{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W ciągu geometrycznym \\((a_{n})\\) dane są: \\(a_{1}=32\\) i \\(a_{4}=-4\\). Iloraz tego ciągu jest równy\n\nA. \\(12\\)\nB. \\(\\dfrac{1}{2}\\)\nC. \\(-\\dfrac{1}{2}\\)\nD. \\(-12\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n**Zapisujemy wzór ogólny:**\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\n**Podstawiamy dane** (\\(a_1 = 32\\), \\(a_4 = -4\\)):\n\\[32 \\cdot q^3 = -4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(q^3\\):**\n\\[q^3 = \\frac{-4}{32} = -\\frac{1}{8}\\]\n\n**Wyciągamy pierwiastek sześcienny** z obu stron:\n\\[q = \\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)**\n\nSprawdzenie: \\(a_4 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right) = -4\\) ✓\n\n## Sposób 2 - krok po kroku przez kolejne wyrazy\n\nZamiast od razu liczyć \\(q^3\\), możemy rozpisać wyrazy ciągu:\n\n\\[a_1 = 32\\]\n\\[a_2 = 32q\\]\n\\[a_3 = 32q^2\\]\n\\[a_4 = 32q^3\\]\n\nWidzimy, że od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) mnożyliśmy przez \\(q\\) dokładnie **3 razy**. Zatem:\n\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3 \\implies -4 = 32 \\cdot q^3\\]\n\nCo daje dokładnie to samo równanie co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy skorzystać z proporcji:\n\n\\[\\frac{a_4}{a_1} = q^{n-1} = q^3\\]\n\\[q^3 = \\frac{-4}{32} = -\\frac{1}{8}\\]\n\\[q = -\\frac{1}{2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go, żeby wyrazić \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), a następnie wyznaczyć iloraz.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek stopnia \\(n\\):\n\\[\\sqrt[n]{a}\\]\nUżyliśmy go do wyciągnięcia pierwiastka sześciennego z \\(-\\frac{1}{8}\\). Pamiętamy, że \\(\\sqrt[3]{-a} = -\\sqrt[3]{a}\\) - pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = \\frac{1}{2}\\), ale **zapomina o znaku minusa** - skoro \\(a_4 < 0\\) przy \\(a_1 > 0\\), iloraz musi być ujemny |\n| B: \\(-2\\) | Uczeń odwraca ułamek: liczy \\(\\frac{32}{4} = 8\\), bierze \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\) i daje znak minus, ale **odwrócił zależność** (\\(\\frac{a_1}{a_4}\\) zamiast \\(\\frac{a_4}{a_1}\\)) |\n| D: \\(2\\) | Podwójny błąd: odwrócony ułamek **i** pominięty znak minus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik potęgi to \\(n - 1\\), nie \\(n\\). Ciąg ma **4 wyrazy**, ale od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) są tylko **3 przeskoki** - więc \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\), nie \\(q^4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek sześcienny (nieparzysty stopień) z liczby ujemnej jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\frac{1}{2}\\). To inaczej niż przy pierwiastku kwadratowym, gdzie liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny iloraz w ciągu geometrycznym jest jak najbardziej możliwy - oznacza, że wyrazy naprzemiennie zmieniają znak (\\(32, -16, 8, -4, \\ldots\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C.** \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz\nW ciągu geometrycznym \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).\n\nDla \\(n = 4\\): \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{3}\\), czyli:\n\\[-4 = 32 \\cdot q^{3}\\]\n\\[q^{3} = -\\dfrac{4}{32} = -\\dfrac{1}{8}\\]\n\\[q = \\sqrt[3]{-\\dfrac{1}{8}} = -\\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez iterację\nJeśli \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\), to:\n\\[a_1 = 32, \\quad a_2 = -16, \\quad a_3 = 8, \\quad a_4 = -4 ✓.\\]\n\n### Sposób 3 - Kontrola znaków\nJeśli \\(a_1 > 0\\) i \\(a_4 < 0\\), to iloraz \\(q\\) musi być **ujemny** (bo \\(q^{3}\\) ma znak \\(q\\)). Odpowiedzi A (\\(12\\)) i B (\\(\\tfrac{1}{2}\\)) odpadają. Z odpowiedzi C i D, \\(q = -12\\) daje \\(q^{3} = -1728\\), czyli \\(a_4 = 32\\cdot(-1728) = -55296\\) - odpada. Pozostaje \\(q = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Komentarz\nPierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą i jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-1/8} = -1/2\\) bo \\((-1/2)^{3} = -1/8\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W ciągu geometrycznym \\((a_{n})\\) dane są: \\(a_{1}=32\\) i \\(a_{4}=-4\\). Iloraz tego ciągu jest równy

