{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi 60% liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nKlasa liczy **30 osób**, w tym **12 chłopców** (i 18 dziewcząt).\n\n## Sposób 1 - Układ równań\n\n**Oznaczenia:** niech \\(n\\) = liczba wszystkich uczniów w klasie.\n\n**Krok 1: Ile jest dziewcząt?**\n\nDziewczęta stanowią \\(60\\%\\) klasy, więc:\n\\[\\text{liczba dziewcząt} = 0{,}6n\\]\n\nChłopcy to reszta:\n\\[\\text{liczba chłopców} = n - 0{,}6n = 0{,}4n\\]\n\n**Krok 2: Co się dzieje po wyjeździe 6 dziewcząt?**\n\nPo wyjeździe 6 dziewcząt pozostaje ich \\(0{,}6n - 6\\). Warunek zadania mówi, że wtedy liczba pozostałych dziewcząt **równa się** liczbie chłopców:\n\\[0{,}6n - 6 = 0{,}4n\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy równanie**\n\n\\[0{,}6n - 0{,}4n = 6\\]\n\\[0{,}2n = 6\\]\n\\[n = \\frac{6}{0{,}2} = 30\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy chłopców**\n\n\\[\\text{liczba chłopców} = 0{,}4 \\cdot 30 = 12\\]\n\n**Odpowiedź:** Klasa liczy **30 osób**, w tym **12 chłopców**.\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez części całości\n\nZamiast procentów, myślimy o **proporcjach**.\n\nDziewczęta to \\(60\\% = \\frac{3}{5}\\) klasy, chłopcy to \\(\\frac{2}{5}\\) klasy.\n\nWyobraźmy sobie klasę podzieloną na **5 równych części**: dziewczęta zajmują 3 części, chłopcy 2 części.\n\nPo wyjeździe 6 dziewcząt dziewcząt i chłopców jest tyle samo - dziewczęta mają teraz **2 części** (tyle ile chłopcy). Tak więc:\n\nDziewczęta straciły \\(3 - 2 = 1\\) część, a ta 1 część odpowiada **6 osobom**.\n\nZatem jedna część to 6 osób, a cała klasa to:\n\\[5 \\cdot 6 = 30 \\text{ osób}\\]\n\nChłopcy to 2 części:\n\\[2 \\cdot 6 = 12 \\text{ chłopców}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- Dziewczęta: \\(30 \\cdot 60\\% = 18\\) ✓\n- Po wyjeździe: \\(18 - 6 = 12\\) dziewcząt, chłopców \\(12\\) - rzeczywiście tyle samo ✓\n- Razem: \\(18 + 12 = 30\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy znajomość definicji procentu i umiejętność ułożenia równania liniowego z jedną niewiadomą. To zadanie z zakresu arytmetyki i algebry elementarnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „\\(60\\%\\) liczby osób\" z „o \\(60\\%\\) więcej niż chłopców\". To są zupełnie różne zdania! Tu dziewczęta to \\(0{,}6n\\), a nie \\(n + 0{,}6n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyjeździe dziewcząt liczba chłopców się **nie zmienia** - zostaje ich nadal \\(0{,}4n\\). Częsty błąd to odjęcie 6 od obu grup.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o dwie rzeczy: liczbę **wszystkich osób** i liczbę **chłopców** - nie zapomnij podać obu odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź:** klasa liczy \\(30\\) osób, chłopców jest \\(12\\) (dziewcząt - \\(18\\)).\n\n### Sposób 1 - Zmienna: liczba osób w klasie\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba wszystkich osób w klasie,\n- \\(0{,}6x\\) - liczba dziewcząt (\\(60\\%\\)),\n- \\(0{,}4x\\) - liczba chłopców (\\(40\\%\\)).\n\n**Warunek:** po wyjeździe \\(6\\) dziewcząt pozostaje tyle samo dziewcząt, ile jest chłopców:\n\\[0{,}6x - 6 = 0{,}4x.\\]\n\\[0{,}2x = 6 \\Rightarrow x = 30.\\]\n\n**Wyniki:**\n- Liczba osób: \\(30\\).\n- Dziewcząt: \\(0{,}6 \\cdot 30 = 18\\).\n- Chłopców: \\(0{,}4 \\cdot 30 = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Układ równań (dziewczęta i chłopcy osobno)\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - liczba dziewcząt,\n- \\(y\\) - liczba chłopców.\n\n**Warunki:**\n\\[\\begin{cases} x = 0{,}6(x + y) \\\\ x - 6 = y \\end{cases}\\]\n\nPrzekształcamy pierwsze: \\(x = 0{,}6x + 0{,}6y \\Rightarrow 0{,}4x = 0{,}6y \\Rightarrow x = \\dfrac{3}{2}y\\).\n\nWstawiamy do drugiego: \\(\\dfrac{3}{2}y - 6 = y \\Rightarrow \\dfrac{1}{2}y = 6 \\Rightarrow y = 12\\).\n\nStąd \\(x = 18\\), a liczba osób \\(x + y = 30\\).\n\n### Sposób 3 - Rozumowanie o proporcjach (bez algebry)\nStosunek dziewcząt do wszystkich przed wyjazdem: \\(60 : 100 = 3 : 5\\).\nStosunek chłopców do wszystkich: \\(40 : 100 = 2 : 5\\).\n\nNa każde \\(5\\) osób: \\(3\\) dziewczynki i \\(2\\) chłopców. Różnica: \\(3 - 2 = 1\\) osoba na każde \\(5\\).\n\nAby ta różnica zmalała do zera, trzeba odjąć od dziewcząt dokładnie liczbę równą różnicy - czyli \\(\\dfrac{1}{5}\\) liczby osób w klasie. Mamy \\(6\\) wyjeżdżających, więc:\n\\[\\dfrac{1}{5}x = 6 \\Rightarrow x = 30.\\]\n\nChłopców: \\(\\dfrac{2}{5} \\cdot 30 = 12\\).\n\n### Weryfikacja\n- Klasa \\(30\\) osób, dziewcząt \\(18\\), chłopców \\(12\\).\n- \\(\\dfrac{18}{30} = 0{,}6 = 60\\%\\) ✓\n- Po wyjeździe \\(6\\) dziewcząt: dziewcząt \\(12\\), chłopców \\(12\\) - tyle samo ✓","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W pewnej klasie liczba dziewcząt stanowi 60% liczby osób w tej klasie. Gdy 6 dziewcząt wyjechało na mecz siatkówki, w klasie pozostało tyle samo chłopców, ile dziewcząt. Oblicz, ile osób liczy ta klasa oraz ilu jest w niej chłopców.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Klasa liczy 30 osób, w tym 12 chłopców (i 18 dziewcząt).

