{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (5 pkt)\nPowierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego\nprostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca,\nkąt o mierze\nD\n30 .\na) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.\nb) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od 18 3 . Odpowiedź uzasadnij.\n\nPoziom podstawowy\n15\nNr zadania\n11.1\n11.2\n11.3\n11.4\n11.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nBRUDNOPIS\nPowierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze 30 stopni.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiór rozwiązań to \\((-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\) - wartości na zewnątrz pierwiastków.\n\n## Sposób 1 - analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)\n\nWyrażenie \\((x+1)(x-3)\\) to iloczyn dwóch czynników. Iloczyn jest **większy od zera**, gdy oba czynniki mają **ten sam znak** (oba dodatnie lub oba ujemne).\n\n**Krok 1.** Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika:\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\n**Krok 2.** Rozpisz tabelkę znaków na przedziałach wyznaczonych przez \\(-1\\) i \\(3\\):\n\n| Przedział | \\(x+1\\) | \\(x-3\\) | \\((x+1)(x-3)\\) |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-1 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Krok 3.** Nierówność jest spełniona (znak \\(+\\)) dla:\n\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\]\n\nKółka otwarte w \\(-1\\) i \\(3\\), bo nierówność jest **ostra** (\\(> 0\\), nie \\(\\geq 0\\)). **Odpowiedź: A.**\n\n## Sposób 2 - wykres paraboli (podejście graficzne)\n\nRozwinięcie iloczynu daje trójmian kwadratowy:\n\\[(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3\\]\n\nMamy funkcję \\(f(x) = x^2 - 2x - 3\\), czyli parabolę z ramionami skierowanymi **w górę** (współczynnik przy \\(x^2\\) jest \\(+1 > 0\\)).\n\n**Miejsca zerowe** (już znane):\n\\[x_1 = -1, \\quad x_2 = 3\\]\n\nParabola z ramionami ku górze jest **powyżej osi \\(OX\\)** na zewnątrz pierwiastków, czyli dla \\(x < -1\\) lub \\(x > 3\\).\n\nSzukamy \\(f(x) > 0\\), co odpowiada dokładnie:\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nKarta potwierdza, że dla \\(a > 0\\) parabola jest powyżej osi \\(OX\\) na zewnątrz pierwiastków \\(x_1, x_2\\). Użyliśmy tej własności w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Ktoś zmienił znaki pierwiastków: zamiast \\(-1\\) i \\(3\\) wziął \\(-3\\) i \\(1\\), i do tego wziął przedział wewnętrzny |\n| **C** | Znaleziono poprawne pierwiastki \\(-1\\) i \\(3\\), ale wzięto przedział **między** nimi - to rozwiązanie nierówności odwrotnej \\((x+1)(x-3) < 0\\) |\n| **D** | Dwa błędy naraz: zamienione znaki pierwiastków (\\(-3\\) i \\(1\\)) oraz poprawnie wzięty zewnętrzny przedział - połowa myślenia była dobra, ale co do złych pierwiastków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie kierunku nierówności. Jeśli szukasz \\((x+1)(x-3) > 0\\), rozwiązaniem jest **zewnętrze** pierwiastków, nie wnętrze. Dla \\(< 0\\) byłoby odwrotnie: \\((-1, 3)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności **ostrej** (\\(> 0\\)) punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\) **nie należą** do rozwiązania - kółka na osi muszą być otwarte. Przy \\(\\geq 0\\) byłyby zamknięte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijanie iloczynu do postaci ogólnej nie jest konieczne - tabelka znaków jest szybsza i mniej podatna na błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\((-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\)\n\n### Sposób 1 - Analiza znaków czynników\nRozwiązujemy \\((x+1)(x-3) > 0\\).\nMiejsca zerowe: \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\).