{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa\n\nA. \\(9\\)\nB. \\(\\dfrac{5}{2}\\)\nC. \\(2\\)\nD. \\(\\dfrac{2}{5}\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(r = \\frac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nZapisujemy warunki zadania jako układ równań:\n\n\\[a_3 = a_1 + 2r = 14\\]\n\\[a_{11} = a_1 + 10r = 34\\]\n\n**Odejmujemy stronami** pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(a_1\\)):\n\n\\[(a_1 + 10r) - (a_1 + 2r) = 34 - 14\\]\n\\[8r = 20\\]\n\\[r = \\frac{20}{8} = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Różnica ciągu wynosi \\(r = \\frac{5}{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy wyrazów\n\nMiędzy wyrazem trzecim a jedenastym jest \\(11 - 3 = 8\\) \"kroków\" (różnic).\n\nZatem:\n\\[a_{11} - a_3 = 8r\\]\n\\[34 - 14 = 8r\\]\n\\[20 = 8r\\]\n\\[r = \\frac{20}{8} = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Weryfikacja:** Skoro \\(r = \\frac{5}{2}\\), to z \\(a_3 = 14\\):\n\\[a_1 = a_3 - 2r = 14 - 2 \\cdot \\frac{5}{2} = 14 - 5 = 9\\]\nSprawdzamy: \\(a_{11} = 9 + 10 \\cdot \\frac{5}{2} = 9 + 25 = 34\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_3\\) i \\(a_{11}\\) jako równań z dwiema niewiadomymi (\\(a_1\\) i \\(r\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Liczenie \\(\\frac{34 - 14}{11 - 3} \\cdot 2 = 5\\) - mnożenie przez 2 bez powodu, lub mylenie indeksów: \\(r = \\frac{34-14}{11} = \\frac{20}{11}\\) |\n| C | Błędne liczenie liczby kroków: \\(11 - 3 = 8\\), ale uczeń liczy \\(11 - 3 + 1 = 9\\) kroków, dostając \\(r = \\frac{20}{9}\\) |\n| D | Wzięcie \\(r = a_3 - a_{11} = 14 - 34 = -20\\), czyli odejmowanie w złej kolejności lub pominięcie podziału przez liczbę kroków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \\(a_3\\) a \\(a_{11}\\) jest **8 kroków**, nie 9! Liczba kroków = różnica indeksów, czyli \\(11 - 3 = 8\\). Łatwo tu popełnić błąd o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **różnicę ciągu \\(r\\)**, nie o \\(a_1\\). Sprawdź, że piszesz wynik dla właściwej wielkości - po obliczeniu \\(r\\) nie trzeba wyznaczać \\(a_1\\) (chyba że do weryfikacji).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wychodzi \\(\\frac{5}{2}\\) - to **poprawny wynik**. Różnica ciągu arytmetycznego nie musi być liczbą całkowitą!\n\n**Poprawna odpowiedź: B.** \\(r = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Różnica wyrazów w ciągu arytmetycznym\nW ciągu arytmetycznym \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Różnica wyrazów:\n\\[a_{11} - a_{3} = [a_1 + 10r] - [a_1 + 2r] = 8r.\\]\n\nZ danych: \\(a_3 = 14\\), \\(a_{11} = 34\\):\n\\[8r = 34 - 14 = 20 \\Rightarrow r = \\dfrac{20}{8} = \\dfrac{5}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\[\\begin{cases} a_1 + 2r = 14 \\\\ a_1 + 10r = 34 \\end{cases}\\]\nOdejmując pierwsze od drugiego: \\(8r = 20\\), \\(r = \\dfrac{5}{2}\\).\n\nZ pierwszego: \\(a_1 = 14 - 2\\cdot\\tfrac{5}{2} = 14 - 5 = 9\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(a_1 = 9\\), \\(r = 2{,}5\\):\n\\[a_3 = 9 + 2\\cdot 2{,}5 = 14 ✓.\\]\n\\[a_{11} = 9 + 10\\cdot 2{,}5 = 34 ✓.\\]\n\n### Komentarz\nOgólna zasada: \\(a_m - a_n = (m - n)\\cdot r\\). Tu \\(m - n = 11 - 3 = 8\\), \\(a_m - a_n = 20\\), więc \\(r = \\tfrac{20}{8} = 2{,}5\\).\n\nOdpowiedź **A** (\\(r = 9\\)) to typowy błąd pomylenia z \\(a_1\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. Różnica tego ciągu jest równa

\n

A. \\(9\\)
B. \\(\\dfrac{5}{2}\\)
C. \\(2\\)
D. \\(\\dfrac{2}{5}\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(r = \\frac{5}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny

\n

Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]

\n

Zapisujemy warunki zadania jako układ równań:

\n

\\[a_3 = a_1 + 2r = 14\\]
\\[a_{11} = a_1 + 10r = 34\\]

\n

Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(a_1\\)):

\n

\\[(a_1 + 10r) - (a_1 + 2r) = 34 - 14\\]
\\[8r = 20\\]
\\[r = \\frac{20}{8} = \\frac{5}{2}\\]

\n

Różnica ciągu wynosi \\(r = \\frac{5}{2}\\).

