{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wybieramy liczbę \\(a\\) ze zbioru \\(A=\\{2,3,4,5\\}\\) oraz liczbę \\(b\\) ze zbioru \\(B=\\{1,4\\}\\). Ile jest takich par \\((a,b)\\), że iloczyn \\(a\\cdot b\\) jest liczbą nieparzystą?\n\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 20","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (2 pary)\n\n## Sposób 1 - Warunek nieparzystości iloczynu\n\n**Kluczowa obserwacja:** iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest nieparzysty **wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieparzyste**.\n\nWystarczy jeden parzysty czynnik, żeby cały iloczyn był parzysty.\n\n**Krok 1:** Wypisz liczby nieparzyste w każdym zbiorze.\n\nZe zbioru \\(A = \\{2, 3, 4, 5\\}\\):\n\\[\\text{nieparzyste: } 3, 5 \\quad \\Rightarrow \\quad 2 \\text{ liczby}\\]\n\nZe zbioru \\(B = \\{1, 4\\}\\):\n\\[\\text{nieparzyste: } 1 \\quad \\Rightarrow \\quad 1 \\text{ liczba}\\]\n\n**Krok 2:** Policz pary \\((a, b)\\) z oboma czynnikami nieparzystymi.\n\n\\[\\text{liczba par} = 2 \\times 1 = \\mathbf{2}\\]\n\nKonkretnie:\n- \\((3, 1)\\): \\(3 \\cdot 1 = 3\\) ✓ nieparzyste\n- \\((5, 1)\\): \\(5 \\cdot 1 = 5\\) ✓ nieparzyste\n\n**Odpowiedź: 2 pary.**\n\n## Sposób 2 - Przegląd wszystkich par\n\nWszystkich par \\((a, b)\\) jest \\(4 \\times 2 = 8\\). Sprawdzamy każdą:\n\n| \\(a\\) | \\(b\\) | \\(a \\cdot b\\) | Nieparzyste? |\n| 2 | 1 | 2 | ✗ |\n| 2 | 4 | 8 | ✗ |\n| 3 | 1 | 3 | **✓** |\n| 3 | 4 | 12 | ✗ |\n| 4 | 1 | 4 | ✗ |\n| 4 | 4 | 16 | ✗ |\n| 5 | 1 | 5 | **✓** |\n| 5 | 4 | 20 | ✗ |\n\n**Spełniają warunek: 2 pary.** Wynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarna zasada: **iloczyn jest nieparzysty \\(\\iff\\) oba czynniki są nieparzyste**, oraz podstawowe liczenie (zasada mnożenia z kombinatoryki - Dział 13, s. 28, choć tu wystarczy intuicja).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B (3) | Uczeń liczy nieparzyste elementy w \\(A\\) (są 2) i dodaje 1 z \\(B\\), zamiast mnożyć |\n| C (5) | Uczeń liczy wszystkie nieparzyste elementy obu zbiorów łącznie: \\(3, 5\\) z \\(A\\) i \\(1\\) z \\(B\\), daje 3, albo myli się gdzie indziej |\n| D (20) | Uczeń liczy wszystkie możliwe pary (4 × 5 = 20) - ale \\(B\\) ma tylko 2 elementy, nie 5! |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wystarczy JEDEN parzysty czynnik, żeby iloczyn był parzysty. Nie sprawdzaj sumy, ani żadnej innej własności - tylko parzystość obu czynników jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba 4 w zbiorze \\(B\\) jest parzysta - każda para z \\(b = 4\\) automatycznie odpada, niezależnie od \\(a\\). To eliminuje połowę przypadków od razu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"ile par spełnia warunek\" z \"ile liczb nieparzystych jest w zbiorach\". Odpowiedź to liczba par \\((a, b)\\), a nie liczba elementów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** (2 pary)\n\n**Rozwiązanie:**\n\nWybieramy \\(a \\in \\{2, 3, 4, 5\\}\\) i \\(b \\in \\{1, 4\\}\\).\n\nIloczyn \\(a \\cdot b\\) jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy **oba** czynniki są nieparzyste.\n\nNieparzyste \\(a\\): \\(3, 5\\) - 2 możliwości\nNieparzyste \\(b\\): \\(1\\) - 1 możliwość\n\nLiczba par: \\(2 \\cdot 1 = 2\\)\n\nPary: \\((3, 1)\\) i \\((5, 1)\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- B. 3 - brak trzeciej pary dającej iloczyn nieparzysty\n- C. 5 - to zbyt dużo; pary z \\(b=4\\) zawsze dają iloczyn parzysty\n- D. 20 - to nie liczba par z iloczynem nieparzystym, lecz zapewne błędna interpretacja\n\n**Użyte wzory:** iloczyn jest nieparzysty ⟺ oba czynniki nieparzyste, reguła mnożenia.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Wybieramy liczbę \\(a\\) ze zbioru \\(A=\\{2,3,4,5\\}\\) oraz liczbę \\(b\\) ze zbioru \\(B=\\{1,4\\}\\). Ile jest takich par \\((a,b)\\), że iloczyn \\(a\\cdot b\\) jest liczbą nieparzystą?