{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \\(150\\ \\text{cm}^{2}\\). Długość krawędzi tego sześcianu jest równa\n\nA. 3,5 cm\nB. 4 cm\nC. 4,5 cm\nD. 5 cm","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (5 cm)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na pole powierzchni sześcianu\n\nSześcian ma **6 ścian**, każda z nich jest kwadratem o boku \\(a\\).\n\nPole jednej ściany: \\(a^2\\)\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\\[P_c = 6a^2\\]\n\nPodstawiamy dany warunek:\n\\[6a^2 = 150\\]\n\\[a^2 = \\frac{150}{6} = 25\\]\n\\[a = \\sqrt{25} = 5 \\text{ cm}\\]\n\n**Długość krawędzi sześcianu wynosi 5 cm.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(a = 5\\) cm faktycznie daje pole 150 cm²:\n\\[P_c = 6 \\cdot 5^2 = 6 \\cdot 25 = 150 \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]\n\nDla porządku sprawdzamy też odpowiedź C (\\(a = 4{,}5\\)):\n\\[P_c = 6 \\cdot (4{,}5)^2 = 6 \\cdot 20{,}25 = 121{,}5 \\text{ cm}^2 \\neq 150\\]\n\nPotwierdzamy: tylko \\(a = 5\\) spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego (sześcian to szczególny przypadek):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu \\(a = b = c\\), więc:\n\\[P_c = 2(a^2 + a^2 + a^2) = 6a^2\\]\n\nTo właśnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (3,5 cm) | \\(6 \\cdot 3{,}5^2 = 6 \\cdot 12{,}25 = 73{,}5\\) - wynik za mały; prawdopodobnie uczeń dzieli 150 przez 6 i zamiast pierwiastka bierze połowę |\n| B (4 cm) | \\(6 \\cdot 4^2 = 96 \\neq 150\\) - pominięto pierwiastkowanie: uczeń liczy \\(150 : 6 = 25\\), a potem bierze \\(\\frac{25}{6} \\approx 4\\) zamiast \\(\\sqrt{25}\\) |\n| C (4,5 cm) | \\(6 \\cdot 4{,}5^2 = 121{,}5 \\neq 150\\) - typowy błąd \"na oko\", gdy uczeń interpoluje między 4 a 5 bez rachunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **6** ścian, nie 4. Mylenie z czworościanem foremnym (4 ściany) to częsty błąd - tu dzielimy przez 6, nie przez 4.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a^2 = 25\\) trzeba wziąć **pierwiastek kwadratowy**: \\(a = \\sqrt{25} = 5\\). Pominięcie tego kroku prowadzi do błędnej odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jednostki - wynik \\(a\\) jest w cm (nie cm²), bo \\(\\sqrt{\\text{cm}^2} = \\text{cm}\\). Warto pilnować jednostek przez cały rachunek.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** (5 cm)\n\n**Rozwiązanie:**\n\nPole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi \\(a\\):\n\\(P_c = 6a^2 = 150\\)\n\\(a^2 = 25\\)\n\\(a = 5\\) cm\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\(a = 3{,}5\\): \\(6 \\cdot 12{,}25 = 73{,}5 \\neq 150\\)\n- B. \\(a = 4\\): \\(6 \\cdot 16 = 96 \\neq 150\\)\n- C. \\(a = 4{,}5\\): \\(6 \\cdot 20{,}25 = 121{,}5 \\neq 150\\)\n\n**Użyte wzory:** pole powierzchni całkowitej sześcianu (prostopadłościanu) \\(P_c = 6a^2\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \\(150\\ \\text{cm}^{2}\\). Długość krawędzi tego sześcianu jest równa

\n

A. 3,5 cm
B. 4 cm
C. 4,5 cm
D. 5 cm

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D (5 cm)

\n

Sposób 1 - Ze wzoru na pole powierzchni sześcianu

\n

Sześcian ma 6 ścian, każda z nich jest kwadratem o boku \\(a\\).

\n

Pole jednej ściany: \\(a^2\\)

\n

Pole powierzchni całkowitej:
\\[P_c = 6a^2\\]

\n

Podstawiamy dany warunek:
\\[6a^2 = 150\\]
\\[a^2 = \\frac{150}{6} = 25\\]
\\[a = \\sqrt{25} = 5 \\text{ cm}\\]

\n

Długość krawędzi sześcianu wynosi 5 cm.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy \\(a = 5\\) cm faktycznie daje pole 150 cm²:
\\[P_c = 6 \\cdot 5^2 = 6 \\cdot 25 = 150 \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]

\n

Dla porządku sprawdzamy też odpowiedź C (\\(a = 4{,}5\\)):
\\[P_c = 6 \\cdot (4{,}5)^2 = 6 \\cdot 20{,}25 = 121{,}5 \\text{ cm}^2 \\neq 150\\]

\n

Potwierdzamy: tylko \\(a = 5\\) spełnia warunek.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego (sześcian to szczególny przypadek):
\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]
Dla sześcianu \\(a = b = c\\), więc:
\\[P_c = 2(a^2 + a^2 + a^2) = 6a^2\\]

\n

To właśnie ten wzór zastosowaliśmy w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (3,5 cm) | \\(6 \\cdot 3{,}5^2 = 6 \\cdot 12{,}25 = 73{,}5\\) - wynik za mały; prawdopodobnie uczeń dzieli 150 przez 6 i zamiast pierwiastka bierze połowę |
| B (4 cm) | \\(6 \\cdot 4^2 = 96 \\neq 150\\) - pominięto pierwiastkowanie: uczeń liczy \\(150 : 6 = 25\\), a potem bierze \\(\\frac{25}{6} \\approx 4\\) zamiast \\(\\sqrt{25}\\) |
| C (4,5 cm) | \\(6 \\cdot 4{,}5^2 = 121{,}5 \\neq 150\\) - typowy błąd "na oko", gdy uczeń interpoluje między 4 a 5 bez rachunku |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Sześcian ma 6 ścian, nie 4. Mylenie z czworościanem foremnym (4 ściany) to częsty błąd - tu dzielimy przez 6, nie przez 4.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(a^2 = 25\\) trzeba wziąć pierwiastek kwadratowy: \\(a = \\sqrt{25} = 5\\). Pominięcie tego kroku prowadzi do błędnej odpowiedzi.
\n
⚠️ Uwaga: Jednostki - wynik \\(a\\) jest w cm (nie cm²), bo \\(\\sqrt{\\text{cm}^2} = \\text{cm}\\). Warto pilnować jednostek przez cały rachunek.
\n

Poprawna odpowiedź: D (5 cm)

\n

Rozwiązanie:

\n

Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi \\(a\\):
\\(P_c = 6a^2 = 150\\)
\\(a^2 = 25\\)
\\(a = 5\\) cm

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n\n

Użyte wzory: pole powierzchni całkowitej sześcianu (prostopadłościanu) \\(P_c = 6a^2\\).

"}]}