{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nTabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał\nwynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.\nliczba błędów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nliczba zdających\n8\n5\n8\n5\n2\n1\n0\n0\n1\na) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin.\nWynik podaj w zaokrągleniu do całości.\nb) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden\nuzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\nNr zadania\n10.1\n10.2\n10.3\n10.4\n10.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nTabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy. a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości. b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(\\bar{x} \\approx 2\\) (dokładnie \\(\\frac{57}{30} = 1{,}9\\))\n\n**b)** \\(P(A) = \\dfrac{63}{145}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią ważoną + kombinacje\n\n### Część a) - Średnia arytmetyczna\n\nMamy 30 zdających. Każda liczba błędów występuje z określoną częstotliwością - liczymy **sumę wszystkich błędów**, mnożąc liczbę błędów przez liczbę osób:\n\n\\[\n\\text{Suma błędów} = 0\\cdot8 + 1\\cdot5 + 2\\cdot8 + 3\\cdot5 + 4\\cdot2 + 5\\cdot1 + 6\\cdot0 + 7\\cdot0 + 8\\cdot1\n\\]\n\n\\[\n= 0 + 5 + 16 + 15 + 8 + 5 + 0 + 0 + 8 = 57\n\\]\n\nLiczba wszystkich zdających:\n\n\\[\nn = 8+5+8+5+2+1+0+0+1 = 30\n\\]\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\n\\[\n\\bar{x} = \\frac{57}{30} = 1{,}9 \\approx \\mathbf{2}\n\\]\n\n### Część b) - Prawdopodobieństwo\n\n**Krok 1: Kto zdał egzamin?**\n\nWynik pozytywny = co najwyżej 2 błędy (0, 1 lub 2):\n\n\\[\n\\text{Zdali: } 8 + 5 + 8 = 21 \\text{ osób}\n\\]\n\\[\n\\text{Nie zdali: } 30 - 21 = 9 \\text{ osób}\n\\]\n\n**Krok 2: Przestrzeń zdarzeń**\n\nWybieramy 2 osoby spośród 30 - liczba wszystkich możliwych par:\n\n\\[\n\\binom{30}{2} = \\frac{30 \\cdot 29}{2} = 435\n\\]\n\n**Krok 3: Zdarzenie sprzyjające**\n\nChcemy dokładnie 1 osobę, która zdała i 1, która nie zdała. Wybieramy 1 z 21 zdających i 1 z 9 niezdających:\n\n\\[\n\\binom{21}{1} \\cdot \\binom{9}{1} = 21 \\cdot 9 = 189\n\\]\n\n**Krok 4: Prawdopodobieństwo**\n\n\\[\nP(A) = \\frac{189}{435}\n\\]\n\nSkracamy - \\(\\text{NWD}(189, 435) = 3\\):\n\n\\[\nP(A) = \\frac{189 : 3}{435 : 3} = \\boxed{\\frac{63}{145}}\n\\]\n\nSprawdzamy nieskracalność: \\(63 = 3^2 \\cdot 7\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\) - brak wspólnych czynników. ✓\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe krok po kroku\n\n### Część a) - Weryfikacja przez listę\n\nZamiast mnożyć, można sprawdzić sumę grupując błędy:\n\n\\[\n\\underbrace{1\\cdot5}_{=5} + \\underbrace{2\\cdot8}_{=16} + \\underbrace{3\\cdot5}_{=15} + \\underbrace{4\\cdot2}_{=8} + \\underbrace{5\\cdot1}_{=5} + \\underbrace{8\\cdot1}_{=8} = 5+16+15+8+5+8 = 57\n\\]\n\nWynik ten sam. ✓\n\n### Część b) - Prawdopodobieństwo przez kolejne losowania\n\nLiczymy prawdopodobieństwo zdarzenia „dokładnie jedna osoba zdała\" jako sumę dwóch scenariuszy:\n\n**Scenariusz I:** pierwsza losowana zdała, druga nie:\n\n\\[\nP_I = \\frac{21}{30} \\cdot \\frac{9}{29} = \\frac{189}{870}\n\\]\n\n**Scenariusz II:** pierwsza nie zdała, druga zdała:\n\n\\[\nP_{II} = \\frac{9}{30} \\cdot \\frac{21}{29} = \\frac{189}{870}\n\\]\n\nŁącznie:\n\n\\[\nP(A) = P_I + P_{II} = \\frac{189}{870} + \\frac{189}{870} = \\frac{378}{870}\n\\]\n\nSkracamy przez \\(6\\):\n\n\\[\nP(A) = \\frac{378}{870} = \\frac{63}{145}\n\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nW naszym zadaniu zastosowany jako **średnia ważona** - każda wartość przemnożona przez liczebność:\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum (\\text{liczba błędów} \\cdot \\text{liczba zdających})}{\\text{liczba wszystkich zdających}} = \\frac{57}{30}\\]\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte do obliczenia \\(P(A) = \\frac{189}{435}\\).