{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nFunkcja f określona jest wzorem\n2\n3\ndla\n2\n( )\n1\ndla 2\n4\nx\nx\nf x\nx\n<\n⎧\n= ⎨\n≤\n≤\n⎩\na) Uzupełnij tabelę:\nx\n3\n3\n( )\nf x\n0\nb) Narysuj wykres funkcji f .\nc) Podaj wszystkie liczby całkowite x , spełniające nierówność\n( )\n6\nf x ≥-.\nNr zadania\n1.1\n1.2\n1.3\n1.4\n1.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n3\nFunkcja f określona jest wzorem: f(x) = { 2x-3 dla x<2; 1 dla 2<=x<=4 }. Narysuj wykres funkcji f. Podaj wszystkie liczby całkowite x, spełniające nierówność f(x)>=-6.","answer":"A","answer_text":"2\n4\nx\n14\n)\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nNa osi zaznaczono sumę przedziałów \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\). Szukamy nierówności, która opisuje dokładnie zbiór wszystkich \\(x\\) **spoza** odcinka \\(\\langle -2, 6 \\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - środek i promień przedziału (metoda wartości bezwzględnej)\n\n**Krok 1: Znajdź środek symetrii obu przedziałów.**\n\nPunkty \\(-2\\) i \\(6\\) są końcami „wykluczonego\" środkowego odcinka. Środek między nimi:\n\\[s = \\frac{-2 + 6}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Krok 2: Znajdź \"promień\" - odległość od środka do każdego końca.**\n\n\\[r = \\frac{6 - (-2)}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3: Interpretuj sumę przedziałów jako nierówność z wartością bezwzględną.**\n\nZbiór \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) to wszystkie \\(x\\), których odległość od \\(s = 2\\) jest **większa niż** \\(r = 4\\):\n\\[|x - 2| > 4\\]\n\n**Sprawdzenie:** Rozwijamy:\n\\[|x - 2| > 4 \\iff x - 2 < -4 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 > 4\\]\n\\[\\iff x < -2 \\quad \\text{lub} \\quad x > 6\\]\n\nTo dokładnie przedziały \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\). ✓ Końce otwarte - bo nierówność **ostra** (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).\n\n**Odpowiedź A: \\(|x - 2| > 4\\)**\n\n## Sposób 2 - bezpośrednie wypisanie warunków i uproszczenie\n\nSuma \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) oznacza:\n\\[x < -2 \\quad \\text{lub} \\quad x > 6\\]\n\nPiszemy równoważnie jako odległość od punktu 2:\n- Warunek \\(x < -2\\) to \\(2 - x > 4\\), czyli \\(|x - 2| > 4\\) (dla \\(x < 2\\))\n- Warunek \\(x > 6\\) to \\(x - 2 > 4\\), czyli \\(|x - 2| > 4\\) (dla \\(x > 2\\))\n\nOba warunki łączą się w jedną nierówność:\n\\[\\boxed{|x - 2| > 4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]\n\nW wersji ostrej (\\(>\\) zamiast \\(\\geq\\)):\n\\[|x - a| > r \\iff x < a - r \\quad \\text{lub} \\quad x > a + r\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru z \\(a = 2\\), \\(r = 4\\) - dostajemy dokładnie zaznaczone na osi przedziały.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna nierówność | Błąd |\n| B | \\(|x - 2| < 4\\) | Opisuje **wnętrze** odcinka \\((-2, 6)\\) - czyli dokładnie **odwrotny** zbiór. Pomylenie kierunku nierówności. |\n| C | \\(|x + 2| > 4\\) | Środek symetrii to \\(-2\\), nie \\(2\\). Opisuje \\((-\\infty, -6) \\cup (2, +\\infty)\\) - zły punkt środkowy. |\n| D | \\(|x - 2| > 6\\) | Zły promień: \\(r = 6\\) zamiast \\(4\\). Opisuje \\((-\\infty, -4) \\cup (8, +\\infty)\\) - szersze wykluczenie. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek symetrii dwóch końców **to nie jest ich suma**, tylko **średnia arytmetyczna**: \\(\\frac{-2+6}{2} = 2\\), nie \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Otwarte kółka na osi (końce otwarte) oznaczają nierówność **ostrą** (\\(>\\)), a wypełnione kółka - nieostrowną (\\(\\geq\\)). Pomylenie ich to klasyczny błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma przedziałów \"skrajnych\" (\\((-\\infty, a) \\cup (b, +\\infty)\\)) zawsze daje nierówność \\(|x - s| > r\\), a **przekrój** (czyli środkowy przedział \\((a,b)\\)) daje \\(|x - s| < r\\). Nie mylić sumy z przekrojem!\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\(|x-2| > 4\\)\n\n### Sposób 1 - Interpretacja geometryczna modułu\nSuma przedziałów \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) to zbiór liczb, których **odległość od pewnego punktu** \\(s\\) jest **większa** od pewnego promienia \\(r\\).\n\nŚrodek przedziału wykluczonego \\([-2, 6]\\):\n\\[s = \\dfrac{-2 + 6}{2} = 2.\\]\nPromień:\n\\[r = \\dfrac{6 - (-2)}{2} = 4.\\]\n\nZatem szukany warunek to \\(|x - 2| > 4\\) - odpowiedź **A**.\n\n### Sposób 2 - Algebraiczne rozwiązanie nierówności z odpowiedzi A\n\\[|x-2| > 4 \\iff x-2 > 4 \\text{ lub } x-2 < -4\\]\n\\[\\iff x > 6 \\text{ lub } x < -2.\\]\nZgodnie z rysunkiem ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe są błędne\n- **B.** \\(|x-2| < 4\\) → \\(x \\in (-2, 6)\\) - **przedział wewnętrzny**, odwrotny do szukanego.\n- **C.** \\(|x-4| < 2\\) → \\(x \\in (2, 6)\\) - za wąsko i niezgodnie.\n- **D.** \\(|x-4| > 2\\) → \\(x < 2\\) lub \\(x > 6\\) - lewy przedział nie zgadza się (powinien być \\(x < -2\\)).\n\n### Komentarz\nOgólna zasada: \\(|x - s| > r \\iff x \\in (-\\infty, s-r) \\cup (s+r, +\\infty)\\). Tu \\(s-r = -2\\), \\(s+r = 6\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (5 pkt)
Funkcja f określona jest wzorem
2
3
dla
2
( )
1
dla 2
4
x
x
f x
x
<
⎧
= ⎨
≤
≤
⎩
a) Uzupełnij tabelę:
x
3
3
( )
f x
0
b) Narysuj wykres funkcji f .
c) Podaj wszystkie liczby całkowite x , spełniające nierówność
( )
6
f x ≥-.
Nr zadania
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
3
Funkcja f określona jest wzorem: f(x) = { 2x-3 dla x<2; 1 dla 2<=x<=4 }. Narysuj wykres funkcji f. Podaj wszystkie liczby całkowite x, spełniające nierówność f(x)>=-6.

