{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rozwiąż nierówność \\(x^{2}-3x+2\\leq 0\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle 1, 2 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Miejsca zerowe i analiza znaku paraboli\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 - 1}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 + 1}{2} = 2\\]\n\n**Krok 2: Określ kierunek ramion paraboli.**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (∪).\n\n**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nSzukamy, dla jakich \\(x\\) parabola jest **poniżej lub na poziomie osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)).\n\nParabola z ramionami w górę jest niżej od osi \\(OX\\) **między** miejscami zerowymi:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle 1, 2 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\n**Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki.**\n\nSzukamy dwóch liczb, które dają **sumę \\(-3\\)** (współczynnik przy \\(x\\)) i **iloczyn \\(2\\)** (wyraz wolny).\n\nTakie liczby to \\(-1\\) i \\(-2\\), bo:\n\\[(-1) + (-2) = -3, \\qquad (-1) \\cdot (-2) = 2\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\]\n\n**Krok 2: Rozwiąż nierówność.**\n\nNierówność \\((x-1)(x-2) \\leq 0\\) jest spełniona, gdy czynniki mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem).\n\nAnaliza znaku iloczynu:\n\n| Przedział | \\((x-1)\\) | \\((x-2)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(1 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 2\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle 1, 2 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nWyróżnik i wzory na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia punktów \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nPostać iloczynowa (użyta w Sposobie 2):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\n> **Uwaga praktyczna z karty:** Karta wzorów podaje wprost, że dla \\(a > 0\\) parabola jest skierowana ramionami w górę - wystarczy to zapamiętać i od razu wiedzieć, gdzie \\(f(x) \\leq 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli z ramionami w górę (\\(a > 0\\)) wyrażenie jest ujemne **między** miejscami zerowymi. Najczęstszy błąd to odwrócenie odpowiedzi - podanie \\(x \\leq 1\\) lub \\(x \\geq 2\\) (co byłoby odpowiedzią dla \\(\\geq 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **niestruktura** (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)), więc końce przedziału **wchodzą** do rozwiązania - używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\). Pominięcie równości to klasyczny błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy faktoryzacji sprawdź rachunek: \\((x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2\\) ✓. Zawsze warto zweryfikować rozkład przed podstawieniem do tabeli znaków.\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in [1, 2]\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(x^2 - 3x + 2 \\leq 0\\)\n\n**Krok 1:** Rozkładamy trójmian na iloczyn:\n\\(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\)\n\n**Krok 2:** Rozwiązujemy nierówność \\((x-1)(x-2) \\leq 0\\).\n\nMiejsca zerowe: \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc parabola jest skierowana ramionami do góry.\n\nTrójmian jest niedodatni między pierwiastkami:\n\\(x \\in [1, 2]\\)\n\n**Użyte wzory:** postać iloczynowa trójmianu kwadratowego, wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rozwiąż nierówność \\(x^{2}-3x+2\\leq 0\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle 1, 2 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Miejsca zerowe i analiza znaku paraboli

\n

Krok 1: Znajdź miejsca zerowe trójmianu.

\n

Rozwiązujemy równanie \\(x^2 - 3x + 2 = 0\\).

\n

Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 - 1}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{3 + 1}{2} = 2\\]

\n

Krok 2: Określ kierunek ramion paraboli.

\n

Współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę (∪).

\n

Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności.

\n

Szukamy, dla jakich \\(x\\) parabola jest poniżej lub na poziomie osi \\(OX\\) (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)).

\n

Parabola z ramionami w górę jest niżej od osi \\(OX\\) między miejscami zerowymi:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\langle 1, 2 \\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)

\n

Krok 1: Rozłóż trójmian na czynniki.

\n

Szukamy dwóch liczb, które dają sumę \\(-3\\) (współczynnik przy \\(x\\)) i iloczyn \\(2\\) (wyraz wolny).

\n

Takie liczby to \\(-1\\) i \\(-2\\), bo:
\\[(-1) + (-2) = -3, \\qquad (-1) \\cdot (-2) = 2\\]

\n

Zatem:
\\[x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\]

\n

Krok 2: Rozwiąż nierówność.

\n

Nierówność \\((x-1)(x-2) \\leq 0\\) jest spełniona, gdy czynniki mają przeciwne znaki (lub jeden z nich jest zerem).

\n

Analiza znaku iloczynu:

\n

| Przedział | \\((x-1)\\) | \\((x-2)\\) | Iloczyn |
| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |
| \\(1 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x = 2\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle 1, 2 \\rangle\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):

\n

Wyróżnik i wzory na miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia punktów \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).

\n

Postać iloczynowa (użyta w Sposobie 2):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]

\n
Uwaga praktyczna z karty: Karta wzorów podaje wprost, że dla \\(a > 0\\) parabola jest skierowana ramionami w górę - wystarczy to zapamiętać i od razu wiedzieć, gdzie \\(f(x) \\leq 0\\).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dla paraboli z ramionami w górę (\\(a > 0\\)) wyrażenie jest ujemne między miejscami zerowymi. Najczęstszy błąd to odwrócenie odpowiedzi - podanie \\(x \\leq 1\\) lub \\(x \\geq 2\\) (co byłoby odpowiedzią dla \\(\\geq 0\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest niestruktura (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)), więc końce przedziału wchodzą do rozwiązania - używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle 1, 2 \\rangle\\). Pominięcie równości to klasyczny błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Przy faktoryzacji sprawdź rachunek: \\((x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2\\) ✓. Zawsze warto zweryfikować rozkład przed podstawieniem do tabeli znaków.
\n

Odpowiedź: \\(x \\in [1, 2]\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

\\(x^2 - 3x + 2 \\leq 0\\)

\n

Krok 1: Rozkładamy trójmian na iloczyn:
\\(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\\)

\n

Krok 2: Rozwiązujemy nierówność \\((x-1)(x-2) \\leq 0\\).

\n

Miejsca zerowe: \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 2\\).

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc parabola jest skierowana ramionami do góry.

\n

Trójmian jest niedodatni między pierwiastkami:
\\(x \\in [1, 2]\\)

\n

Użyte wzory: postać iloczynowa trójmianu kwadratowego, wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).

"}]}