{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n4\ntg\n3\nα =\n. Oblicz\nα\nα\ncos\nsin\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 punkty)\nKąt α jest ostry i\n4\ntg\n3\nα =\n. Oblicz\nα\nα\ncos\nsin\nRozwiązanie:\nI sposób rozwiązania:\nZ definicji funkcji tangens mamy sin\n4\ncos\n3\nα\nα =\n, zatem\n4\nsin\ncos\n3\nα\nα\n. Podstawiam tę równość\ndo tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i otrzymuję\n2\n2\n4 cos\ncos\n1\n3\nα\nα\n⎛\n⎞+\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n, a stąd\n2\n9\ncos\n25\nα =\nZatem\n5\n3\ncos\nα\nlub\n5\n3\ncos\nα\n. Ujemny wynik odrzucam, ponieważ zgodnie z warunkami\nzadania kąt α jest kątem ostrym. Obliczam wartości funkcji\n4\nsin\n5\nα =\n, a następnie wartość\nwyrażenia\n4\n3\n7\nsin\ncos\n5\n5\n5\nα\nα\nOdpowiedź:\n5\n7\ncos\nsin\nα\nα\n4\nII sposób rozwiązania:\nRysuję trójkąt prostokątny, w którym oznaczam przyprostokątne 3x i 4x oraz\nzaznaczam kąt ostry α tak, aby\n4\ntg\n3\nα =\n4x\n3x\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej: (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4\n3\n25\nx\nx\nx\nZatem przeciwprostokątna ma długość 5x . Obliczam wartości funkcji\n4\nsin\n5\nα =\ni\n3\ncos\n5\nα =\n. Stąd\n4\n3\n7\nsin\ncos\n5\n5\n5\nα\nα\nOdpowiedź:\n5\n7\ncos\nsin\nα\nα","solution":"$\\dfrac{7}{5}$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Kąt α jest ostry i
4
tg
3
α =
. Oblicz
α
α
cos
sin
Odpowiedź:

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
12

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (2 punkty)
Kąt α jest ostry i
4
tg
3
α =
. Oblicz
α
α
cos
sin
Rozwiązanie:
I sposób rozwiązania:
Z definicji funkcji tangens mamy sin
4
cos
3
α
α =
, zatem
4
sin
cos
3
α
α
. Podstawiam tę równość
do tożsamości
2
2
sin
cos
1
α
α
= i otrzymuję
2
2
4 cos
cos
1
3
α
α
⎛
⎞+
⎜
⎟
⎝
⎠
, a stąd
2
9
cos
25
α =
Zatem
5
3
cos
α
lub
5
3
cos
α
. Ujemny wynik odrzucam, ponieważ zgodnie z warunkami
zadania kąt α jest kątem ostrym. Obliczam wartości funkcji
4
sin
5
α =
, a następnie wartość
wyrażenia
4
3
7
sin
cos
5
5
5
α
α
Odpowiedź:
5
7
cos
sin
α
α
4
II sposób rozwiązania:
Rysuję trójkąt prostokątny, w którym oznaczam przyprostokątne 3x i 4x oraz
zaznaczam kąt ostry α tak, aby
4
tg
3
α =
4x
3x
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej: (
)
(
)
2
2
2
4
3
25
x
x
x
Zatem przeciwprostokątna ma długość 5x . Obliczam wartości funkcji
4
sin
5
α =
i
3
cos
5
α =
. Stąd
4
3
7
sin
cos
5
5
5
α
α
Odpowiedź:
5
7
cos
sin
α
α

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{7}{5}$

"}]}