{"id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"listopad","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nPunkty\n(\n)\n2,0\nA =\ni\n(\n)\n12,0\nB =\nsą\nwierzchołkami\ntrójkąta\nprostokątnego\nABC\no przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne punktu C.\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n16","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 punkty)\nPunkty\n(\n)\n2,0\nA =\ni\n(\n)\n12,0\nB =\nsą\nwierzchołkami\ntrójkąta\nprostokątnego\nABC\no przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y\nx\n. Oblicz\nwspółrzędne punktu C.\nRozwiązanie:\nI sposób rozwiązania:\nPunkt C leży na prostej o równaniu\nx\ny =\ni na okręgu, którego środkiem jest środek\nprzeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej.\nObliczam długość przeciwprostokątnej AB:\n(\n)\n(\n)\n10\n0\n0\n2\n12\n2\n2\nAB\nWyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej:\n(\n)\n7,0\nS =\nZapisuję równanie okręgu: (\n)\n25\n7\n2\n2\ny\nx\nRozwiązuję układ równań (\n)\n⎩\n⎨\n⎧\n25\n7\n2\n2\ny\nx\nx\ny\nOtrzymuję równanie z jedną niewiadomą:\n0\n12\n7\n2\n-x\nx\nRozwiązaniem tego równania są liczby:\n1\n4\nx =\n,\n2\n3\nx =\nOdpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty:\n(\n)\n4,4\nC\noraz\n(\n)\n3,3\nC =\nII sposób rozwiązania:\nOznaczmy współrzędne punktu C przez (\n)\n,x y . Wtedy\n(\n)\n(\n)\n10\n0\n0\n2\n12\n2\n2\nAB\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n0\nAC\nx\ny\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n12\n0\nBC\nx\ny\nTrójkąt ABC jest prostokątny, więc spełniona jest równość\n2\n2\n2\nAB\nBC\nAC\n, czyli\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n12\n10\nx\ny\nx\ny\nPunkt C leży też na prostej o równaniu\nx\ny =\n, zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy\nrozwiązać układ równań:\n(\n)\n(\n)\n⎩\n⎨\n⎧\nx\ny\ny\nx\ny\nx\n2\n2\n2\n2\n2\n10\n12\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n4\n24\n144\n100\n4\n28\n48\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n0\n12\n7\n2\n-x\nx\n1\n2\n4,\n3\nx\nx\nOdpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty:\n(\n)\n4,4\nC\noraz\n(\n)\n3,3\nC =\n7","solution":"$C = (4, 4)$ oraz $C = (3, 3)$","image":"img/matematyka-2009-listopad-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · listopad 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Punkty
(
)
2,0
A =
i
(
)
12,0
B =
są
wierzchołkami
trójkąta
prostokątnego
ABC
o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y
x
. Oblicz
współrzędne punktu C.
Odpowiedź:

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
16

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (4 punkty)
Punkty
(
)
2,0
A =
i
(
)
12,0
B =
są
wierzchołkami
trójkąta
prostokątnego
ABC
o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y
x
. Oblicz
współrzędne punktu C.
Rozwiązanie:
I sposób rozwiązania:
Punkt C leży na prostej o równaniu
x
y =
i na okręgu, którego środkiem jest środek
przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej.
Obliczam długość przeciwprostokątnej AB:
(
)
(
)
10
0
0
2
12
2
2
AB
Wyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej:
(
)
7,0
S =
Zapisuję równanie okręgu: (
)
25
7
2
2
y
x
Rozwiązuję układ równań (
)
⎩
⎨
⎧
25
7
2
2
y
x
x
y
Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą:
0
12
7
2
-x
x
Rozwiązaniem tego równania są liczby:
1
4
x =
,
2
3
x =
Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty:
(
)
4,4
C
oraz
(
)
3,3
C =
II sposób rozwiązania:
Oznaczmy współrzędne punktu C przez (
)
,x y . Wtedy
(
)
(
)
10
0
0
2
12
2
2
AB
,
(
)
(
)
2
2
2
0
AC
x
y
,
(
)
(
)
2
2
12
0
BC
x
y
Trójkąt ABC jest prostokątny, więc spełniona jest równość
2
2
2
AB
BC
AC
, czyli
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
12
10
x
y
x
y
Punkt C leży też na prostej o równaniu
x
y =
, zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy
rozwiązać układ równań:
(
)
(
)
⎩
⎨
⎧
x
y
y
x
y
x
2
2
2
2
2
10
12
2
2
2
2
2
2
4
4
24
144
100
4
28
48
0
x
x
x
x
x
x
x
x
0
12
7
2
-x
x
1
2
4,
3
x
x
Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty:
(
)
4,4
C
oraz
(
)
3,3
C =
7

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$C = (4, 4)$ oraz $C = (3, 3)$

"}]}