{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). Wtedy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) jest równy\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-095/z16.png\n\n. Wtedy tg \\(\\alpha\\) jest równy\n\nA. \\(\\sqrt{2}\\)\nB. \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\)\nC. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}\\)\nD. \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja tangensa z boków trójkąta\n\n**Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\)**\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży przy wierzchołku, gdzie spotykają się:\n- **przyprostokątna przyległa** do \\(\\alpha\\): \\(|AB| = \\sqrt{2}\\)\n- **przeciwprostokątna**: \\(\\sqrt{3}\\)\n\nKąt prosty jest przy wierzchołku naprzeciwko - tam spotykają się obie przyprostokątne (\\(\\sqrt{2}\\) i \\(1\\)).\n\nZatem **przyprostokątna przeciwległa** do \\(\\alpha\\) to bok \\(= 1\\).\n\n**Stosujemy definicję tangensa:**\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\n\\]\n\n**Racjonalizujemy mianownik:**\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{2}}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez sinus i cosinus (ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\))\n\nKąt \\(\\alpha\\) ma naprzeciwko bok \\(= 1\\), a przeciwprostokątna wynosi \\(\\sqrt{3}\\):\n\n\\[\n\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n**Przy okazji warto sprawdzić Pitagorasa:**\n\\[(\\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = (\\sqrt{3})^2 \\checkmark\\]\nTrójkąt jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}\n\\]\n\nUżyliśmy tego wprost w Sposobie 1 - tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy tym kącie.\n\nOraz wzór: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) - wykorzystany w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobny błąd |\n| A | Zamiana boków: wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{1} = \\sqrt{2}\\) - czyli odwrócono ułamek (przyległa/przeciwległa zamiast odwrotnie) |\n| B | Pomylono tangens z sinusem: \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) albo wzięto inny kąt |\n| C | Wzięto tangens kąta przy drugim wierzchołku: \\(\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{\\sqrt{2}}{1} \\cdot \\ldots\\) lub pomylono z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw ustal, **przy którym wierzchołku** jest kąt \\(\\alpha\\). Mylenie kąta z właściwym wierzchołkiem to najczęstszy błąd - prowadzi do odwróconego ułamka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przyprostokątna **przyległa** (przy kącie) idzie do **mianownika** tangensa, a **przeciwległa** (naprzeciwko kąta) do **licznika**. Zapamiętaj: *\"tg = naprzeciwko / przy\"*.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\) i \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) to **to samo** - zawsze racjonalizuj mianownik, bo CKE podaje odpowiedzi bez pierwiastka w mianowniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D.** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)\n\n### Sposób 1 - Definicja tangensa w trójkącie prostokątnym\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{przyprostokątna naprzeciw } \\alpha}{\\text{przyprostokątna przyległa do } \\alpha}.\\]\n\nZgodnie z rysunkiem:\n- **przyprostokątna naprzeciw** \\(\\alpha\\): \\(1\\) (pionowa),\n- **przyprostokątna przyległa** do \\(\\alpha\\): \\(\\sqrt{2}\\) (pozioma).\n\nStąd:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}.\\]\n\n### Sposób 2 - Kontrola poprzez sprawdzenie Pitagorasa\nTrójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(1\\) i \\(\\sqrt{2}\\), przeciwprostokątną \\(c\\):\n\\[c^{2} = 1^{2} + (\\sqrt{2})^{2} = 1 + 2 = 3 \\Rightarrow c = \\sqrt{3} ✓.\\]\n\nZgadza się z rysunkiem. Zatem pokazane boki są zgodne.\n\n### Racjonalizacja (jako komentarz)\n\\[\\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]\nW tej formie także można zapisać wynik, ale odpowiedź **D** jest już w zadanej postaci.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi błędne\n- **A.** \\(\\sqrt{2}\\) - odwrotność tangensa (\\(\\operatorname{ctg}\\alpha = \\sqrt{2}\\)).\n- **B.** \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\sin\\alpha\\) lub \\(\\cos\\alpha\\) - pomylenie z sinem/kosinem.\n- **C.** \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}\\) - odwrotność \\(\\cos\\alpha\\).\n\n### Komentarz\nKluczowe: tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to **stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przyległej** - nigdy nie uwzględnia się przeciwprostokątnej.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). Wtedy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) jest równy

