12
13
9
8
10
11
12
A
B
C
C
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
2
1.1
II metoda rozwiązania („WEKTORY”):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.
1
Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty
A i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być
uwzględnione.
1.2
Wprowadzenie oznaczeń pomocniczych i wyznaczenie wektorów:
np.
(22
3 , )
C
y y
,
[ 24
3 ,12
]
CA
y
y
→
,
[ 16
3 , 2
]
CB
y
y
→
lub
1
22
( ,
)
3
3
C
x
x
,
1
14
[ 2
,
]
3
3
CA
x
x
→
,
1
28
[6
,
]
3
3
→
CB
x
x
1
1.3
Wykorzystanie warunku prostopadłości wektorów
→
CA ,
→
CB i zapisanie
równania: np.
(
)(
) (
)(
)
24
3
16
3
12
2
0
y
y
y
y
, gdzie y to rzędna punktu C
lub (
)(
)
(
)(
)
1
2
6
14
28
0
9
x
x
x
x
, gdzie x to odcięta punktu C.
1
1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą :
np.
2
13
36
0
y
y
lub
2
5
50
0
x
x
1
1.5
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
(
)
10,4
C =
lub
(
)
5,9
C = -
1
1.1
III metoda rozwiązania („KONSTRUKCJA”):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.
1
Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty
A i B. Inne elementy mogą, ale nie muszą być
uwzględnione.
1.2
Zapisanie równania okręgu o środku w punkcie
(
)
2,5
S =
, który jest
środkiem odcinka AB i promieniu
1
1
260
2
2
r
AB
:
(
)
(
)
2
2
2
1
2
5
260
2
x
y
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
1
1.3
Zapisanie układu równań:
(
)
(
)
2
2
2
3
22
1
2
5
260
2
x
y
x
y
⎧
⎪⎨
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
1
1.4 Doprowadzenie obliczeń do postaci równania kwadratowego,
np.:
2
13
36
0
y
y
lub
2
5
50
0
x
x
1
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
3
1.5
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
(
)
10,4
C =
lub
(
)
5,9
C = -
1
Ogólnie, rozwiązanie powinno mieć postać:
1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.
1
1.2 Przedstawienie metody pozwalającej wyznaczyć punkt C.
1
1.3 Zapisanie warunków algebraicznych wynikających z obranej
metody rozwiązania.
1
W metodzie II i III przestawione zostały
czynności 1.2 i 1.3 i zapisane w kolejności takiej,
jaka będzie miała miejsce w trakcie rozwiązania
tą metodą.
1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą.
1
1.5 Wyznaczenie współrzędnych punktów C.
1
2.1 Zapisanie wzoru funkcji g w postaci ( )
2
3 +
= x
a
x
g
dla
3
x ≠-.
1
Przyznajemy punkt również wtedy, gdy zdający
nie zapisze dziedziny funkcji g.
2.2 Wyznaczenie współczynnika a z równania (
)
6
4 =
g
:
4
a
1
2.3 Doprowadzenie nierówności
4
2
4
3
x
<
do postaci 2
10
0
3
x
x
<
1
2
2.4
Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności ( ) 4
<
x
g
:
(
)
(
)
, 5
3,
x∈-∞-
∪-
∞.
1
3.1 Zapisanie podstawy logarytmu:
2
p
1
3.2 Obliczenie wartości funkcji f dla argumentu
125
,0
x
: (
)
3
125
,0
f
1
3.3 Narysowanie wykresu funkcji
(
)
4
x
f
y
1
3
3.4
Narysowanie wykresu funkcji g
1
W tej czynności oceniamy poprawność
wykonania przekształcenia
( )
x
f
y =
. Punkt
przyznajemy trównież wtedy, gdy zdający
niepoprawnie wykona przesunięcie, ale
poprawnie wykona przekształcenie
( )
x
f
y =
Jeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji g,
to przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4.
x
y
0
1
2
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
9
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-4
-5
-6
10
11
12
13
(
)
4
log2
x
y
(
)
4
log2
x
y
x
y
2
log
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
4
lub
"}]}