</p>\n<p>A. 2<br>B. 3<br>C. 5<br>D. 20</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (2 pary)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek nieparzystości iloczynu</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest nieparzysty <strong>wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieparzyste</strong>.</p>\n<p>Wystarczy jeden parzysty czynnik, żeby cały iloczyn był parzysty.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Wypisz liczby nieparzyste w każdym zbiorze.</p>\n<p>Ze zbioru \\(A = \\{2, 3, 4, 5\\}\\):<br>\\[\\text{nieparzyste: } 3, 5 \\quad \\Rightarrow \\quad 2 \\text{ liczby}\\]</p>\n<p>Ze zbioru \\(B = \\{1, 4\\}\\):<br>\\[\\text{nieparzyste: } 1 \\quad \\Rightarrow \\quad 1 \\text{ liczba}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Policz pary \\((a, b)\\) z oboma czynnikami nieparzystymi.</p>\n<p>\\[\\text{liczba par} = 2 \\times 1 = \\mathbf{2}\\]</p>\n<p>Konkretnie:</p>\n<ul><li>\\((3, 1)\\): \\(3 \\cdot 1 = 3\\) ✓ nieparzyste</li><li>\\((5, 1)\\): \\(5 \\cdot 1 = 5\\) ✓ nieparzyste</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź: 2 pary.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przegląd wszystkich par</h4>\n<p>Wszystkich par \\((a, b)\\) jest \\(4 \\times 2 = 8\\). Sprawdzamy każdą:</p>\n<p>| \\(a\\) | \\(b\\) | \\(a \\cdot b\\) | Nieparzyste? |<br>| 2 | 1 | 2 | ✗ |<br>| 2 | 4 | 8 | ✗ |<br>| 3 | 1 | 3 | <strong>✓</strong> |<br>| 3 | 4 | 12 | ✗ |<br>| 4 | 1 | 4 | ✗ |<br>| 4 | 4 | 16 | ✗ |<br>| 5 | 1 | 5 | <strong>✓</strong> |<br>| 5 | 4 | 20 | ✗ |</p>\n<p><strong>Spełniają warunek: 2 pary.</strong> Wynik zgodny ze Sposobem 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarna zasada: <strong>iloczyn jest nieparzysty \\(\\iff\\) oba czynniki są nieparzyste</strong>, oraz podstawowe liczenie (zasada mnożenia z kombinatoryki - Dział 13, s. 28, choć tu wystarczy intuicja).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B (3) | Uczeń liczy nieparzyste elementy w \\(A\\) (są 2) i dodaje 1 z \\(B\\), zamiast mnożyć |<br>| C (5) | Uczeń liczy wszystkie nieparzyste elementy obu zbiorów łącznie: \\(3, 5\\) z \\(A\\) i \\(1\\) z \\(B\\), daje 3, albo myli się gdzie indziej |<br>| D (20) | Uczeń liczy wszystkie możliwe pary (4 × 5 = 20) - ale \\(B\\) ma tylko 2 elementy, nie 5! |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wystarczy JEDEN parzysty czynnik, żeby iloczyn był parzysty. Nie sprawdzaj sumy, ani żadnej innej własności - tylko parzystość obu czynników jednocześnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba 4 w zbiorze \\(B\\) jest parzysta - każda para z \\(b = 4\\) automatycznie odpada, niezależnie od \\(a\\). To eliminuje połowę przypadków od razu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić &quot;ile par spełnia warunek&quot; z &quot;ile liczb nieparzystych jest w zbiorach&quot;. Odpowiedź to liczba par \\((a, b)\\), a nie liczba elementów.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> (2 pary)</p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Wybieramy \\(a \\in \\{2, 3, 4, 5\\}\\) i \\(b \\in \\{1, 4\\}\\).</p>\n<p>Iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>oba</strong> czynniki są nieparzyste.</p>\n<p>Nieparzyste \\(a\\): \\(3, 5\\) - 2 możliwości<br>Nieparzyste \\(b\\): \\(1\\) - 1 możliwość</p>\n<p>Liczba par: \\(2 \\cdot 1 = 2\\)</p>\n<p>Pary: \\((3, 1)\\) i \\((5, 1)\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>B. 3 - brak trzeciej pary dającej iloczyn nieparzysty</li><li>C. 5 - to zbyt dużo; pary z \\(b=4\\) zawsze dają iloczyn parzysty</li><li>D. 20 - to nie liczba par z iloczynem nieparzystym, lecz zapewne błędna interpretacja</li></ul>\n<p><strong>Użyte wzory:</strong> iloczyn jest nieparzysty ⟺ oba czynniki nieparzyste, reguła mnożenia.</p>"}]}