\n

Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy wyrazów

\n

Między wyrazem trzecim a jedenastym jest \\(11 - 3 = 8\\) "kroków" (różnic).

\n

Zatem:
\\[a_{11} - a_3 = 8r\\]
\\[34 - 14 = 8r\\]
\\[20 = 8r\\]
\\[r = \\frac{20}{8} = \\frac{5}{2}\\]

\n

Weryfikacja: Skoro \\(r = \\frac{5}{2}\\), to z \\(a_3 = 14\\):
\\[a_1 = a_3 - 2r = 14 - 2 \\cdot \\frac{5}{2} = 14 - 5 = 9\\]
Sprawdzamy: \\(a_{11} = 9 + 10 \\cdot \\frac{5}{2} = 9 + 25 = 34\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_3\\) i \\(a_{11}\\) jako równań z dwiema niewiadomymi (\\(a_1\\) i \\(r\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Liczenie \\(\\frac{34 - 14}{11 - 3} \\cdot 2 = 5\\) - mnożenie przez 2 bez powodu, lub mylenie indeksów: \\(r = \\frac{34-14}{11} = \\frac{20}{11}\\) |
| C | Błędne liczenie liczby kroków: \\(11 - 3 = 8\\), ale uczeń liczy \\(11 - 3 + 1 = 9\\) kroków, dostając \\(r = \\frac{20}{9}\\) |
| D | Wzięcie \\(r = a_3 - a_{11} = 14 - 34 = -20\\), czyli odejmowanie w złej kolejności lub pominięcie podziału przez liczbę kroków |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Między wyrazem \\(a_3\\) a \\(a_{11}\\) jest 8 kroków, nie 9! Liczba kroków = różnica indeksów, czyli \\(11 - 3 = 8\\). Łatwo tu popełnić błąd o 1.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o różnicę ciągu \\(r\\), nie o \\(a_1\\). Sprawdź, że piszesz wynik dla właściwej wielkości - po obliczeniu \\(r\\) nie trzeba wyznaczać \\(a_1\\) (chyba że do weryfikacji).
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli wychodzi \\(\\frac{5}{2}\\) - to poprawny wynik. Różnica ciągu arytmetycznego nie musi być liczbą całkowitą!
\n

Poprawna odpowiedź: B. \\(r = \\dfrac{5}{2}\\)

\n
Sposób 1 - Różnica wyrazów w ciągu arytmetycznym
\n

W ciągu arytmetycznym \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Różnica wyrazów:
\\[a_{11} - a_{3} = [a_1 + 10r] - [a_1 + 2r] = 8r.\\]

\n

Z danych: \\(a_3 = 14\\), \\(a_{11} = 34\\):
\\[8r = 34 - 14 = 20 \\Rightarrow r = \\dfrac{20}{8} = \\dfrac{5}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

\\[\\begin{cases} a_1 + 2r = 14 \\\\ a_1 + 10r = 34 \\end{cases}\\]
Odejmując pierwsze od drugiego: \\(8r = 20\\), \\(r = \\dfrac{5}{2}\\).

\n

Z pierwszego: \\(a_1 = 14 - 2\\cdot\\tfrac{5}{2} = 14 - 5 = 9\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\(a_1 = 9\\), \\(r = 2{,}5\\):
\\[a_3 = 9 + 2\\cdot 2{,}5 = 14 ✓.\\]
\\[a_{11} = 9 + 10\\cdot 2{,}5 = 34 ✓.\\]

\n
Komentarz
\n

Ogólna zasada: \\(a_m - a_n = (m - n)\\cdot r\\). Tu \\(m - n = 11 - 3 = 8\\), \\(a_m - a_n = 20\\), więc \\(r = \\tfrac{20}{8} = 2{,}5\\).

\n

Odpowiedź A (\\(r = 9\\)) to typowy błąd pomylenia z \\(a_1\\).

"}]}