","answer_text_html":"

2
4
x
14
)
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Na osi zaznaczono sumę przedziałów \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\). Szukamy nierówności, która opisuje dokładnie zbiór wszystkich \\(x\\) spoza odcinka \\(\\langle -2, 6 \\rangle\\).

\n

Sposób 1 - środek i promień przedziału (metoda wartości bezwzględnej)

\n

Krok 1: Znajdź środek symetrii obu przedziałów.

\n

Punkty \\(-2\\) i \\(6\\) są końcami „wykluczonego" środkowego odcinka. Środek między nimi:
\\[s = \\frac{-2 + 6}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]

\n

Krok 2: Znajdź "promień" - odległość od środka do każdego końca.

\n

\\[r = \\frac{6 - (-2)}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]

\n

Krok 3: Interpretuj sumę przedziałów jako nierówność z wartością bezwzględną.

\n

Zbiór \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) to wszystkie \\(x\\), których odległość od \\(s = 2\\) jest większa niż \\(r = 4\\):
\\[|x - 2| > 4\\]

\n

Sprawdzenie: Rozwijamy:
\\[|x - 2| > 4 \\iff x - 2 < -4 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 > 4\\]
\\[\\iff x < -2 \\quad \\text{lub} \\quad x > 6\\]

\n

To dokładnie przedziały \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\). ✓ Końce otwarte - bo nierówność ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).