\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyte do policzenia \\(\\binom{30}{2} = 435\\) (wszystkie pary) i \\(\\binom{21}{1}\\cdot\\binom{9}{1} = 189\\) (pary sprzyjające).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu średniej nie dzielimy sumy błędów przez 9 (liczbę różnych wartości), lecz przez 30 (łączną liczbę zdających). To klasyczny błąd - mylenie liczby kategorii z liczebnością próby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) losowanie odbywa się **bez zwracania** - po wylosowaniu pierwszej osoby zostaje już tylko 29. Dlatego w Sposobie 2 mianownik drugiego ułamka to 29, nie 30. Użycie kombinacji w Sposobie 1 automatycznie to uwzględnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o sprawdzeniu nieskracalności ułamka - zadanie wprost żąda ułamka nieskracalnego. Rozkłady: \\(63 = 3^2 \\cdot 7\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\) - nie mają wspólnych dzielników, więc \\(\\frac{63}{145}\\) jest już w najprostszej postaci.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(\\bar{x} = \\dfrac{57}{30} = 1{,}9 \\approx 2\\); b) \\(P(A) = \\dfrac{63}{145}\\).\n\n### Sposób 1 - Obliczenia bezpośrednie\n**a) Średnia arytmetyczna liczby błędów:**\n\nLiczba wszystkich zdających: \\(N = 8 + 5 + 8 + 5 + 2 + 1 + 0 + 0 + 1 = 30\\).\n\nSuma błędów (\\(\\sum n_i\\cdot x_i\\)):\n\\[0\\cdot 8 + 1\\cdot 5 + 2\\cdot 8 + 3\\cdot 5 + 4\\cdot 2 + 5\\cdot 1 + 6\\cdot 0 + 7\\cdot 0 + 8\\cdot 1\\]\n\\[= 0 + 5 + 16 + 15 + 8 + 5 + 0 + 0 + 8 = 57.\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{57}{30} = 1{,}9 \\approx 2.\\]\n\n**b) Prawdopodobieństwo:**\nZdarzenie \\(A\\): wśród dwóch losowo wybranych zdających dokładnie jeden uzyskał wynik pozytywny.\n\nZdający pozytywni (co najwyżej \\(2\\) błędy): \\(8 + 5 + 8 = 21\\) osób.\nZdający negatywni: \\(30 - 21 = 9\\) osób.\n\n**Liczność przestrzeni \\(\\Omega\\)** - losujemy \\(2\\) osoby z \\(30\\) (bez kolejności):\n\\[|\\Omega| = \\binom{30}{2} = \\dfrac{30\\cdot 29}{2} = 435.\\]\n\n**Liczność zdarzenia \\(A\\)** - dokładnie jeden pozytywny i jeden negatywny:\n\\[|A| = 21\\cdot 9 = 189.\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{189}{435}.\\]\n\nSkracamy: \\(\\gcd(189, 435) = 3\\) (bo \\(189 = 3\\cdot 63\\), \\(435 = 3\\cdot 145\\)):\n\\[P(A) = \\dfrac{63}{145}.\\]\n\nSprawdzamy, czy nieskracalne: \\(63 = 7\\cdot 9 = 7\\cdot 3^{2}\\), \\(145 = 5\\cdot 29\\); brak wspólnych dzielników ⇒ ułamek nieskracalny ✓.\n\n### Sposób 2 - Losowanie z kolejnością (ciągi)\n\\(|\\Omega| = 30\\cdot 29 = 870\\). Zdarzenie \\(A\\): (pozytywny, negatywny) lub (negatywny, pozytywny): \\(|A| = 21\\cdot 9 + 9\\cdot 21 = 2\\cdot 189 = 378\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{378}{870} = \\dfrac{63}{145}.\\]\n\n### Komentarz\nKluczowe: rozpoznać, że „pozytywny wynik\" = \\(0, 1\\) lub \\(2\\) błędy, zatem \\(21\\) osób; negatywnych \\(9\\). Wynik \\(\\dfrac{63}{145}\\) można uzyskać zarówno w modelu z kolejnością (ciągi), jak i bez kolejności (kombinacje) - byle licznik i mianownik były w tym samym modelu.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (5 pkt)
Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał
wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.
liczba błędów
0
1
2
3
4
5
6
7
8
liczba zdających
8
5
8
5
2
1
0
0
1
a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin.
Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden
uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Nr zadania
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
14
Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy. a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości. b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(\\bar{x} \\approx 2\\) (dokładnie \\(\\frac{57}{30} = 1{,}9\\))