\n

Sposób 1 - Układ równań

\n

Oznaczenia: niech \\(n\\) = liczba wszystkich uczniów w klasie.

\n

Krok 1: Ile jest dziewcząt?

\n

Dziewczęta stanowią \\(60\\%\\) klasy, więc:
\\[\\text{liczba dziewcząt} = 0{,}6n\\]

\n

Chłopcy to reszta:
\\[\\text{liczba chłopców} = n - 0{,}6n = 0{,}4n\\]

\n

Krok 2: Co się dzieje po wyjeździe 6 dziewcząt?

\n

Po wyjeździe 6 dziewcząt pozostaje ich \\(0{,}6n - 6\\). Warunek zadania mówi, że wtedy liczba pozostałych dziewcząt równa się liczbie chłopców:
\\[0{,}6n - 6 = 0{,}4n\\]

\n

Krok 3: Rozwiązujemy równanie

\n

\\[0{,}6n - 0{,}4n = 6\\]
\\[0{,}2n = 6\\]
\\[n = \\frac{6}{0{,}2} = 30\\]

\n

Krok 4: Wyznaczamy chłopców

\n

\\[\\text{liczba chłopców} = 0{,}4 \\cdot 30 = 12\\]

\n

Odpowiedź: Klasa liczy 30 osób, w tym 12 chłopców.

