{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\sin\\alpha=\\frac{8}{9}\\). Wtedy \\(\\cos\\alpha\\) jest równy\n\nA. \\(\\dfrac{1}{9}\\)\nB. \\(\\dfrac{8}{9}\\)\nC. \\(\\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)\nD. \\(\\dfrac{\\sqrt{65}}{9}\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\n**Korzystamy z podstawowego wzoru** łączącego sinus i cosinus:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{8}{9}\\):\n\n\\[\\left(\\frac{8}{9}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{64}{81} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{64}{81} = \\frac{81}{81} - \\frac{64}{81} = \\frac{17}{81}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{17}{81}} = \\pm\\frac{\\sqrt{17}}{9}\\]\n\n**Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry**, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\) - w tej ćwiartce cosinus jest **dodatni**.\n\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{17}}{9}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\nRysujemy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \\(\\alpha\\).\n\nZ definicji: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\) - **nie**, poprawnie:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{8}{9}\\]\n\nPrzyjmujemy: przyprostokątna \\(a = 8\\), przeciwprostokątna \\(c = 9\\).\n\nDruga przyprostokątna \\(b\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[b^2 = c^2 - a^2 = 81 - 64 = 17 \\implies b = \\sqrt{17}\\]\n\nCosinus kąta \\(\\alpha\\):\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{\\sqrt{17}}{9}\\]\n\nTen sam wynik - **weryfikacja potwierdzona**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nTo jest absolutna podstawa - użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) z wartości \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicje w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = \\frac{8}{9}\\) - mylenie sinusa z cosinusem |\n| B | Obliczenie \\(\\cos\\alpha = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\\) - odjęcie sinusa zamiast użycia jedynki trygonometrycznej |\n| D | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = -\\frac{\\sqrt{17}}{9}\\) - zapomnienie, że kąt ostry ma **dodatni** cosinus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna mówi \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), **nie** \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). To częsty błąd - nie wolno po prostu odjąć \\(\\frac{8}{9}\\) od \\(1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyliczeniu \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{17}{81}\\) pamiętaj o znaku! Dla kąta ostrego zawsze wybieramy \\(+\\sqrt{\\ldots}\\). Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny - trzeba pilnować ćwiartki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{\\frac{17}{81}} = \\frac{\\sqrt{17}}{\\sqrt{81}} = \\frac{\\sqrt{17}}{9}\\), bo \\(\\sqrt{81} = 9\\). Nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku bez uproszczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C.** \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nZ tożsamości \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{64}{81} = \\dfrac{81 - 64}{81} = \\dfrac{17}{81}.\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{17}{81}} = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}^{*}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\); przyjmijmy:\n- przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\): \\(8\\),\n- przeciwprostokątna: \\(9\\).\n\nZ Pitagorasa druga przyprostokątna:\n\\[a = \\sqrt{9^{2} - 8^{2}} = \\sqrt{81 - 64} = \\sqrt{17}.\\]\n\nWtedy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\).\n\n### Kontrola pozostałych odpowiedzi\n- **A.** \\(\\dfrac{1}{9}\\): \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = \\dfrac{64}{81} + \\dfrac{1}{81} = \\dfrac{65}{81} \\ne 1\\) ✗.\n- **B.** \\(\\dfrac{8}{9} = \\sin\\alpha\\) ✗ (pomylenie funkcji).\n- **D.** \\(\\dfrac{\\sqrt{65}}{9}\\): \\(\\dfrac{64}{81} + \\dfrac{65}{81} = \\dfrac{129}{81} \\ne 1\\) ✗.\n\n### Komentarz\nKlucz: z jedynki trygonometrycznej wynika \\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha\\). Dla kąta ostrego wybieramy pierwiastek dodatni.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\sin\\alpha=\\frac{8}{9}\\). Wtedy \\(\\cos\\alpha\\) jest równy

\n

A. \\(\\dfrac{1}{9}\\)
B. \\(\\dfrac{8}{9}\\)
C. \\(\\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)
D. \\(\\dfrac{\\sqrt{65}}{9}\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)

\n

Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna

\n

Korzystamy z podstawowego wzoru łączącego sinus i cosinus:

\n

\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{8}{9}\\):

\n

\\[\\left(\\frac{8}{9}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

\\[\\frac{64}{81} + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{64}{81} = \\frac{81}{81} - \\frac{64}{81} = \\frac{17}{81}\\]

\n

\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{17}{81}} = \\pm\\frac{\\sqrt{17}}{9}\\]

\n

Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\) - w tej ćwiartce cosinus jest dodatni.

\n

\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{17}}{9}}\\]

\n

Sposób 2 - Trójkąt prostokątny

\n

Rysujemy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \\(\\alpha\\).

\n

Z definicji: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\) - nie, poprawnie:

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{8}{9}\\]

\n

Przyjmujemy: przyprostokątna \\(a = 8\\), przeciwprostokątna \\(c = 9\\).

\n

Druga przyprostokątna \\(b\\) z twierdzenia Pitagorasa:

\n

\\[b^2 = c^2 - a^2 = 81 - 64 = 17 \\implies b = \\sqrt{17}\\]

\n

Cosinus kąta \\(\\alpha\\):

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c} = \\frac{\\sqrt{17}}{9}\\]

\n

Ten sam wynik - weryfikacja potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
To jest absolutna podstawa - użyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) z wartości \\(\\sin\\alpha\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicje w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = \\frac{8}{9}\\) - mylenie sinusa z cosinusem |
| B | Obliczenie \\(\\cos\\alpha = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\\) - odjęcie sinusa zamiast użycia jedynki trygonometrycznej |
| D | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = -\\frac{\\sqrt{17}}{9}\\) - zapomnienie, że kąt ostry ma dodatni cosinus |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Jedynka trygonometryczna mówi \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), nie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). To częsty błąd - nie wolno po prostu odjąć \\(\\frac{8}{9}\\) od \\(1\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Po wyliczeniu \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{17}{81}\\) pamiętaj o znaku! Dla kąta ostrego zawsze wybieramy \\(+\\sqrt{\\ldots}\\). Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny - trzeba pilnować ćwiartki.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{\\frac{17}{81}} = \\frac{\\sqrt{17}}{\\sqrt{81}} = \\frac{\\sqrt{17}}{9}\\), bo \\(\\sqrt{81} = 9\\). Nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku bez uproszczenia.
\n

Poprawna odpowiedź: C. \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\)

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\n

Z tożsamości \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):
\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{64}{81} = \\dfrac{81 - 64}{81} = \\dfrac{17}{81}.\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\):
\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{17}{81}} = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}.\\]

\n
Sposób 2 - Trójkąt prostokątny
\n

Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}^{*}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\); przyjmijmy:

\n\n

Z Pitagorasa druga przyprostokątna:
\\[a = \\sqrt{9^{2} - 8^{2}} = \\sqrt{81 - 64} = \\sqrt{17}.\\]

\n

Wtedy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{17}}{9}\\).

\n
Kontrola pozostałych odpowiedzi
\n\n
Komentarz
\n

Klucz: z jedynki trygonometrycznej wynika \\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha\\). Dla kąta ostrego wybieramy pierwiastek dodatni.

"}]}