\n

b) \\(P(A) = \\dfrac{63}{145}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na średnią ważoną + kombinacje

\n
Część a) - Średnia arytmetyczna
\n

Mamy 30 zdających. Każda liczba błędów występuje z określoną częstotliwością - liczymy sumę wszystkich błędów, mnożąc liczbę błędów przez liczbę osób:

\n

\\[
\\text{Suma błędów} = 0\\cdot8 + 1\\cdot5 + 2\\cdot8 + 3\\cdot5 + 4\\cdot2 + 5\\cdot1 + 6\\cdot0 + 7\\cdot0 + 8\\cdot1
\\]

\n

\\[
= 0 + 5 + 16 + 15 + 8 + 5 + 0 + 0 + 8 = 57
\\]

\n

Liczba wszystkich zdających:

\n

\\[
n = 8+5+8+5+2+1+0+0+1 = 30
\\]

\n

Średnia arytmetyczna:

\n

\\[
\\bar{x} = \\frac{57}{30} = 1{,}9 \\approx \\mathbf{2}
\\]

\n
Część b) - Prawdopodobieństwo
\n

Krok 1: Kto zdał egzamin?

\n

Wynik pozytywny = co najwyżej 2 błędy (0, 1 lub 2):

\n

\\[
\\text{Zdali: } 8 + 5 + 8 = 21 \\text{ osób}
\\]
\\[
\\text{Nie zdali: } 30 - 21 = 9 \\text{ osób}
\\]

\n

Krok 2: Przestrzeń zdarzeń

\n

Wybieramy 2 osoby spośród 30 - liczba wszystkich możliwych par:

\n

\\[
\\binom{30}{2} = \\frac{30 \\cdot 29}{2} = 435
\\]

\n

Krok 3: Zdarzenie sprzyjające

\n

Chcemy dokładnie 1 osobę, która zdała i 1, która nie zdała. Wybieramy 1 z 21 zdających i 1 z 9 niezdających:

\n

\\[
\\binom{21}{1} \\cdot \\binom{9}{1} = 21 \\cdot 9 = 189
\\]

\n

Krok 4: Prawdopodobieństwo

\n

\\[
P(A) = \\frac{189}{435}
\\]

\n

Skracamy - \\(\\text{NWD}(189, 435) = 3\\):

\n

\\[
P(A) = \\frac{189 : 3}{435 : 3} = \\boxed{\\frac{63}{145}}
\\]

\n

Sprawdzamy nieskracalność: \\(63 = 3^2 \\cdot 7\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\) - brak wspólnych czynników. ✓

\n

Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe krok po kroku

\n
Część a) - Weryfikacja przez listę
\n

Zamiast mnożyć, można sprawdzić sumę grupując błędy:

\n

\\[
\\underbrace{1\\cdot5}{=5} + \\underbrace{2\\cdot8}{=16} + \\underbrace{3\\cdot5}{=15} + \\underbrace{4\\cdot2}{=8} + \\underbrace{5\\cdot1}{=5} + \\underbrace{8\\cdot1}{=8} = 5+16+15+8+5+8 = 57
\\]

\n

Wynik ten sam. ✓

\n
Część b) - Prawdopodobieństwo przez kolejne losowania
\n

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia „dokładnie jedna osoba zdała" jako sumę dwóch scenariuszy:

\n

Scenariusz I: pierwsza losowana zdała, druga nie:

\n

\\[
P_I = \\frac{21}{30} \\cdot \\frac{9}{29} = \\frac{189}{870}
\\]

\n

Scenariusz II: pierwsza nie zdała, druga zdała:

\n

\\[
P_{II} = \\frac{9}{30} \\cdot \\frac{21}{29} = \\frac{189}{870}
\\]

\n

Łącznie:

\n

\\[
P(A) = P_I + P_{II} = \\frac{189}{870} + \\frac{189}{870} = \\frac{378}{870}
\\]

\n

Skracamy przez \\(6\\):

\n

\\[
P(A) = \\frac{378}{870} = \\frac{63}{145}
\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią arytmetyczną:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
W naszym zadaniu zastosowany jako średnia ważona - każda wartość przemnożona przez liczebność:
\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum (\\text{liczba błędów} \\cdot \\text{liczba zdających})}{\\text{liczba wszystkich zdających}} = \\frac{57}{30}\\]

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte do obliczenia \\(P(A) = \\frac{189}{435}\\).

