{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rozwiąż równanie \\(x^{3}-7x^{2}+2x-14=0\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\) lub \\(x = i\\sqrt{2}\\) lub \\(x = -i\\sqrt{2}\\)\n\n*(W zbiorze liczb rzeczywistych: jedyne rozwiązanie to \\(x = 7\\).)*\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nZauważamy, że wielomian \\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14\\) można **zgrupować** tak, żeby wyłączyć wspólny czynnik:\n\n\\[x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = 0\\]\n\nGrupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:\n\n\\[(x^3 - 7x^2) + (2x - 14) = 0\\]\n\nZ każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik:\n\n\\[x^2(x - 7) + 2(x - 7) = 0\\]\n\nTeraz \\((x - 7)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników - wyłączamy go:\n\n\\[(x - 7)(x^2 + 2) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x - 7 = 0 \\implies \\boxed{x = 7}\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[x^2 + 2 = 0 \\implies x^2 = -2\\]\n\nTo równanie **nie ma rozwiązań rzeczywistych**, bo \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc \\(x^2 = -2\\) jest niemożliwe.\n\n**Odpowiedź:** Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \\(x = 7\\).\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie pierwiastka wymiernego (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych) + weryfikacja\n\n**Szukamy pierwiastka wymiernego.** Jeśli wielomian \\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14\\) ma pierwiastek całkowity, to musi on być **dzielnikiem wyrazu wolnego** \\((-14)\\).\n\nDzielniki liczby \\(14\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 7, \\pm 14\\).\n\nSprawdzamy \\(x = 7\\):\n\n\\[7^3 - 7 \\cdot 7^2 + 2 \\cdot 7 - 14 = 343 - 343 + 14 - 14 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem \\(x = 7\\) jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez \\((x-7)\\) - schemat Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-7\\) | \\(2\\) | \\(-14\\) |\n| \\(x=7\\) | \\(1\\) | \\(1\\cdot7-7=0\\) | \\(0\\cdot7+2=2\\) | \\(2\\cdot7-14=0\\) |\n\nWynik dzielenia: \\(x^2 + 0x + 2 = x^2 + 2\\).\n\nZatem:\n\\[x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = (x-7)(x^2+2)\\]\n\nDalej - jak w Sposobie 1. Drugi czynnik \\(x^2 + 2 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc nie daje nowych pierwiastków.\n\n**Weryfikacja** - podstawiamy \\(x = 7\\) do oryginalnego równania:\n\\[7^3 - 7 \\cdot 7^2 + 2 \\cdot 7 - 14 = 343 - 343 + 14 - 14 = \\mathbf{0} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- umiejętność **wyłączania wspólnego czynnika** przed nawias (podstawowa algebra),\n- znajomość faktu, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (definicja potęgi, s. 4-5, Dział 2).\n\nEwentualnie przydaje się wzór skróconego mnożenia z **Działu 6 (s. 7)**, choć tu nie jest niezbędny.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj od razu \"na ślepo\" stosować wzoru Cardano ani innych metod dla równań 3. stopnia - najpierw **zawsze szukaj grupowania lub oczywistego pierwiastka**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 + 2 = 0\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych!** Częsty błąd to napisanie \\(x = \\sqrt{-2}\\) lub \\(x = \\pm\\sqrt{2}\\) (pomylenie znaku). Pamiętaj: \\(x^2 = -2\\) jest sprzeczne w \\(\\mathbb{R}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu kluczowe jest właściwe dobranie par wyrazów. Jeśli pierwsze grupowanie nie wychodzi, spróbuj inaczej - tu \\((x^3 + 2x) + (-7x^2 - 14)\\) też działa: \\(x(x^2+2) - 7(x^2+2) = (x-7)(x^2+2)\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x = 7\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = 0\\)\n\n**Krok 1:** Grupujemy wyrazy:\n\\(x^2(x - 7) + 2(x - 7) = 0\\)\n\n**Krok 2:** Wyciągamy wspólny czynnik:\n\\((x^2 + 2)(x - 7) = 0\\)\n\n**Krok 3:** Rozwiązujemy:\n- \\(x - 7 = 0 \\Rightarrow x = 7\\)\n- \\(x^2 + 2 = 0 \\Rightarrow x^2 = -2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (bo \\(x^2 \\geq 0 > -2\\))\n\nJedyne rozwiązanie: \\(x = 7\\).\n\n**Użyte wzory:** grupowanie wyrazów, rozkład na czynniki.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Rozwiąż równanie \\(x^{3}-7x^{2}+2x-14=0\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 7\\) lub \\(x = i\\sqrt{2}\\) lub \\(x = -i\\sqrt{2}\\)

\n

(W zbiorze liczb rzeczywistych: jedyne rozwiązanie to \\(x = 7\\).)

