{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W trójkącie równoramiennym \\(ABC\\) dane są \\(|AC|=|BC|=7\\) oraz \\(|AB|=12\\). Wysokość opuszczona z wierzchołka \\(C\\) jest równa\n\nA. \\(\\sqrt{13}\\)\nB. \\(\\sqrt{5}\\)\nC. \\(1\\)\nD. \\(5\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (własność trójkąta równoramiennego)\n\n**Kluczowa własność:** W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta między ramionami pada na **środek podstawy** i dzieli ją na dwie równe części.\n\nOznaczmy stopę wysokości jako \\(H\\). Skoro \\(|AC| = |BC|\\), punkt \\(H\\) leży na środku \\(AB\\), więc:\n\\[|AH| = |BH| = \\frac{|AB|}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\]\n\nTrójkąt \\(BCH\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(H\\)), więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|BC|^2 = |BH|^2 + |CH|^2\\]\n\\[7^2 = 6^2 + h^2\\]\n\\[49 = 36 + h^2\\]\n\\[h^2 = 49 - 36 = 13\\]\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na pole trójkąta (weryfikacja)\n\nObliczamy pole trójkąta ze wzoru Herona, a potem porównujemy z \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h\\).\n\nPółobwód: \\(p = \\frac{7 + 7 + 12}{2} = 13\\)\n\nWzór Herona:\n\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\sqrt{13 \\cdot (13-7)(13-7)(13-12)}\\]\n\\[P = \\sqrt{13 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot 1} = \\sqrt{13 \\cdot 36} = 6\\sqrt{13}\\]\n\nTeraz ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\):\n\\[6\\sqrt{13} = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot h\\]\n\\[6\\sqrt{13} = 6h\\]\n\\[h = \\sqrt{13}\\]\n\nWyniki zgodne - **\\(h = \\sqrt{13}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia wysokości z prawokątnego trójkąta \\(BCH\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - Wzór Herona:\n\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \\quad p = \\frac{a+b+c}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(h\\) z pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(h = \\sqrt{7^2 - 12^2}\\) - zamienia ramię z podstawą w Pitagorasie. Ale \\(7 < 12\\), więc wynik byłby ujemny - ewidentna sprzeczność. |\n| C | Uczeń podstawia całą podstawę \\(12\\) zamiast jej połowy \\(6\\): \\(h = \\sqrt{7^2 - 12^2}\\) - błąd podziału |\n| D | Uczeń liczy \\(h = 7 - 6 = 1\\) lub myli wysokość z różnicą boków - brak zastosowania Pitagorasa |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość z wierzchołka między ramionami **dzieli podstawę na pół** - to działa TYLKO dlatego, że \\(|AC| = |BC|\\). Nie zakładaj tego dla dowolnego trójkąta!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Pitagorasie do \\(h^2\\) wstawiasz **połowę** podstawy: \\(|BH| = 6\\), nie \\(|AB| = 12\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{13}\\) to wynik **dokładny** - nie zaokrąglaj do \\(3{,}6\\) ani nie szukaj ładnej liczby. Matura akceptuje surdy (\\(\\sqrt{13}\\)) jako odpowiedź końcową.\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\(h = \\sqrt{13}\\)\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nTrójkąt równoramienny \\(ABC\\) z \\(|AC| = |BC| = 7\\) i \\(|AB| = 12\\). Wysokość \\(CD\\) opuszczona z \\(C\\) na \\(AB\\) dzieli podstawę na dwie równe części:\n\\[|AD| = |DB| = \\dfrac{|AB|}{2} = 6.\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ADC\\): \\(|AC|^{2} = |AD|^{2} + |CD|^{2}\\):\n\\[7^{2} = 6^{2} + h^{2}\\]\n\\[49 = 36 + h^{2}\\]\n\\[h^{2} = 13 \\Rightarrow h = \\sqrt{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole przez wzór Herona\nPólobwód: \\(p = \\dfrac{7+7+12}{2} = 13\\).\n\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\sqrt{13\\cdot 6\\cdot 6\\cdot 1} = \\sqrt{468} = 6\\sqrt{13}.\\]\n\nJednocześnie \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot h = 6h\\), stąd:\n\\[6h = 6\\sqrt{13} \\Rightarrow h = \\sqrt{13}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}606\\). Kontrola: wysokość trójkąta równoramiennego musi być mniejsza od ramion (\\(7 > \\sqrt{13}\\)) ✓.\n\n### Komentarz\nWysokość z wierzchołka głównego trójkąta równoramiennego **pokrywa się** z symetralną podstawy i dzieli podstawę na dwie równe części. Standardowe zastosowanie Pitagorasa.