{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nDany jest ciąg\nn\nxn\n= 1\ndla\n1\nn ≥. Ciąg\n)\n(\nny\nma tę własność, że dla każdego\n1\nn ≥ punkty\no współrzędnych (\n,0)\nnx\n, (\n)\n1,1\n, (0,\n)\nny\nleżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny\nciągu\n)\n(\nny\nNr czynności\n10.1.\n10.2.\n10.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n18","answer":null,"answer_text":"10.1\nIV metoda rozwiązania:\nWprowadzenie oznaczeń:\n(\n)\n,0\nn\nA\nx\n,\n(\n)\n1,1\nP = -\n,\n(\n)\n0,\nn\nC\ny\nWykorzystanie zależności: AP\nPC\nAC\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1 0\n0 1\n1\n0\n0\nn\nn\nn\nn\nx\ny\nx\ny\n1\n10.2\nPodstawienie\n1\nnx\nn\ni doprowadzenie wyrażenia do postaci:\n(\n)\n2\n1\n0\nn\nn y\nn\n⋅\n1\n10.3 Zapisanie wzoru szukanego ciągu:\n1\n1\nny\nn\nalbo\n1\nn\nn\ny\nn\n1\n11.1\nPrzyjęcie oznaczeń, wykorzystanie definicji lub własności ciągu\ngeometrycznego i zapisanie zależności między długościami boków\ntrójkąta prostokątnego, np.: a, b, c - długości boków trójkąta\nprostokątnego i\nc\nb\na\n<\n<\n,\nq\na\nb\n⋅\n,\n2\nq\na\nc\n⋅\nlub\nac\nb =\n2\n1\n11.2\nWykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym\nwystępują najwyżej dwie niewiadome, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\naq\naq\na\nlub\n2\n2\nc\nac\na\n1\n11.3 Zapisanie równania, np.:\n0\n1\n2\n4\n-q\nq\nlub\n0\n1\n2\n⎟⎠\n⎞\n⎜⎝\n⎛\na\nc\na\nc\n1\n11.4\nWykonanie podstawienia\n2\nq\nt =\nlub\na\nc\nt =\ni rozwiązanie równania\n0\n1\n2\n-t\nt\n:\n2\n5\n1\n2\n5\n1\n∨\nt\nt\n1\n11\n11.5 Obliczenie ilorazu ciągu:\n2\n5\n1+\nq\n1","solution":"$y_n = 1 + \\dfrac{1}{n}$ albo $y_n = \\dfrac{n+1}{n}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (3 pkt)
Dany jest ciąg
n
xn
= 1
dla
1
n ≥. Ciąg
)
(
ny
ma tę własność, że dla każdego
1
n ≥ punkty
o współrzędnych (
,0)
nx
, (
)
1,1
, (0,
)
ny
leżą na jednej prostej. Wyznacz wzór ogólny
ciągu
)
(
ny
Nr czynności
10.1.
10.2.
10.3.
Maks. liczba pkt
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
18

","answer_text_html":"

10.1
IV metoda rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń:
(
)
,0
n
A
x
,
(
)
1,1
P = -
,
(
)
0,
n
C
y
Wykorzystanie zależności: AP
PC
AC
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1 0
0 1
1
0
0
n
n
n
n
x
y
x
y
1
10.2
Podstawienie
1
nx
n
i doprowadzenie wyrażenia do postaci:
(
)
2
1
0
n
n y
n
⋅
1
10.3 Zapisanie wzoru szukanego ciągu:
1
1
ny
n
albo
1
n
n
y
n
1
11.1
Przyjęcie oznaczeń, wykorzystanie definicji lub własności ciągu
geometrycznego i zapisanie zależności między długościami boków
trójkąta prostokątnego, np.: a, b, c - długości boków trójkąta
prostokątnego i
c
b
a
<
<
,
q
a
b
⋅
,
2
q
a
c
⋅
lub
ac
b =
2
1
11.2
Wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym
występują najwyżej dwie niewiadome, np.:
(
)
(
)
2
2
2
2
aq
aq
a
lub
2
2
c
ac
a
1
11.3 Zapisanie równania, np.:
0
1
2
4
-q
q
lub
0
1
2
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
a
c
a
c
1
11.4
Wykonanie podstawienia
2
q
t =
lub
a
c
t =
i rozwiązanie równania
0
1
2
-t
t
:
2
5
1
2
5
1
∨
t
t
1
11
11.5 Obliczenie ilorazu ciągu:
2
5
1+
q
1

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

yn=1+1n albo yn=n+1n

"}]}