\n

Odpowiedź A: \\(|x - 2| > 4\\)

\n

Sposób 2 - bezpośrednie wypisanie warunków i uproszczenie

\n

Suma \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) oznacza:
\\[x < -2 \\quad \\text{lub} \\quad x > 6\\]

\n

Piszemy równoważnie jako odległość od punktu 2:

\n\n

Oba warunki łączą się w jedną nierówność:
\\[\\boxed{|x - 2| > 4}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - nierówność z wartością bezwzględną:
\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]

\n

W wersji ostrej (\\(>\\) zamiast \\(\\geq\\)):
\\[|x - a| > r \\iff x < a - r \\quad \\text{lub} \\quad x > a + r\\]

\n

Użyliśmy tego wzoru z \\(a = 2\\), \\(r = 4\\) - dostajemy dokładnie zaznaczone na osi przedziały.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Prawdopodobna nierówność | Błąd |
| B | \\(|x - 2| < 4\\) | Opisuje wnętrze odcinka \\((-2, 6)\\) - czyli dokładnie odwrotny zbiór. Pomylenie kierunku nierówności. |
| C | \\(|x + 2| > 4\\) | Środek symetrii to \\(-2\\), nie \\(2\\). Opisuje \\((-\\infty, -6) \\cup (2, +\\infty)\\) - zły punkt środkowy. |
| D | \\(|x - 2| > 6\\) | Zły promień: \\(r = 6\\) zamiast \\(4\\). Opisuje \\((-\\infty, -4) \\cup (8, +\\infty)\\) - szersze wykluczenie. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Środek symetrii dwóch końców to nie jest ich suma, tylko średnia arytmetyczna: \\(\\frac{-2+6}{2} = 2\\), nie \\(4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Otwarte kółka na osi (końce otwarte) oznaczają nierówność ostrą (\\(>\\)), a wypełnione kółka - nieostrowną (\\(\\geq\\)). Pomylenie ich to klasyczny błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Suma przedziałów "skrajnych" (\\((-\\infty, a) \\cup (b, +\\infty)\\)) zawsze daje nierówność \\(|x - s| > r\\), a przekrój (czyli środkowy przedział \\((a,b)\\)) daje \\(|x - s| < r\\). Nie mylić sumy z przekrojem!
\n

Poprawna odpowiedź: A. \\(|x-2| > 4\\)

\n
Sposób 1 - Interpretacja geometryczna modułu
\n

Suma przedziałów \\((-\\infty, -2) \\cup (6, +\\infty)\\) to zbiór liczb, których odległość od pewnego punktu \\(s\\) jest większa od pewnego promienia \\(r\\).

\n

Środek przedziału wykluczonego \\([-2, 6]\\):
\\[s = \\dfrac{-2 + 6}{2} = 2.\\]
Promień:
\\[r = \\dfrac{6 - (-2)}{2} = 4.\\]

\n

Zatem szukany warunek to \\(|x - 2| > 4\\) - odpowiedź A.

\n
Sposób 2 - Algebraiczne rozwiązanie nierówności z odpowiedzi A
\n

\\[|x-2| > 4 \\iff x-2 > 4 \\text{ lub } x-2 < -4\\]
\\[\\iff x > 6 \\text{ lub } x < -2.\\]
Zgodnie z rysunkiem ✓.

\n
Dlaczego pozostałe są błędne
\n\n
Komentarz
\n

Ogólna zasada: \\(|x - s| > r \\iff x \\in (-\\infty, s-r) \\cup (s+r, +\\infty)\\). Tu \\(s-r = -2\\), \\(s+r = 6\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) <table><tr><td>$x$</td><td>$-3$</td><td>$3$</td><td>$1{,}5$</td></tr><tr><td>$f(x)$</td><td>$-9$</td><td>$1$</td><td>$0$</td></tr></table><br>b) [Wykres]<br>c) $x \\geq -\\dfrac{3}{2}$, całkowite argumenty: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$

"}]}