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>W trójkącie równoramiennym \\(ABC\\) dane są \\(|AC|=|BC|=7\\) oraz \\(|AB|=12\\). Wysokość opuszczona z wierzchołka \\(C\\) jest równa</p>\n<p>A. \\(\\sqrt{13}\\)<br>B. \\(\\sqrt{5}\\)<br>C. \\(1\\)<br>D. \\(5\\)</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{13}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (własność trójkąta równoramiennego)</h4>\n<p><strong>Kluczowa własność:</strong> W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta między ramionami pada na <strong>środek podstawy</strong> i dzieli ją na dwie równe części.</p>\n<p>Oznaczmy stopę wysokości jako \\(H\\). Skoro \\(|AC| = |BC|\\), punkt \\(H\\) leży na środku \\(AB\\), więc:<br>\\[|AH| = |BH| = \\frac{|AB|}{2} = \\frac{12}{2} = 6\\]</p>\n<p>Trójkąt \\(BCH\\) jest prostokątny (kąt prosty przy \\(H\\)), więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[|BC|^2 = |BH|^2 + |CH|^2\\]<br>\\[7^2 = 6^2 + h^2\\]<br>\\[49 = 36 + h^2\\]<br>\\[h^2 = 49 - 36 = 13\\]<br>\\[\\boxed{h = \\sqrt{13}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na pole trójkąta (weryfikacja)</h4>\n<p>Obliczamy pole trójkąta ze wzoru Herona, a potem porównujemy z \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h\\).</p>\n<p>Półobwód: \\(p = \\frac{7 + 7 + 12}{2} = 13\\)</p>\n<p>Wzór Herona:<br>\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\sqrt{13 \\cdot (13-7)(13-7)(13-12)}\\]<br>\\[P = \\sqrt{13 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot 1} = \\sqrt{13 \\cdot 36} = 6\\sqrt{13}\\]</p>\n<p>Teraz ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\):<br>\\[6\\sqrt{13} = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot h\\]<br>\\[6\\sqrt{13} = 6h\\]<br>\\[h = \\sqrt{13}\\]</p>\n<p>Wyniki zgodne - <strong>\\(h = \\sqrt{13}\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia wysokości z prawokątnego trójkąta \\(BCH\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 16)</strong> - Wzór Herona:<br>\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \\quad p = \\frac{a+b+c}{2}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - Pole trójkąta:<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(h\\) z pola.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Uczeń liczy \\(h = \\sqrt{7^2 - 12^2}\\) - zamienia ramię z podstawą w Pitagorasie. Ale \\(7 &lt; 12\\), więc wynik byłby ujemny - ewidentna sprzeczność. |<br>| C | Uczeń podstawia całą podstawę \\(12\\) zamiast jej połowy \\(6\\): \\(h = \\sqrt{7^2 - 12^2}\\) - błąd podziału |<br>| D | Uczeń liczy \\(h = 7 - 6 = 1\\) lub myli wysokość z różnicą boków - brak zastosowania Pitagorasa |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wysokość z wierzchołka między ramionami <strong>dzieli podstawę na pół</strong> - to działa TYLKO dlatego, że \\(|AC| = |BC|\\). Nie zakładaj tego dla dowolnego trójkąta!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Pitagorasie do \\(h^2\\) wstawiasz <strong>połowę</strong> podstawy: \\(|BH| = 6\\), nie \\(|AB| = 12\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{13}\\) to wynik <strong>dokładny</strong> - nie zaokrąglaj do \\(3{,}6\\) ani nie szukaj ładnej liczby. Matura akceptuje surdy (\\(\\sqrt{13}\\)) jako odpowiedź końcową.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A.</strong> \\(h = \\sqrt{13}\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa</h5>\n<p>Trójkąt równoramienny \\(ABC\\) z \\(|AC| = |BC| = 7\\) i \\(|AB| = 12\\). Wysokość \\(CD\\) opuszczona z \\(C\\) na \\(AB\\) dzieli podstawę na dwie równe części:<br>\\[|AD| = |DB| = \\dfrac{|AB|}{2} = 6.\\]</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(ADC\\): \\(|AC|^{2} = |AD|^{2} + |CD|^{2}\\):<br>\\[7^{2} = 6^{2} + h^{2}\\]<br>\\[49 = 36 + h^{2}\\]<br>\\[h^{2} = 13 \\Rightarrow h = \\sqrt{13}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Pole przez wzór Herona</h5>\n<p>Pólobwód: \\(p = \\dfrac{7+7+12}{2} = 13\\).<br>\\[P = \\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\sqrt{13\\cdot 6\\cdot 6\\cdot 1} = \\sqrt{468} = 6\\sqrt{13}.\\]</p>\n<p>Jednocześnie \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot h = 6h\\), stąd:<br>\\[6h = 6\\sqrt{13} \\Rightarrow h = \\sqrt{13}.\\]</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(\\sqrt{13} \\approx 3{,}606\\). Kontrola: wysokość trójkąta równoramiennego musi być mniejsza od ramion (\\(7 &gt; \\sqrt{13}\\)) ✓.</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Wysokość z wierzchołka głównego trójkąta równoramiennego <strong>pokrywa się</strong> z symetralną podstawy i dzieli podstawę na dwie równe części. Standardowe zastosowanie Pitagorasa.</p>"}]}