{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykres funkcji liniowej określonej wzorem \\(f(x)=3x+2\\) jest prostą prostopadłą do prostej o równaniu:","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: prosta o współczynniku kierunkowym \\(-\\frac{1}{3}\\)\n\nWykres \\(f(x) = 3x + 2\\) jest prostopadły do każdej prostej postaci \\(y = -\\frac{1}{3}x + b\\) (np. \\(y = -\\frac{1}{3}x + 1\\) lub w postaci ogólnej: \\(x + 3y + c = 0\\)).\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (ze współczynników kierunkowych)\n\n**Odczytujemy współczynnik kierunkowy danej prostej.**\n\n\\[f(x) = 3x + 2 \\implies a_1 = 3\\]\n\n**Warunek prostopadłości** dwóch prostych (o współczynnikach kierunkowych \\(a_1\\) i \\(a_2\\)):\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_2\\):**\n\n\\[3 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n\\[a_2 = -\\frac{1}{3}\\]\n\n**Wniosek:** prosta prostopadła do \\(f(x) = 3x + 2\\) ma postać:\n\n\\[y = -\\frac{1}{3}x + b\\]\n\ndla dowolnego \\(b \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Sposób 2 - Przez wektory kierunkowe\n\nProsta \\(y = 3x + 2\\) ma wektor kierunkowy \\(\\vec{v_1} = [1, 3]\\) (przesunięcie o 1 w prawo daje wzrost o 3).\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe, tzn.:\n\n\\[\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2} = 0\\]\n\nNiech \\(\\vec{v_2} = [1, a_2]\\). Wtedy:\n\n\\[[1, 3] \\cdot [1, a_2] = 1 \\cdot 1 + 3 \\cdot a_2 = 1 + 3a_2 = 0\\]\n\n\\[3a_2 = -1 \\implies a_2 = -\\frac{1}{3}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nDokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1. Karta wzorów podaje go wprost przy równaniu kierunkowym prostej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nW zadaniach tego typu najczęściej pojawiają się pułapkowe opcje:\n\n| Odp. | Błąd |\n| \\(y = 3x + c\\) | Prosta **równoległa**, nie prostopadła - ten sam współczynnik kierunkowy |\n| \\(y = \\frac{1}{3}x + c\\) | Odwrotność współczynnika bez zmiany znaku - błąd! Trzeba i odwrócić, i zmienić znak |\n| \\(y = -3x + c\\) | Zmieniono znak, ale nie odwrócono - wynik to \\(3 \\cdot (-3) = -9 \\neq -1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta prostopadła wymaga **odwrotności z przeciwnym znakiem** - nie samej odwrotności i nie samej negacji. Wzór to \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) (czyli gdzie prosta przecina oś \\(OY\\)) nie ma znaczenia dla prostopadłości - liczy się **wyłącznie** współczynnik kierunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko gdy obie proste są **ukośne** (żadna nie jest pionowa). Prosta pionowa \\(x = c\\) jest prostopadła do poziomej \\(y = c\\) - to wyjątek od reguły.\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\(f(x) = 3x + 2\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 3\\).\n\nProsta prostopadła do prostej o współczynniku kierunkowym \\(a_1\\) ma współczynnik:\n\\(a_2 = -\\frac{1}{a_1} = -\\frac{1}{3}\\)\n\nZatem prosta prostopadła ma równanie postaci \\(y = -\\frac{1}{3}x + b\\) dla pewnego \\(b\\).\n\n**Użyte wzory:** warunek prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Wykres funkcji liniowej określonej wzorem \\(f(x)=3x+2\\) jest prostą prostopadłą do prostej o równaniu:</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: prosta o współczynniku kierunkowym \\(-\\frac{1}{3}\\)</h4>\n<p>Wykres \\(f(x) = 3x + 2\\) jest prostopadły do każdej prostej postaci \\(y = -\\frac{1}{3}x + b\\) (np. \\(y = -\\frac{1}{3}x + 1\\) lub w postaci ogólnej: \\(x + 3y + c = 0\\)).</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (ze współczynników kierunkowych)</h4>\n<p><strong>Odczytujemy współczynnik kierunkowy danej prostej.</strong></p>\n<p>\\[f(x) = 3x + 2 \\implies a_1 = 3\\]</p>\n<p><strong>Warunek prostopadłości</strong> dwóch prostych (o współczynnikach kierunkowych \\(a_1\\) i \\(a_2\\)):</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(a_2\\):</strong></p>\n<p>\\[3 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>\\[a_2 = -\\frac{1}{3}\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> prosta prostopadła do \\(f(x) = 3x + 2\\) ma postać:</p>\n<p>\\[y = -\\frac{1}{3}x + b\\]</p>\n<p>dla dowolnego \\(b \\in \\mathbb{R}\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez wektory kierunkowe</h4>\n<p>Prosta \\(y = 3x + 2\\) ma wektor kierunkowy \\(\\vec{v_1} = [1, 3]\\) (przesunięcie o 1 w prawo daje wzrost o 3).</p>\n<p>Dwie proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe, tzn.:</p>\n<p>\\[\\vec{v_1} \\cdot \\vec{v_2} = 0\\]</p>\n<p>Niech \\(\\vec{v_2} = [1, a_2]\\). Wtedy:</p>\n<p>\\[[1, 3] \\cdot [1, a_2] = 1 \\cdot 1 + 3 \\cdot a_2 = 1 + 3a_2 = 0\\]</p>\n<p>\\[3a_2 = -1 \\implies a_2 = -\\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych:</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Dokładnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1. Karta wzorów podaje go wprost przy równaniu kierunkowym prostej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>W zadaniach tego typu najczęściej pojawiają się pułapkowe opcje:</p>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| \\(y = 3x + c\\) | Prosta <strong>równoległa</strong>, nie prostopadła - ten sam współczynnik kierunkowy |<br>| \\(y = \\frac{1}{3}x + c\\) | Odwrotność współczynnika bez zmiany znaku - błąd! Trzeba i odwrócić, i zmienić znak |<br>| \\(y = -3x + c\\) | Zmieniono znak, ale nie odwrócono - wynik to \\(3 \\cdot (-3) = -9 \\neq -1\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta prostopadła wymaga <strong>odwrotności z przeciwnym znakiem</strong> - nie samej odwrotności i nie samej negacji. Wzór to \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny \\(b\\) (czyli gdzie prosta przecina oś \\(OY\\)) nie ma znaczenia dla prostopadłości - liczy się <strong>wyłącznie</strong> współczynnik kierunkowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko gdy obie proste są <strong>ukośne</strong> (żadna nie jest pionowa). Prosta pionowa \\(x = c\\) jest prostopadła do poziomej \\(y = c\\) - to wyjątek od reguły.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Funkcja \\(f(x) = 3x + 2\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 3\\).</p>\n<p>Prosta prostopadła do prostej o współczynniku kierunkowym \\(a_1\\) ma współczynnik:<br>\\(a_2 = -\\frac{1}{a_1} = -\\frac{1}{3}\\)</p>\n<p>Zatem prosta prostopadła ma równanie postaci \\(y = -\\frac{1}{3}x + b\\) dla pewnego \\(b\\).</p>\n<p><strong>Użyte wzory:</strong> warunek prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).</p>"}]}