{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nDwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że\nkażdego dnia pierwszy z nich wykona m , a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają\nzlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się\ni wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie\nzmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n.\nNr zadania\n2.1\n2.2\n2.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n4\nDwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona m, a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dniu. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n.","answer":"C","answer_text":"1\n11","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - 45%\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie procentu\n\n**Szukamy:** jaki procent liczby 280 stanowi liczba 126.\n\nWzór na procent:\n\\[p\\% = \\frac{\\text{część}}{\\text{całość}} \\cdot 100\\%\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p\\% = \\frac{126}{280} \\cdot 100\\%\\]\n\nUpraszczamy ułamek - zarówno 126, jak i 280 dzielą się przez 14:\n\\[\\frac{126}{280} = \\frac{9}{20}\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\frac{9}{20} \\cdot 100\\% = \\frac{900\\%}{20} = \\mathbf{45\\%}\\]\n\n**Bilety ulgowe stanowiły 45% wszystkich sprzedanych biletów.**\n\n## Sposób 2 - Przez proporcję\n\nUstawiamy proporcję: 280 biletów to 100%, ile procent to 126 biletów?\n\n\\[\\frac{126}{280} = \\frac{x}{100}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[280x = 126 \\cdot 100 = 12600\\]\n\nDzielimy obie strony przez 280:\n\\[x = \\frac{12600}{280} = \\frac{1260}{28} = 45\\]\n\n**Wynik: \\(x = 45\\%\\)** - zgodnie z Odpowiedzią C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Policzono \\(\\frac{280}{126} \\cdot 100\\% \\approx 222\\%\\) - odwrócono ułamek (zamieniono część z całością) |\n| B | Odjęto bilety ulgowe od wszystkich: \\(\\frac{280 - 126}{280} \\cdot 100\\% = 55\\%\\) - policzono procent biletów **normalnych**, nie ulgowych |\n| D | Wzięto samą liczbę 126 jako wynik, bez przeliczenia na procenty |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odwrócenie ułamka - dzielenie całości przez część zamiast części przez całość. Zawsze sprawdź: wynik powinien być mniejszy niż 100%, bo 126 < 280.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"procent biletów ulgowych\" z \"procent biletów normalnych\". Przeczytaj dokładnie, o którą grupę pyta zadanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu ułamka \\(\\frac{126}{280}\\) warto szukać NWD - tu NWD(126, 280) = 14, co od razu daje ładny ułamek \\(\\frac{9}{20}\\) łatwy do przeliczenia na procenty.\n\n**Poprawna odpowiedź: C.** \\(45\\%\\)\n\n### Sposób 1 - Definicja procentu\n\\[\\dfrac{126}{280} \\cdot 100\\% = ?\\]\n\nSkracamy ułamek \\(\\dfrac{126}{280}\\) - dzielimy licznik i mianownik przez \\(\\text{NWD}(126,280) = 14\\):\n\\[\\dfrac{126}{280} = \\dfrac{9}{20}.\\]\n\n\\[\\dfrac{9}{20} = \\dfrac{9 \\cdot 5}{20 \\cdot 5} = \\dfrac{45}{100} = 45\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie dzielenie\n\\[126 : 280 = 0{,}45 = 45\\%.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(45\\%\\) z \\(280 = \\dfrac{45}{100} \\cdot 280 = \\dfrac{12600}{100} = 126\\) ✓.\n\n### Komentarz\nŁatwo odrzucić odpowiedzi B (\\(33\\%\\) - to byłoby \\(\\approx 92\\)) i D (\\(63\\%\\) - to \\(\\approx 176\\)). Odpowiedź A (\\(22\\%\\)) wynika z pomylenia procentu biletów ulgowych z procentem biletów normalnych odjętym od \\(100\\%\\) - uwaga: \\(100\\% - 45\\% = 55\\%\\) biletów normalnych, nie \\(22\\%\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (3 pkt)<br>Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że<br>każdego dnia pierwszy z nich wykona m , a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają<br>zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się<br>i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie<br>zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n.