\n

A. \\(12\\)
B. \\(\\dfrac{1}{2}\\)
C. \\(-\\dfrac{1}{2}\\)
D. \\(-12\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego

\n

Zapisujemy wzór ogólny:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

Dla \\(n = 4\\):
\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]

\n

Podstawiamy dane (\\(a_1 = 32\\), \\(a_4 = -4\\)):
\\[32 \\cdot q^3 = -4\\]

\n

Wyznaczamy \\(q^3\\):
\\[q^3 = \\frac{-4}{32} = -\\frac{1}{8}\\]

\n

Wyciągamy pierwiastek sześcienny z obu stron:
\\[q = \\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Wynik: \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)

\n

Sprawdzenie: \\(a_4 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right) = -4\\) ✓

\n

Sposób 2 - krok po kroku przez kolejne wyrazy

\n

Zamiast od razu liczyć \\(q^3\\), możemy rozpisać wyrazy ciągu:

\n

\\[a_1 = 32\\]
\\[a_2 = 32q\\]
\\[a_3 = 32q^2\\]
\\[a_4 = 32q^3\\]

\n

Widzimy, że od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) mnożyliśmy przez \\(q\\) dokładnie 3 razy. Zatem:

\n

\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3 \\implies -4 = 32 \\cdot q^3\\]

\n

Co daje dokładnie to samo równanie co w Sposobie 1. Alternatywnie - możemy skorzystać z proporcji:

\n

\\[\\frac{a_4}{a_1} = q^{n-1} = q^3\\]
\\[q^3 = \\frac{-4}{32} = -\\frac{1}{8}\\]
\\[q = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go, żeby wyrazić \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), a następnie wyznaczyć iloraz.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - pierwiastek stopnia \\(n\\):
\\[\\sqrt[n]{a}\\]
Użyliśmy go do wyciągnięcia pierwiastka sześciennego z \\(-\\frac{1}{8}\\). Pamiętamy, że \\(\\sqrt[3]{-a} = -\\sqrt[3]{a}\\) - pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych są ujemne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = \\frac{1}{2}\\), ale zapomina o znaku minusa - skoro \\(a_4 < 0\\) przy \\(a_1 > 0\\), iloraz musi być ujemny |
| B: \\(-2\\) | Uczeń odwraca ułamek: liczy \\(\\frac{32}{4} = 8\\), bierze \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\) i daje znak minus, ale odwrócił zależność (\\(\\frac{a_1}{a_4}\\) zamiast \\(\\frac{a_4}{a_1}\\)) |
| D: \\(2\\) | Podwójny błąd: odwrócony ułamek i pominięty znak minus |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wykładnik potęgi to \\(n - 1\\), nie \\(n\\). Ciąg ma 4 wyrazy, ale od \\(a_1\\) do \\(a_4\\) są tylko 3 przeskoki - więc \\(a_4 = a_1 \\cdot q^3\\), nie \\(q^4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pierwiastek sześcienny (nieparzysty stopień) z liczby ujemnej jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\frac{1}{2}\\). To inaczej niż przy pierwiastku kwadratowym, gdzie liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna!
\n
⚠️ Uwaga: Ujemny iloraz w ciągu geometrycznym jest jak najbardziej możliwy - oznacza, że wyrazy naprzemiennie zmieniają znak (\\(32, -16, 8, -4, \\ldots\\)).
\n

Poprawna odpowiedź: C. \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)

\n
Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz
\n

W ciągu geometrycznym \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).

\n

Dla \\(n = 4\\): \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{3}\\), czyli:
\\[-4 = 32 \\cdot q^{3}\\]
\\[q^{3} = -\\dfrac{4}{32} = -\\dfrac{1}{8}\\]
\\[q = \\sqrt[3]{-\\dfrac{1}{8}} = -\\dfrac{1}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie przez iterację
\n

Jeśli \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\), to:
\\[a_1 = 32, \\quad a_2 = -16, \\quad a_3 = 8, \\quad a_4 = -4 ✓.\\]

\n
Sposób 3 - Kontrola znaków
\n

Jeśli \\(a_1 > 0\\) i \\(a_4 < 0\\), to iloraz \\(q\\) musi być ujemny (bo \\(q^{3}\\) ma znak \\(q\\)). Odpowiedzi A (\\(12\\)) i B (\\(\\tfrac{1}{2}\\)) odpadają. Z odpowiedzi C i D, \\(q = -12\\) daje \\(q^{3} = -1728\\), czyli \\(a_4 = 32\\cdot(-1728) = -55296\\) - odpada. Pozostaje \\(q = -\\tfrac{1}{2}\\).

\n
Komentarz
\n

Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą i jest ujemny: \\(\\sqrt[3]{-1/8} = -1/2\\) bo \\((-1/2)^{3} = -1/8\\).

"}]}