\n

/matma-quiz/images/cke/MMA-P1_1P-095/z16.png

\n

. Wtedy tg \\(\\alpha\\) jest równy

\n

A. \\(\\sqrt{2}\\)
B. \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\)
C. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}\\)
D. \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Definicja tangensa z boków trójkąta

\n

Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\)

\n

Kąt \\(\\alpha\\) leży przy wierzchołku, gdzie spotykają się:

\n\n

Kąt prosty jest przy wierzchołku naprzeciwko - tam spotykają się obie przyprostokątne (\\(\\sqrt{2}\\) i \\(1\\)).

\n

Zatem przyprostokątna przeciwległa do \\(\\alpha\\) to bok \\(= 1\\).

\n

Stosujemy definicję tangensa:

\n

\\[
\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}
\\]

\n

Racjonalizujemy mianownik:

\n

\\[
\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{2}}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}
\\]

\n

Wynik: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)

\n

Sposób 2 - Przez sinus i cosinus (ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\))

\n

Kąt \\(\\alpha\\) ma naprzeciwko bok \\(= 1\\), a przeciwprostokątna wynosi \\(\\sqrt{3}\\):

\n

\\[
\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}
\\]

\n

Zatem:

\n

\\[
\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}}{\\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}
\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Przy okazji warto sprawdzić Pitagorasa:
\\[(\\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = (\\sqrt{3})^2 \\checkmark\\]
Trójkąt jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:

\n

\\[
\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}}
\\]

\n

Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1 - tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy tym kącie.

\n

Oraz wzór: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) - wykorzystany w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Prawdopodobny błąd |
| A | Zamiana boków: wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{1} = \\sqrt{2}\\) - czyli odwrócono ułamek (przyległa/przeciwległa zamiast odwrotnie) |
| B | Pomylono tangens z sinusem: \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) albo wzięto inny kąt |
| C | Wzięto tangens kąta przy drugim wierzchołku: \\(\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{\\sqrt{2}}{1} \\cdot \\ldots\\) lub pomylono z \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw ustal, przy którym wierzchołku jest kąt \\(\\alpha\\). Mylenie kąta z właściwym wierzchołkiem to najczęstszy błąd - prowadzi do odwróconego ułamka.
\n
⚠️ Uwaga: Przyprostokątna przyległa (przy kącie) idzie do mianownika tangensa, a przeciwległa (naprzeciwko kąta) do licznika. Zapamiętaj: "tg = naprzeciwko / przy".
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\) i \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) to to samo - zawsze racjonalizuj mianownik, bo CKE podaje odpowiedzi bez pierwiastka w mianowniku.
\n

Poprawna odpowiedź: D. \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}\\)

\n
Sposób 1 - Definicja tangensa w trójkącie prostokątnym
\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{przyprostokątna naprzeciw } \\alpha}{\\text{przyprostokątna przyległa do } \\alpha}.\\]

\n

Zgodnie z rysunkiem:

\n\n

Stąd:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}}.\\]

\n
Sposób 2 - Kontrola poprzez sprawdzenie Pitagorasa
\n

Trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(1\\) i \\(\\sqrt{2}\\), przeciwprostokątną \\(c\\):
\\[c^{2} = 1^{2} + (\\sqrt{2})^{2} = 1 + 2 = 3 \\Rightarrow c = \\sqrt{3} ✓.\\]

\n

Zgadza się z rysunkiem. Zatem pokazane boki są zgodne.

\n
Racjonalizacja (jako komentarz)
\n

\\[\\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.\\]
W tej formie także można zapisać wynik, ale odpowiedź D jest już w zadanej postaci.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi błędne
\n\n
Komentarz
\n

Kluczowe: tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przyległej - nigdy nie uwzględnia się przeciwprostokątnej.

"}]}