{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nTrójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M\nsą środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego.\nA\nB\nC\nD\nE\nK\nL\nM\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n14","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 punkty)\nTrójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M\nsą środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego.\nRozwiązanie:\nZ warunków zadania wynika, że\n60\nBAC\nDCE\n°\n)\n)\n, więc odcinki AB i CD są\nrównoległe. Czworokąt ACDB jest trapezem. Odcinek KM łączy środki boków\nnierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw. Wobec tego\n60\nMKL =\n°\n)\nPodobnie\n60\nACB\nCED\n°\n)\n)\n, więc odcinki BC i DE są równoległe. Czworokąt BCED\njest trapezem. Odcinek ML łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest\nrównoległy do jego podstaw. Wobec tego\n60\nKLM =\n°\n)\nOdpowiedź: Dwa kąty trójkąta KLM mają miarę 60°, zatem jest to trójkąt równoboczny.","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M
są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M
są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
A
B
C
D
E
K
L
M

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
14

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (2 punkty)
Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M
są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M
są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Rozwiązanie:
Z warunków zadania wynika, że
60
BAC
DCE
°
)
)
, więc odcinki AB i CD są
równoległe. Czworokąt ACDB jest trapezem. Odcinek KM łączy środki boków
nierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw. Wobec tego
60
MKL =
°
)
Podobnie
60
ACB
CED
°
)
)
, więc odcinki BC i DE są równoległe. Czworokąt BCED
jest trapezem. Odcinek ML łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest
równoległy do jego podstaw. Wobec tego
60
KLM =
°
)
Odpowiedź: Dwa kąty trójkąta KLM mają miarę 60°, zatem jest to trójkąt równoboczny.

","solutions":[]}