{"id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2008,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (5 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości\n2 . Wszystkie\nściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany\nwewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP\nopuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H.\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15\nNr czynności\n8.1.\n8.2.\n8.3.\n8.4.\n8.5.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nPoziom rozszerzony\n16","answer":null,"answer_text":"8.1\nI metoda rozwiązania:\nSporządzenie rysunku\n1\nZdający może pominąć uzasadnienie, że punkt\nP leży na wysokości DO.\n8.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:\n1\na = .\n1\n8.3\nObliczenie objętości ostrosłupa ABCD, np. poprzez stwierdzenie, że\ndany ostrosłup to „naroże” sześcianu o krawędzi długości 1:\n1\n6\nABCD\nV\n1\n8.4\nZapisanie równania z niewiadomą H - szukaną odległością:\n(\n)\n2\n2\n3\n1 1\n1\n1\n3 3 2\n3\n4\n6\nH\nH\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n1\nWystarczy że zdający zapisze, że objętość\nostrosłupa jest sumą objętości czterech\nostrosłupów, których podstawami są ściany\ndanego ostrosłupa, a wysokością szukana\nodległość .\n8\n8.5 Obliczenie szukanej odległości:\n3\n3\n6\nH\n1\ny\ny\nA\nB\nC\nD\nP\nO\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n8\n8.1\nII metoda rozwiązania:\nSporządzenie rysunku:\n1P jest rzutem punktu P na wysokość ściany bocznej\n1\nDC .\n1\n8.2 Obliczenie długości\n1\nDC :\n1\n1\n2\n2\n2\nDC\nAB\n1\n8.3\nWyznaczenie DO z trójkąta\n1\nDOC : np.\n2\n2\n2\n1\n1\nDO\nDC\nOC\n, gdzie\n1\n1\n2\n3\n6\n3\n2\n6\nOC\n⋅\n⋅\n, stąd\n3\n3\nDO =\n1\n8.4\nZapisanie równania z niewiadomą H, np. z podobieństwa trójkątów\n1\n1\nPPD\nDOC\nΔ\nΔ\n∼\nwynika proporcja\n1\n1\n1\nPP\nOC\nDP\nDC\ni\n1\nPP\nH\n,\n6\n6\n3\n2\n3\n2\nH\nH\n1\n8\n8.5 Obliczenie szukanej odległości:\n3\n3\n6\nH\n1\n9.1 Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych:\n!\n8\nΩ\n1\n9\n9.2\nObliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,\nże jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed\nmężem:\n36\n!\n3\n!\n3\n⋅\nA\n1\nWystarczy zapis\n!\n3\n!\n3 ⋅\nA\nlub\n36\nA\ny\ny\nA\nB\nC\nD\nP\nO\nC1\nP1 y\nPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n9","solution":"$H = \\dfrac{3 - \\sqrt{3}}{6}$","image":"img/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2008 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 8. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości
2 . Wszystkie
ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany
wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP
opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H.

\n

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
15
Nr czynności
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Poziom rozszerzony
16

","answer_text_html":"

8.1
I metoda rozwiązania:
Sporządzenie rysunku
1
Zdający może pominąć uzasadnienie, że punkt
P leży na wysokości DO.
8.2 Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:
1
a = .
1
8.3
Obliczenie objętości ostrosłupa ABCD, np. poprzez stwierdzenie, że
dany ostrosłup to „naroże” sześcianu o krawędzi długości 1:
1
6
ABCD
V
1
8.4
Zapisanie równania z niewiadomą H - szukaną odległością:
(
)
2
2
3
1 1
1
1
3 3 2
3
4
6
H
H
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
1
Wystarczy że zdający zapisze, że objętość
ostrosłupa jest sumą objętości czterech
ostrosłupów, których podstawami są ściany
danego ostrosłupa, a wysokością szukana
odległość .
8
8.5 Obliczenie szukanej odległości:
3
3
6
H
1
y
y
A
B
C
D
P
O
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
8
8.1
II metoda rozwiązania:
Sporządzenie rysunku:
1P jest rzutem punktu P na wysokość ściany bocznej
1
DC .
1
8.2 Obliczenie długości
1
DC :
1
1
2
2
2
DC
AB
1
8.3
Wyznaczenie DO z trójkąta
1
DOC : np.
2
2
2
1
1
DO
DC
OC
, gdzie
1
1
2
3
6
3
2
6
OC
⋅
⋅
, stąd
3
3
DO =
1
8.4
Zapisanie równania z niewiadomą H, np. z podobieństwa trójkątów
1
1
PPD
DOC
Δ
Δ
∼
wynika proporcja
1
1
1
PP
OC
DP
DC
i
1
PP
H
,
6
6
3
2
3
2
H
H
1
8
8.5 Obliczenie szukanej odległości:
3
3
6
H
1
9.1 Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych:
!
8
Ω
1
9
9.2
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,
że jako pierwsze pójdą kobiety i żona będzie szła bezpośrednio przed
mężem:
36
!
3
!
3
⋅
A
1
Wystarczy zapis
!
3
!
3 ⋅
A
lub
36
A
y
y
A
B
C
D
P
O
C1
P1 y
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom rozszerzony
9

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

H=3−36

"}]}