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

\n

Zauważamy, że wielomian \\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14\\) można zgrupować tak, żeby wyłączyć wspólny czynnik:

\n

\\[x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = 0\\]

\n

Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:

\n

\\[(x^3 - 7x^2) + (2x - 14) = 0\\]

\n

Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik:

\n

\\[x^2(x - 7) + 2(x - 7) = 0\\]

\n

Teraz \\((x - 7)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników - wyłączamy go:

\n

\\[(x - 7)(x^2 + 2) = 0\\]

\n

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:

\n

Czynnik 1:
\\[x - 7 = 0 \\implies \\boxed{x = 7}\\]

\n

Czynnik 2:
\\[x^2 + 2 = 0 \\implies x^2 = -2\\]

\n

To równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc \\(x^2 = -2\\) jest niemożliwe.

\n

Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \\(x = 7\\).

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie pierwiastka wymiernego (twierdzenie o pierwiastkach wymiernych) + weryfikacja

\n

Szukamy pierwiastka wymiernego. Jeśli wielomian \\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14\\) ma pierwiastek całkowity, to musi on być dzielnikiem wyrazu wolnego \\((-14)\\).

\n

Dzielniki liczby \\(14\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 7, \\pm 14\\).

\n

Sprawdzamy \\(x = 7\\):

\n

\\[7^3 - 7 \\cdot 7^2 + 2 \\cdot 7 - 14 = 343 - 343 + 14 - 14 = 0 \\checkmark\\]

\n

Zatem \\(x = 7\\) jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez \\((x-7)\\) - schemat Hornera:

\n

| | \\(1\\) | \\(-7\\) | \\(2\\) | \\(-14\\) |
| \\(x=7\\) | \\(1\\) | \\(1\\cdot7-7=0\\) | \\(0\\cdot7+2=2\\) | \\(2\\cdot7-14=0\\) |

\n

Wynik dzielenia: \\(x^2 + 0x + 2 = x^2 + 2\\).

\n

Zatem:
\\[x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = (x-7)(x^2+2)\\]

\n

Dalej - jak w Sposobie 1. Drugi czynnik \\(x^2 + 2 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\), więc nie daje nowych pierwiastków.

\n

Weryfikacja - podstawiamy \\(x = 7\\) do oryginalnego równania:
\\[7^3 - 7 \\cdot 7^2 + 2 \\cdot 7 - 14 = 343 - 343 + 14 - 14 = \\mathbf{0} \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:

\n\n

Ewentualnie przydaje się wzór skróconego mnożenia z Działu 6 (s. 7), choć tu nie jest niezbędny.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj od razu "na ślepo" stosować wzoru Cardano ani innych metod dla równań 3. stopnia - najpierw zawsze szukaj grupowania lub oczywistego pierwiastka.
\n
⚠️ Uwaga: \\(x^2 + 2 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych! Częsty błąd to napisanie \\(x = \\sqrt{-2}\\) lub \\(x = \\pm\\sqrt{2}\\) (pomylenie znaku). Pamiętaj: \\(x^2 = -2\\) jest sprzeczne w \\(\\mathbb{R}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu kluczowe jest właściwe dobranie par wyrazów. Jeśli pierwsze grupowanie nie wychodzi, spróbuj inaczej - tu \\((x^3 + 2x) + (-7x^2 - 14)\\) też działa: \\(x(x^2+2) - 7(x^2+2) = (x-7)(x^2+2)\\).
\n

Odpowiedź: \\(x = 7\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

\\(x^3 - 7x^2 + 2x - 14 = 0\\)

\n

Krok 1: Grupujemy wyrazy:
\\(x^2(x - 7) + 2(x - 7) = 0\\)

\n

Krok 2: Wyciągamy wspólny czynnik:
\\((x^2 + 2)(x - 7) = 0\\)

\n

Krok 3: Rozwiązujemy:

\n\n

Jedyne rozwiązanie: \\(x = 7\\).

\n

Użyte wzory: grupowanie wyrazów, rozkład na czynniki.

"}]}