\n

Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - kombinacje:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyte do policzenia \\(\\binom{30}{2} = 435\\) (wszystkie pary) i \\(\\binom{21}{1}\\cdot\\binom{9}{1} = 189\\) (pary sprzyjające).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu średniej nie dzielimy sumy błędów przez 9 (liczbę różnych wartości), lecz przez 30 (łączną liczbę zdających). To klasyczny błąd - mylenie liczby kategorii z liczebnością próby.
\n
⚠️ Uwaga: W części b) losowanie odbywa się bez zwracania - po wylosowaniu pierwszej osoby zostaje już tylko 29. Dlatego w Sposobie 2 mianownik drugiego ułamka to 29, nie 30. Użycie kombinacji w Sposobie 1 automatycznie to uwzględnia.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o sprawdzeniu nieskracalności ułamka - zadanie wprost żąda ułamka nieskracalnego. Rozkłady: \\(63 = 3^2 \\cdot 7\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\) - nie mają wspólnych dzielników, więc \\(\\frac{63}{145}\\) jest już w najprostszej postaci.
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(\\bar{x} = \\dfrac{57}{30} = 1{,}9 \\approx 2\\); b) \\(P(A) = \\dfrac{63}{145}\\).

\n
Sposób 1 - Obliczenia bezpośrednie
\n

a) Średnia arytmetyczna liczby błędów:

\n

Liczba wszystkich zdających: \\(N = 8 + 5 + 8 + 5 + 2 + 1 + 0 + 0 + 1 = 30\\).

\n

Suma błędów (\\(\\sum n_i\\cdot x_i\\)):
\\[0\\cdot 8 + 1\\cdot 5 + 2\\cdot 8 + 3\\cdot 5 + 4\\cdot 2 + 5\\cdot 1 + 6\\cdot 0 + 7\\cdot 0 + 8\\cdot 1\\]
\\[= 0 + 5 + 16 + 15 + 8 + 5 + 0 + 0 + 8 = 57.\\]

\n

\\[\\bar{x} = \\dfrac{57}{30} = 1{,}9 \\approx 2.\\]

\n

b) Prawdopodobieństwo:
Zdarzenie \\(A\\): wśród dwóch losowo wybranych zdających dokładnie jeden uzyskał wynik pozytywny.

\n

Zdający pozytywni (co najwyżej \\(2\\) błędy): \\(8 + 5 + 8 = 21\\) osób.
Zdający negatywni: \\(30 - 21 = 9\\) osób.

\n

Liczność przestrzeni \\(\\Omega\\) - losujemy \\(2\\) osoby z \\(30\\) (bez kolejności):
\\[|\\Omega| = \\binom{30}{2} = \\dfrac{30\\cdot 29}{2} = 435.\\]

\n

Liczność zdarzenia \\(A\\) - dokładnie jeden pozytywny i jeden negatywny:
\\[|A| = 21\\cdot 9 = 189.\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\dfrac{189}{435}.\\]

\n

Skracamy: \\(\\gcd(189, 435) = 3\\) (bo \\(189 = 3\\cdot 63\\), \\(435 = 3\\cdot 145\\)):
\\[P(A) = \\dfrac{63}{145}.\\]

\n

Sprawdzamy, czy nieskracalne: \\(63 = 7\\cdot 9 = 7\\cdot 3^{2}\\), \\(145 = 5\\cdot 29\\); brak wspólnych dzielników ⇒ ułamek nieskracalny ✓.

\n
Sposób 2 - Losowanie z kolejnością (ciągi)
\n

\\(|\\Omega| = 30\\cdot 29 = 870\\). Zdarzenie \\(A\\): (pozytywny, negatywny) lub (negatywny, pozytywny): \\(|A| = 21\\cdot 9 + 9\\cdot 21 = 2\\cdot 189 = 378\\).
\\[P(A) = \\dfrac{378}{870} = \\dfrac{63}{145}.\\]

\n
Komentarz
\n

Kluczowe: rozpoznać, że „pozytywny wynik" = \\(0, 1\\) lub \\(2\\) błędy, zatem \\(21\\) osób; negatywnych \\(9\\). Wynik \\(\\dfrac{63}{145}\\) można uzyskać zarówno w modelu z kolejnością (ciągi), jak i bez kolejności (kombinacje) - byle licznik i mianownik były w tym samym modelu.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $\\overline{x} \\approx 2$<br>b) $P(A) = \\dfrac{63}{145}$

"}]}