{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Prosta o równaniu \\(y=-4x+(2m-7)\\) przechodzi przez punkt \\(A=(2,-1)\\). Wtedy\n\nA. \\(m = 7\\)\nB. \\(m = 2\\)\nC. \\(m = -\\)\nD. \\(m = - 17 2 2\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(m = 7\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej\n\nSkoro prosta **przechodzi przez punkt** \\(A = (2, -1)\\), to współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie prostej. Podstawiamy \\(x = 2\\), \\(y = -1\\):\n\n\\[-1 = -4 \\cdot 2 + (2m - 7)\\]\n\n\\[-1 = -8 + 2m - 7\\]\n\n\\[-1 = 2m - 15\\]\n\n\\[2m = -1 + 15\\]\n\n\\[2m = 14\\]\n\n\\[\\boxed{m = 7}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem\n\nSprawdzamy, czy dla \\(m = 7\\) punkt \\(A = (2, -1)\\) rzeczywiście leży na prostej.\n\nRównanie prostej staje się:\n\\[y = -4x + (2 \\cdot 7 - 7) = -4x + 7\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n\\[y = -4 \\cdot 2 + 7 = -8 + 7 = -1\\]\n\nOtrzymujemy dokładnie \\(y = -1\\) - **zgadza się z punktem \\(A\\)**. Wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do prostej (podstawienie współrzędnych do równania).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | **Poprawna odpowiedź** - \\(m = 7\\) |\n| B | Pomylenie kolejności działań: obliczenie \\(-4 \\cdot 2 = -8\\), a następnie błędne przeniesienie \\(-8\\) na drugą stronę ze złym znakiem, co daje \\(2m = 1 + 7 - (-8)\\) zamiast \\(2m = 14\\) |\n| C/D | Błędy wynikające z pominięcia nawiasu przy \\((2m - 7)\\) i potraktowania wyrazu wolnego jako samego \\(2m\\), co prowadzi do \\(2m = -1 + 7 \\cdot (-1)\\) lub podobnych niepoprawnych przekształceń |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że wyrazy wolne to **\\((2m-7)\\)** jako całość - nie wolno podstawiać \\(x = 2\\) do \\(2m\\). Parametr \\(m\\) jest stałą, nie zmienną funkcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus przed \\(-4x\\) łatwo zgubić. Po podstawieniu \\(x = 2\\) mamy \\(-4 \\cdot 2 = -8\\), a nie \\(+8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przenoszenie wyrazów - gdy przenosisz \\(-15\\) na lewą stronę, zmienia znak na \\(+15\\): \\(-1 + 15 = 14\\), nie \\(-1 - 15\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** (\\(m = 7\\))\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta \\(y = -4x + (2m - 7)\\) przechodzi przez punkt \\(A = (2, -1)\\).\n\nPodstawiamy współrzędne punktu \\(A\\):\n\\(-1 = -4 \\cdot 2 + (2m - 7)\\)\n\\(-1 = -8 + 2m - 7\\)\n\\(-1 = 2m - 15\\)\n\\(2m = 14\\)\n\\(m = 7\\)\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- B. \\(m = 2\\): daje \\(y = -4 \\cdot 2 + (4-7) = -11 \\neq -1\\)\n- C. \\(m = -\\frac{1}{2}\\): daje \\(y = -8 + (-1-7) = -16 \\neq -1\\)\n- D. \\(m = -\\frac{17}{2}\\): daje \\(y = -8 + (-17-7) = -32 \\neq -1\\)\n\n**Użyte wzory:** podstawienie współrzędnych punktu do równania prostej.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Prosta o równaniu \\(y=-4x+(2m-7)\\) przechodzi przez punkt \\(A=(2,-1)\\). Wtedy

\n

A. \\(m = 7\\)
B. \\(m = 2\\)
C. \\(m = -\\)
D. \\(m = - 17 2 2\\)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(m = 7\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej

\n

Skoro prosta przechodzi przez punkt \\(A = (2, -1)\\), to współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie prostej. Podstawiamy \\(x = 2\\), \\(y = -1\\):

\n

\\[-1 = -4 \\cdot 2 + (2m - 7)\\]

\n

\\[-1 = -8 + 2m - 7\\]

\n

\\[-1 = 2m - 15\\]

\n

\\[2m = -1 + 15\\]

\n

\\[2m = 14\\]

\n

\\[\\boxed{m = 7}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(m = 7\\) punkt \\(A = (2, -1)\\) rzeczywiście leży na prostej.

\n

Równanie prostej staje się:
\\[y = -4x + (2 \\cdot 7 - 7) = -4x + 7\\]

\n

Podstawiamy \\(x = 2\\):
\\[y = -4 \\cdot 2 + 7 = -8 + 7 = -1\\]

\n

Otrzymujemy dokładnie \\(y = -1\\) - zgadza się z punktem \\(A\\). Wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do prostej (podstawienie współrzędnych do równania).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Poprawna odpowiedź - \\(m = 7\\) |
| B | Pomylenie kolejności działań: obliczenie \\(-4 \\cdot 2 = -8\\), a następnie błędne przeniesienie \\(-8\\) na drugą stronę ze złym znakiem, co daje \\(2m = 1 + 7 - (-8)\\) zamiast \\(2m = 14\\) |
| C/D | Błędy wynikające z pominięcia nawiasu przy \\((2m - 7)\\) i potraktowania wyrazu wolnego jako samego \\(2m\\), co prowadzi do \\(2m = -1 + 7 \\cdot (-1)\\) lub podobnych niepoprawnych przekształceń |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że wyrazy wolne to \\((2m-7)\\) jako całość - nie wolno podstawiać \\(x = 2\\) do \\(2m\\). Parametr \\(m\\) jest stałą, nie zmienną funkcji.
\n
⚠️ Uwaga: Znak minus przed \\(-4x\\) łatwo zgubić. Po podstawieniu \\(x = 2\\) mamy \\(-4 \\cdot 2 = -8\\), a nie \\(+8\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przenoszenie wyrazów - gdy przenosisz \\(-15\\) na lewą stronę, zmienia znak na \\(+15\\): \\(-1 + 15 = 14\\), nie \\(-1 - 15\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 7\\))

\n

Rozwiązanie:

\n

Prosta \\(y = -4x + (2m - 7)\\) przechodzi przez punkt \\(A = (2, -1)\\).

\n

Podstawiamy współrzędne punktu \\(A\\):
\\(-1 = -4 \\cdot 2 + (2m - 7)\\)
\\(-1 = -8 + 2m - 7\\)
\\(-1 = 2m - 15\\)
\\(2m = 14\\)
\\(m = 7\\)

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n\n

Użyte wzory: podstawienie współrzędnych punktu do równania prostej.

"}]}