{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nPole obszaru ograniczonego wykresem funkcji\n2\nx\ny =\ndla\n1\n,0\n∈\nx\ni osią Ox możemy\nobliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę n prostokątów o szerokości n\n1 każdy\n(patrz rysunek) i sumując ich pola.\na) Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla\n4\nn\ni oblicz sumę pól otrzymanych\nprostokątów.\nb) Oblicz sumę\nn\nS pól n prostokątów, wykorzystując wzór:\n6\n)1\n2\n)(\n1\n(\n3\n2\n1\n2\n2\n2\n2\nn\nn\nn\nn\nx\ny\n0\n1\n1\ny y y\nx\ny\n0\n1\n1\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n11\nNr czynności\n5.1.\n5.2.\n5.3.\n5.4.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"5.1\nSporządzenie rysunku dla n = 4.\n1\n5.2\nObliczenie sumy pól czterech prostokątów:\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n1\n3\n1\n4\n15\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n4\n32\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n1\n5.3\nObliczenie sumy pól wszystkich n prostokątów w postaci:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n1\n1\n2\n1\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n1\nWystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą\nstronę podanej postaci.\n5\n5.4\nWykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci:\n3\n(\n1)(2\n1)\n6\nn\nn n\nn\nS\nn\nlub\n2\n(\n1)(2\n1)\n6\nn\nn\nn\nS\nn\n1\n6.1 Zapisanie wielomianu w postaci:\n( )\n9\n6\n2\n2\n2\n3\n4\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nW\n1\n6.2\nZapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych:\nnp.\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n1\nx\nx\nx\nx\nW\nlub\n( ) (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\nx\nx\nx\nx\nW\n1\n6.3\nUzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być\njednocześnie równe 0, więc wielomian\n( )\nx\nW\nnie ma pierwiastków\nrzeczywistych.\n1\n6\n6.1\nII metoda rozwiązania:\nObliczenie pochodnej wielomianu\n( )\nW x i jej miejsca zerowego:\n( )\n(\n)(\n)\n2\n2 2\n3\n1\nW\nx\nx\nx\n,\n3\n2\nx =\n1\nx\ny\n0\n1\n4\n1\n4\n3\n4\n2\n16\n1\n16\n4\n16\n9\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n6","solution":"$S_n = \\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ lub $S_n = \\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 5. (4 pkt)
Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji
2
x
y =
dla
1
,0
∈
x
i osią Ox możemy
obliczyć z dowolną dokładnością, zwiększając liczbę n prostokątów o szerokości n
1 każdy
(patrz rysunek) i sumując ich pola.
a) Przedstaw ilustrację graficzną takiej sytuacji dla
4
n
i oblicz sumę pól otrzymanych
prostokątów.
b) Oblicz sumę
n
S pól n prostokątów, wykorzystując wzór:
6
)1
2
)(
1
(
3
2
1
2
2
2
2
n
n
n
n
x
y
0
1
1
y y y
x
y
0
1
1

\n

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
11
Nr czynności
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
12

","answer_text_html":"

5.1
Sporządzenie rysunku dla n = 4.
1
5.2
Obliczenie sumy pól czterech prostokątów:
2
2
2
2
1
1
1
2
1
3
1
4
15
4
4
4
4
4
4
4
4
32
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
⋅
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1
5.3
Obliczenie sumy pól wszystkich n prostokątów w postaci:
2
2
2
2
2
2
3
1
1
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
1
Wystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą
stronę podanej postaci.
5
5.4
Wykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci:
3
(
1)(2
1)
6
n
n n
n
S
n
lub
2
(
1)(2
1)
6
n
n
n
S
n
1
6.1 Zapisanie wielomianu w postaci:
( )
9
6
2
2
2
3
4
x
x
x
x
x
x
W
1
6.2
Zapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych:
np.
( )
(
)
(
)
2
2
2
3
1
x
x
x
x
W
lub
( ) (
)
(
)
2
2
2
3
x
x
x
x
W
1
6.3
Uzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być
jednocześnie równe 0, więc wielomian
( )
x
W
nie ma pierwiastków
rzeczywistych.
1
6
6.1
II metoda rozwiązania:
Obliczenie pochodnej wielomianu
( )
W x i jej miejsca zerowego:
( )
(
)(
)
2
2 2
3
1
W
x
x
x
,
3
2
x =
1
x
y
0
1
4
1
4
3
4
2
16
1
16
4
16
9
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
6

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Sn=n(n+1)(2n+1)6n3 lub Sn=(n+1)(2n+1)6n2

"}]}