{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{4}{3}\\). Oblicz \\(\\sin\\alpha+\\cos\\alpha\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie przez zmienną pomocniczą\n\n**Pomysł:** Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), możemy zapisać \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) jako proporcjonalne do \\(4\\) i \\(3\\), a potem skorzystać z jedynki trygonometrycznej, żeby wyznaczyć współczynnik.\n\n**Krok 1.** Niech \\(\\sin\\alpha = 4k\\) oraz \\(\\cos\\alpha = 3k\\) dla pewnego \\(k > 0\\) (kąt ostry, obie funkcje dodatnie).\n\nSprawdzamy, że stosunek się zgadza:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4k}{3k} = \\frac{4}{3} \\checkmark\\]\n\n**Krok 2.** Stosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[(4k)^2 + (3k)^2 = 1\\]\n\\[16k^2 + 9k^2 = 1\\]\n\\[25k^2 = 1\\]\n\\[k^2 = \\frac{1}{25} \\implies k = \\frac{1}{5}\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy wartości:\n\\[\\sin\\alpha = 4k = \\frac{4}{5}, \\qquad \\cos\\alpha = 3k = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Krok 4.** Obliczamy szukane wyrażenie:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\boxed{\\frac{7}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)\n\n**Krok 1.** Ze wzoru na jedynkę trygonometryczną dzielimy obie strony przez \\(\\cos^2\\alpha\\):\n\\[\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\):\n\\[\\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\frac{16}{9} + \\frac{9}{9} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\frac{25}{9} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\n**Krok 2.** Stąd:\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{9}{25} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\]\n(bo kąt ostry → \\(\\cos\\alpha > 0\\))\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{4}{5}\\]\n\n**Krok 4.** Wynik:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 (wyznaczenie \\(k\\)) i jako punkt wyjścia Sposobu 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w obu sposobach - to fundament całego zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu \\(\\sin\\alpha = 4\\) i \\(\\cos\\alpha = 3\\) - to nie są prawdziwe wartości (sinus i cosinus zawsze należą do \\(\\langle{-1, 1}\\rangle\\)). Trzeba napisać \\(4k\\) i \\(3k\\), a potem wyznaczyć \\(k\\) z jedynki trygonometrycznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy kąt jest ostry, **wszystkie** funkcje trygonometryczne są dodatnie. Gdybyś zapomniał tego warunku i wziął \\(k = -\\dfrac{1}{5}\\), dostałbyś \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = -\\dfrac{7}{5}\\) - błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\dfrac{4}{5} + \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{7}{5}\\), a nie \\(\\dfrac{7}{10}\\). Ułamki o tym samym mianowniku dodajemy, **nie** mnożąc mianowników.\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{7}{5}\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{3}\\), kąt \\(\\alpha\\) ostry.\n\n**Krok 1:** Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{4}{3}\\)\n\nPrzyjmujemy przyprostokątne \\(a = 4\\), \\(b = 3\\).\n\nPrzeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{25} = 5\\)\n\n**Krok 2:** Obliczamy funkcje trygonometryczne:\n\\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\)\n\n**Krok 3:**\n\\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\)\n\n**Użyte wzory:** definicje \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\), \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\), twierdzenie Pitagorasa.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{4}{3}\\). Oblicz \\(\\sin\\alpha+\\cos\\alpha\\).</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie przez zmienną pomocniczą</h4>\n<p><strong>Pomysł:</strong> Skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3} = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), możemy zapisać \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) jako proporcjonalne do \\(4\\) i \\(3\\), a potem skorzystać z jedynki trygonometrycznej, żeby wyznaczyć współczynnik.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Niech \\(\\sin\\alpha = 4k\\) oraz \\(\\cos\\alpha = 3k\\) dla pewnego \\(k &gt; 0\\) (kąt ostry, obie funkcje dodatnie).</p>\n<p>Sprawdzamy, że stosunek się zgadza:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4k}{3k} = \\frac{4}{3} \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Stosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):<br>\\[(4k)^2 + (3k)^2 = 1\\]<br>\\[16k^2 + 9k^2 = 1\\]<br>\\[25k^2 = 1\\]<br>\\[k^2 = \\frac{1}{25} \\implies k = \\frac{1}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wyznaczamy wartości:<br>\\[\\sin\\alpha = 4k = \\frac{4}{5}, \\qquad \\cos\\alpha = 3k = \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Obliczamy szukane wyrażenie:<br>\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\boxed{\\frac{7}{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Ze wzoru na jedynkę trygonometryczną dzielimy obie strony przez \\(\\cos^2\\alpha\\):<br>\\[\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\):<br>\\[\\left(\\frac{4}{3}\\right)^2 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[\\frac{16}{9} + \\frac{9}{9} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]<br>\\[\\frac{25}{9} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Stąd:<br>\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{9}{25} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\]<br>(bo kąt ostry → \\(\\cos\\alpha &gt; 0\\))</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{4}{3} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{4}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Wynik:<br>\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Sposobie 1 (wyznaczenie \\(k\\)) i jako punkt wyjścia Sposobu 2.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Użyta w obu sposobach - to fundament całego zadania.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zakładaj od razu \\(\\sin\\alpha = 4\\) i \\(\\cos\\alpha = 3\\) - to nie są prawdziwe wartości (sinus i cosinus zawsze należą do \\(\\langle{-1, 1}\\rangle\\)). Trzeba napisać \\(4k\\) i \\(3k\\), a potem wyznaczyć \\(k\\) z jedynki trygonometrycznej.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy kąt jest ostry, <strong>wszystkie</strong> funkcje trygonometryczne są dodatnie. Gdybyś zapomniał tego warunku i wziął \\(k = -\\dfrac{1}{5}\\), dostałbyś \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = -\\dfrac{7}{5}\\) - błędny wynik.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\dfrac{4}{5} + \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{7}{5}\\), a nie \\(\\dfrac{7}{10}\\). Ułamki o tym samym mianowniku dodajemy, <strong>nie</strong> mnożąc mianowników.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{7}{5}\\)</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Dane: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{3}\\), kąt \\(\\alpha\\) ostry.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym:<br>\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{4}{3}\\)</p>\n<p>Przyjmujemy przyprostokątne \\(a = 4\\), \\(b = 3\\).</p>\n<p>Przeciwprostokątna: \\(c = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{25} = 5\\)</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Obliczamy funkcje trygonometryczne:<br>\\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\), \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{5}\\)</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong><br>\\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{4}{5} + \\frac{3}{5} = \\frac{7}{5}\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory:</strong> definicje \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\), \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\), twierdzenie Pitagorasa.</p>"}]}