\n\nFunkcja \\(f(x) = (x+1)(x-3)\\) to parabola z ramionami w górę (\\(a = 1 > 0\\)).\nWartości dodatnie (\\(f(x) > 0\\)) są **na zewnątrz** pierwiastków:\n\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty).\\]\n\nPonieważ nierówność jest **ostra**, końce \\(-1\\) i \\(3\\) są wykluczone.\n\n### Sposób 2 - Tabela znaków\n| | \\(x < -1\\) | \\(-1 < x < 3\\) | \\(x > 3\\) |\n| \\(x+1\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| \\(x-3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| iloczyn | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n\nWynik \\((x+1)(x-3) > 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty,-1) \\cup (3,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie testowych wartości\n- \\(x = -2\\): \\((-1)(-5) = 5 > 0\\) ✓ (przedział lewy).\n- \\(x = 0\\): \\(1 \\cdot (-3) = -3 < 0\\) ✗ (przedział środkowy odpada).\n- \\(x = 4\\): \\(5 \\cdot 1 = 5 > 0\\) ✓ (przedział prawy).\n\n### Dlaczego pozostałe są błędne\n- **B, C** - przedziały wewnętrzne, gdzie funkcja jest ujemna.\n- **D** - błędne miejsca zerowe (\\(-3\\) i \\(1\\) zamiast \\(-1\\) i \\(3\\)).\n\n### Komentarz\nDla nierówności iloczynu z pierwiastkami \\(x_1 < x_2\\) i dodatnim współczynnikiem wiodącym:\n- \\((x-x_1)(x-x_2) > 0\\): na zewnątrz pierwiastków,\n- \\((x-x_1)(x-x_2) < 0\\): między pierwiastkami.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (5 pkt)<br>Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego<br>prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca,<br>kąt o mierze<br>D<br>30 .<br>a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.<br>b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od 18 3 . Odpowiedź uzasadnij.</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>15<br>Nr zadania<br>11.1<br>11.2<br>11.3<br>11.4<br>11.5<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>16<br>BRUDNOPIS<br>Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze 30 stopni.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Zbiór rozwiązań to \\((-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\) - wartości na zewnątrz pierwiastków.</p>\n<h4>Sposób 1 - analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)</h4>\n<p>Wyrażenie \\((x+1)(x-3)\\) to iloczyn dwóch czynników. Iloczyn jest <strong>większy od zera</strong>, gdy oba czynniki mają <strong>ten sam znak</strong> (oba dodatnie lub oba ujemne).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Znajdź miejsca zerowe każdego czynnika:<br>\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]<br>\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Rozpisz tabelkę znaków na przedziałach wyznaczonych przez \\(-1\\) i \\(3\\):</p>\n<p>| Przedział | \\(x+1\\) | \\(x-3\\) | \\((x+1)(x-3)\\) |<br>| \\(x &lt; -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |<br>| \\(-1 &lt; x &lt; 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |<br>| \\(x &gt; 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Nierówność jest spełniona (znak \\(+\\)) dla:<br>\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\]</p>\n<p>Kółka otwarte w \\(-1\\) i \\(3\\), bo nierówność jest <strong>ostra</strong> (\\(&gt; 0\\), nie \\(\\geq 0\\)). <strong>Odpowiedź: A.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wykres paraboli (podejście graficzne)</h4>\n<p>Rozwinięcie iloczynu daje trójmian kwadratowy:<br>\\[(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3\\]</p>\n<p>Mamy funkcję \\(f(x) = x^2 - 2x - 3\\), czyli parabolę z ramionami skierowanymi <strong>w górę</strong> (współczynnik przy \\(x^2\\) jest \\(+1 &gt; 0\\)).</p>\n<p><strong>Miejsca zerowe</strong> (już znane):<br>\\[x_1 = -1, \\quad x_2 = 3\\]</p>\n<p>Parabola z ramionami ku górze jest <strong>powyżej osi \\(OX\\)</strong> na zewnątrz pierwiastków, czyli dla \\(x &lt; -1\\) lub \\(x &gt; 3\\).