\n

Sposób 2 - Rozumowanie przez części całości

\n

Zamiast procentów, myślimy o proporcjach.

\n

Dziewczęta to \\(60\\% = \\frac{3}{5}\\) klasy, chłopcy to \\(\\frac{2}{5}\\) klasy.

\n

Wyobraźmy sobie klasę podzieloną na 5 równych części: dziewczęta zajmują 3 części, chłopcy 2 części.

\n

Po wyjeździe 6 dziewcząt dziewcząt i chłopców jest tyle samo - dziewczęta mają teraz 2 części (tyle ile chłopcy). Tak więc:

\n

Dziewczęta straciły \\(3 - 2 = 1\\) część, a ta 1 część odpowiada 6 osobom.

\n

Zatem jedna część to 6 osób, a cała klasa to:
\\[5 \\cdot 6 = 30 \\text{ osób}\\]

\n

Chłopcy to 2 części:
\\[2 \\cdot 6 = 12 \\text{ chłopców}\\]

\n

Weryfikacja:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji procentu i umiejętność ułożenia równania liniowego z jedną niewiadomą. To zadanie z zakresu arytmetyki i algebry elementarnej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić „\\(60\\%\\) liczby osób" z „o \\(60\\%\\) więcej niż chłopców". To są zupełnie różne zdania! Tu dziewczęta to \\(0{,}6n\\), a nie \\(n + 0{,}6n\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po wyjeździe dziewcząt liczba chłopców się nie zmienia - zostaje ich nadal \\(0{,}4n\\). Częsty błąd to odjęcie 6 od obu grup.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o dwie rzeczy: liczbę wszystkich osób i liczbę chłopców - nie zapomnij podać obu odpowiedzi!
\n

Poprawna odpowiedź: klasa liczy \\(30\\) osób, chłopców jest \\(12\\) (dziewcząt - \\(18\\)).

\n
Sposób 1 - Zmienna: liczba osób w klasie
\n

Oznaczenia:

\n\n

Warunek: po wyjeździe \\(6\\) dziewcząt pozostaje tyle samo dziewcząt, ile jest chłopców:
\\[0{,}6x - 6 = 0{,}4x.\\]
\\[0{,}2x = 6 \\Rightarrow x = 30.\\]

\n

Wyniki:

\n\n
Sposób 2 - Układ równań (dziewczęta i chłopcy osobno)
\n

Oznaczenia:

\n\n

Warunki:
\\[\\begin{cases} x = 0{,}6(x + y) \\\\ x - 6 = y \\end{cases}\\]

\n

Przekształcamy pierwsze: \\(x = 0{,}6x + 0{,}6y \\Rightarrow 0{,}4x = 0{,}6y \\Rightarrow x = \\dfrac{3}{2}y\\).

\n

Wstawiamy do drugiego: \\(\\dfrac{3}{2}y - 6 = y \\Rightarrow \\dfrac{1}{2}y = 6 \\Rightarrow y = 12\\).

\n

Stąd \\(x = 18\\), a liczba osób \\(x + y = 30\\).

\n
Sposób 3 - Rozumowanie o proporcjach (bez algebry)
\n

Stosunek dziewcząt do wszystkich przed wyjazdem: \\(60 : 100 = 3 : 5\\).
Stosunek chłopców do wszystkich: \\(40 : 100 = 2 : 5\\).

\n

Na każde \\(5\\) osób: \\(3\\) dziewczynki i \\(2\\) chłopców. Różnica: \\(3 - 2 = 1\\) osoba na każde \\(5\\).

\n

Aby ta różnica zmalała do zera, trzeba odjąć od dziewcząt dokładnie liczbę równą różnicy - czyli \\(\\dfrac{1}{5}\\) liczby osób w klasie. Mamy \\(6\\) wyjeżdżających, więc:
\\[\\dfrac{1}{5}x = 6 \\Rightarrow x = 30.\\]

\n

Chłopców: \\(\\dfrac{2}{5} \\cdot 30 = 12\\).

\n
Weryfikacja
\n"}]}