{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \\(5, x, 1, 3, 1\\) jest równa \\(3\\). Wtedy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej\n\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb to ich suma podzielona przez liczbę składników.\n\n**Zapisujemy równanie:**\n\\[\\frac{5 + x + 1 + 3 + 1}{5} = 3\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez 5:**\n\\[5 + x + 1 + 3 + 1 = 15\\]\n\n**Sumujemy znane wyrazy:**\n\\[10 + x = 15\\]\n\n**Wyznaczamy \\(x\\):**\n\\[x = 15 - 10 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(x = 5\\) średnia rzeczywiście wynosi \\(3\\).\n\nPięć liczb: \\(5, 5, 1, 3, 1\\).\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{5 + 5 + 1 + 3 + 1}{5} = \\frac{15}{5} = 3 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **\\(x = 5\\)** jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1, podstawiając znane liczby i niewiadomą \\(x\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o **podzieleniu przez 5** - uczniowie zapisują \\(5 + x + 1 + 3 + 1 = 3\\) zamiast \\(= 15\\). Zawsze mnóż obie strony przez liczbę składników przed uproszczeniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo błędnie zsumować znane wyrazy. Sprawdź: \\(5 + 1 + 3 + 1 = 10\\), nie \\(9\\) ani \\(11\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla zadań z „nieznanym wyrazem\" zawsze **zweryfikuj wynik** przez podstawienie do oryginalnego wyrażenia - to zajmuje 10 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 5\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb \\(5, x, 1, 3, 1\\) wynosi 3.\n\n\\(\\frac{5 + x + 1 + 3 + 1}{5} = 3\\)\n\\(10 + x = 15\\)\n\\(x = 5\\)\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\frac{5 + 5 + 1 + 3 + 1}{5} = \\frac{15}{5} = 3\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** średnia arytmetyczna \\(\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \\(5, x, 1, 3, 1\\) jest równa \\(3\\). Wtedy</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = 5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej</h4>\n<p>Średnia arytmetyczna pięciu liczb to ich suma podzielona przez liczbę składników.</p>\n<p><strong>Zapisujemy równanie:</strong><br>\\[\\frac{5 + x + 1 + 3 + 1}{5} = 3\\]</p>\n<p><strong>Mnożymy obie strony przez 5:</strong><br>\\[5 + x + 1 + 3 + 1 = 15\\]</p>\n<p><strong>Sumujemy znane wyrazy:</strong><br>\\[10 + x = 15\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(x\\):</strong><br>\\[x = 15 - 10 = \\mathbf{5}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(x = 5\\) średnia rzeczywiście wynosi \\(3\\).</p>\n<p>Pięć liczb: \\(5, 5, 1, 3, 1\\).</p>\n<p>\\[\\bar{a} = \\frac{5 + 5 + 1 + 3 + 1}{5} = \\frac{15}{5} = 3 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - <strong>\\(x = 5\\)</strong> jest poprawne.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - wzór na średnią arytmetyczną:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1, podstawiając znane liczby i niewiadomą \\(x\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zapomnienie o <strong>podzieleniu przez 5</strong> - uczniowie zapisują \\(5 + x + 1 + 3 + 1 = 3\\) zamiast \\(= 15\\). Zawsze mnóż obie strony przez liczbę składników przed uproszczeniem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo błędnie zsumować znane wyrazy. Sprawdź: \\(5 + 1 + 3 + 1 = 10\\), nie \\(9\\) ani \\(11\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla zadań z „nieznanym wyrazem&quot; zawsze <strong>zweryfikuj wynik</strong> przez podstawienie do oryginalnego wyrażenia - to zajmuje 10 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(x = 5\\)</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Średnia arytmetyczna pięciu liczb \\(5, x, 1, 3, 1\\) wynosi 3.</p>\n<p>\\(\\frac{5 + x + 1 + 3 + 1}{5} = 3\\)<br>\\(10 + x = 15\\)<br>\\(x = 5\\)</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(\\frac{5 + 5 + 1 + 3 + 1}{5} = \\frac{15}{5} = 3\\) ✓</p>\n<p><strong>Użyte wzory:</strong> średnia arytmetyczna \\(\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\).</p>"}]}