</p>\n<p>Szukamy \\(f(x) &gt; 0\\), co odpowiada dokładnie:<br>\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego oraz postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]</p>\n<p>Karta potwierdza, że dla \\(a &gt; 0\\) parabola jest powyżej osi \\(OX\\) na zewnątrz pierwiastków \\(x_1, x_2\\). Użyliśmy tej własności w Sposobie 2.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| <strong>B</strong> | Ktoś zmienił znaki pierwiastków: zamiast \\(-1\\) i \\(3\\) wziął \\(-3\\) i \\(1\\), i do tego wziął przedział wewnętrzny |<br>| <strong>C</strong> | Znaleziono poprawne pierwiastki \\(-1\\) i \\(3\\), ale wzięto przedział <strong>między</strong> nimi - to rozwiązanie nierówności odwrotnej \\((x+1)(x-3) &lt; 0\\) |<br>| <strong>D</strong> | Dwa błędy naraz: zamienione znaki pierwiastków (\\(-3\\) i \\(1\\)) oraz poprawnie wzięty zewnętrzny przedział - połowa myślenia była dobra, ale co do złych pierwiastków |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pomylenie kierunku nierówności. Jeśli szukasz \\((x+1)(x-3) &gt; 0\\), rozwiązaniem jest <strong>zewnętrze</strong> pierwiastków, nie wnętrze. Dla \\(&lt; 0\\) byłoby odwrotnie: \\((-1, 3)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy nierówności <strong>ostrej</strong> (\\(&gt; 0\\)) punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\) <strong>nie należą</strong> do rozwiązania - kółka na osi muszą być otwarte. Przy \\(\\geq 0\\) byłyby zamknięte.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rozwijanie iloczynu do postaci ogólnej nie jest konieczne - tabelka znaków jest szybsza i mniej podatna na błędy rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A.</strong> \\((-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty)\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza znaków czynników</h5>\n<p>Rozwiązujemy \\((x+1)(x-3) &gt; 0\\).<br>Miejsca zerowe: \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\).</p>\n<p>Funkcja \\(f(x) = (x+1)(x-3)\\) to parabola z ramionami w górę (\\(a = 1 &gt; 0\\)).<br>Wartości dodatnie (\\(f(x) &gt; 0\\)) są <strong>na zewnątrz</strong> pierwiastków:<br>\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (3, +\\infty).\\]</p>\n<p>Ponieważ nierówność jest <strong>ostra</strong>, końce \\(-1\\) i \\(3\\) są wykluczone.</p>\n<h5>Sposób 2 - Tabela znaków</h5>\n<p>| | \\(x &lt; -1\\) | \\(-1 &lt; x &lt; 3\\) | \\(x &gt; 3\\) |<br>| \\(x+1\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |<br>| \\(x-3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |<br>| iloczyn | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |</p>\n<p>Wynik \\((x+1)(x-3) &gt; 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty,-1) \\cup (3,+\\infty)\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Sprawdzenie testowych wartości</h5>\n<ul><li>\\(x = -2\\): \\((-1)(-5) = 5 &gt; 0\\) ✓ (przedział lewy).</li><li>\\(x = 0\\): \\(1 \\cdot (-3) = -3 &lt; 0\\) ✗ (przedział środkowy odpada).</li><li>\\(x = 4\\): \\(5 \\cdot 1 = 5 &gt; 0\\) ✓ (przedział prawy).</li></ul>\n<h5>Dlaczego pozostałe są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C</strong> - przedziały wewnętrzne, gdzie funkcja jest ujemna.</li><li><strong>D</strong> - błędne miejsca zerowe (\\(-3\\) i \\(1\\) zamiast \\(-1\\) i \\(3\\)).</li></ul>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Dla nierówności iloczynu z pierwiastkami \\(x_1 &lt; x_2\\) i dodatnim współczynnikiem wiodącym:</p>\n<ul><li>\\((x-x_1)(x-x_2) &gt; 0\\): na zewnątrz pierwiastków,</li><li>\\((x-x_1)(x-x_2) &lt; 0\\): między pierwiastkami.</li></ul>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$V = \\dfrac{54\\sqrt{3}}{\\pi}$</p>"}]}