<br>Nr zadania<br>2.1<br>2.2<br>2.3<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>4<br>Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona m, a drugi n detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dniu. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz m i n.</p>","answer_text_html":"<p>1<br>11</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - 45%</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie procentu</h4>\n<p><strong>Szukamy:</strong> jaki procent liczby 280 stanowi liczba 126.</p>\n<p>Wzór na procent:<br>\\[p\\% = \\frac{\\text{część}}{\\text{całość}} \\cdot 100\\%\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[p\\% = \\frac{126}{280} \\cdot 100\\%\\]</p>\n<p>Upraszczamy ułamek - zarówno 126, jak i 280 dzielą się przez 14:<br>\\[\\frac{126}{280} = \\frac{9}{20}\\]</p>\n<p>Obliczamy:<br>\\[\\frac{9}{20} \\cdot 100\\% = \\frac{900\\%}{20} = \\mathbf{45\\%}\\]</p>\n<p><strong>Bilety ulgowe stanowiły 45% wszystkich sprzedanych biletów.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez proporcję</h4>\n<p>Ustawiamy proporcję: 280 biletów to 100%, ile procent to 126 biletów?</p>\n<p>\\[\\frac{126}{280} = \\frac{x}{100}\\]</p>\n<p>Mnożymy na krzyż:<br>\\[280x = 126 \\cdot 100 = 12600\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez 280:<br>\\[x = \\frac{12600}{280} = \\frac{1260}{28} = 45\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(x = 45\\%\\)</strong> - zgodnie z Odpowiedzią C.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Policzono \\(\\frac{280}{126} \\cdot 100\\% \\approx 222\\%\\) - odwrócono ułamek (zamieniono część z całością) |<br>| B | Odjęto bilety ulgowe od wszystkich: \\(\\frac{280 - 126}{280} \\cdot 100\\% = 55\\%\\) - policzono procent biletów <strong>normalnych</strong>, nie ulgowych |<br>| D | Wzięto samą liczbę 126 jako wynik, bez przeliczenia na procenty |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to odwrócenie ułamka - dzielenie całości przez część zamiast części przez całość. Zawsze sprawdź: wynik powinien być mniejszy niż 100%, bo 126 &lt; 280.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić &quot;procent biletów ulgowych&quot; z &quot;procent biletów normalnych&quot;. Przeczytaj dokładnie, o którą grupę pyta zadanie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy upraszczaniu ułamka \\(\\frac{126}{280}\\) warto szukać NWD - tu NWD(126, 280) = 14, co od razu daje ładny ułamek \\(\\frac{9}{20}\\) łatwy do przeliczenia na procenty.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C.</strong> \\(45\\%\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja procentu</h5>\n<p>\\[\\dfrac{126}{280} \\cdot 100\\% = ?\\]</p>\n<p>Skracamy ułamek \\(\\dfrac{126}{280}\\) - dzielimy licznik i mianownik przez \\(\\text{NWD}(126,280) = 14\\):<br>\\[\\dfrac{126}{280} = \\dfrac{9}{20}.\\]</p>\n<p>\\[\\dfrac{9}{20} = \\dfrac{9 \\cdot 5}{20 \\cdot 5} = \\dfrac{45}{100} = 45\\%.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośrednie dzielenie</h5>\n<p>\\[126 : 280 = 0{,}45 = 45\\%.\\]</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(45\\%\\) z \\(280 = \\dfrac{45}{100} \\cdot 280 = \\dfrac{12600}{100} = 126\\) ✓.</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Łatwo odrzucić odpowiedzi B (\\(33\\%\\) - to byłoby \\(\\approx 92\\)) i D (\\(63\\%\\) - to \\(\\approx 176\\)). Odpowiedź A (\\(22\\%\\)) wynika z pomylenia procentu biletów ulgowych z procentem biletów normalnych odjętym od \\(100\\%\\) - uwaga: \\(100\\% - 45\\% = 55\\%\\) biletów normalnych, nie \\(22\\%\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$m = 80$, $n = 60$</p>"}]}