W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \\(A=(2,5)\\) i \\(C=(6,7)\\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \\(ABCD\\). Wyznacz równanie prostej \\(BD\\).
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"(równoważnie: \\(2x + y - 14 = 0\\))
\nKluczowe własności kwadratu:
\n\\[M = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\frac{2+6}{2},\\ \\frac{5+7}{2}\\right) = (4,\\ 6)\\]
\nProsta \\(BD\\) przechodzi przez punkt \\(M = (4, 6)\\).
\n\\[a_{AC} = \\frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \\frac{7 - 5}{6 - 2} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]
\nProste prostopadłe spełniają: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc:
\\[a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = -2\\]
Prosta przez punkt \\((4, 6)\\) o nachyleniu \\(-2\\):
\\[y - 6 = -2(x - 4)\\]
\\[y - 6 = -2x + 8\\]
\\[\\boxed{y = -2x + 14}\\]
Sprawdźmy, czy wyznaczona prosta ma sens - znajdziemy B i D explicite.
\nPunkt B i D leżą na prostej \\(y = -2x + 14\\) oraz w równej odległości od środka \\(M=(4,6)\\).
\nNiech \\(B = (t,\\ -2t + 14)\\). Przekątna AC ma długość:
\\[|AC| = \\sqrt{(6-2)^2 + (7-5)^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]
W kwadracie obie przekątne mają tę samą długość, więc \\(|BM| = \\frac{|AC|}{2} = \\sqrt{5}\\).
\n\\[|BM|^2 = (t-4)^2 + (-2t+14-6)^2 = (t-4)^2 + (-2t+8)^2 = (t-4)^2 + 4(t-4)^2 = 5(t-4)^2\\]
\n\\[5(t-4)^2 = 5 \\implies (t-4)^2 = 1 \\implies t = 3 \\text{ lub } t = 5\\]
\nZatem \\(B = (3,\\ 8)\\) i \\(D = (5,\\ 4)\\).
\nSprawdzenie: Środek \\(BD\\) = \\(\\left(\\frac{3+5}{2}, \\frac{8+4}{2}\\right) = (4, 6) = M\\) ✓
\nOba punkty leżą na prostej \\(y = -2x + 14\\) ✓ Wynik potwierdzony.
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\nŚrodek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia środka przekątnej AC.
Współczynnik kierunkowy (pochylenie prostej):
\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]
Użyliśmy do obliczenia nachylenia AC.
Warunek prostopadłości prostych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy do wyznaczenia współczynnika prostej BD.
Równanie kierunkowe prostej przez punkt \\((x_0, y_0)\\):
\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]
Użyliśmy w kroku 4.
⚠️ Uwaga: Nie mylić - prosta BD nie przechodzi przez \\(A\\) ani \\(C\\), tylko przez środek odcinka \\(AC\\). Środek wyznaczamy ze wzoru na środek odcinka, nie z innego miejsca.\n
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), czyli nachylenie prostej prostopadłej to odwrotność ze zmienionym znakiem. Częsty błąd: uczniowie biorą samo \\(-a\\) zamiast \\(-\\frac{1}{a}\\).\n
⚠️ Uwaga: To zadanie otwarte - na maturze trzeba zapisać pełny tok rozumowania z uzasadnieniem własności kwadratu (prostopadłość i równa długość przekątnych). Sam wynik bez uzasadnienia może nie przynieść pełnej liczby punktów.\n
Odpowiedź: \\(y = -2x + 14\\)
\nRozwiązanie:
\nPunkty \\(A = (2, 5)\\) i \\(C = (6, 7)\\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \\(ABCD\\).
\nKrok 1: Przekątne kwadratu przecinają się w swoim środku i są do siebie prostopadłe.
\nŚrodek \\(AC\\):
\\(S = \\left(\\frac{2+6}{2},\\, \\frac{5+7}{2}\\right) = (4, 6)\\)
Krok 2: Współczynnik kierunkowy \\(AC\\):
\\(a_{AC} = \\frac{7-5}{6-2} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\)
Krok 3: Prosta \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\) i przechodzi przez \\(S\\):
\\(a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -2\\)
\\(y - 6 = -2(x - 4)\\)
\\(y = -2x + 8 + 6\\)
\\(y = -2x + 14\\)
Użyte wzory: środek odcinka, warunek prostopadłości prostych \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), równanie prostej przez punkt o danym współczynniku kierunkowym.
"}]}