{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (5 pkt)\nWykres funkcji f danej wzorem\n( )\n2\n2\nf x\nx\nprzesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki\nw prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g .\na) Rozwiąż nierówność\n( )\n5\n3\nf x\nx\n<\nb) Podaj zbiór wartości funkcji g .\nc) Funkcja g określona jest wzorem ( )\n2\n2\ng x\nx\nbx\nc\n+ . Oblicz b i c.\n\nPoziom podstawowy\n5\nNr zadania\n3.1\n3.2\n3.3\n3.4\n3.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie z matury 2009 z matematyki. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)=-2x^2 przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g. a) Rozwiąż nierówność f(x)+5<3x. b) Podaj zbiór wartości funkcji g. c) Funkcja g określona jest wzorem g(x)=-2x^2+bx+c. Oblicz b i c.","answer":null,"answer_text":"π\nr\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)\\)\n\n**b)** \\(Z_g = \\left(-\\infty, 8\\right\\rangle\\)\n\n**c)** \\(b = 12\\), \\(c = -10\\)\n\n## Sposób 1 - algebraicznie, krok po kroku\n\n### Część a) - nierówność \\(f(x) + 5 < 3x\\)\n\nPodstawiamy \\(f(x) = -2x^2\\):\n\\[-2x^2 + 5 < 3x\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[-2x^2 - 3x + 5 < 0\\]\n\nMnożymy przez \\(-1\\) - **uwaga: odwracamy znak nierówności!**\n\\[2x^2 + 3x - 5 > 0\\]\n\nWyznaczamy deltę i pierwiastki trójmianu:\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\\[x_1 = \\frac{-3 - 7}{4} = \\frac{-10}{4} = -\\frac{5}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + 7}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\]\n\nTrójmian \\(2x^2 + 3x - 5\\) ma ramiona skierowane **w górę** (\\(a = 2 > 0\\)), więc jest dodatni **poza** pierwiastkami:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{5}{2}\\right) \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]\n\n### Część b) - zbiór wartości funkcji \\(g\\)\n\nPrzesunięcie wykresu \\(f(x) = -2x^2\\):\n- o 3 jednostki **w prawo** → zamieniamy \\(x\\) na \\(x - 3\\)\n- o 8 jednostek **w górę** → dodajemy 8\n\nZatem:\n\\[g(x) = f(x-3) + 8 = -2(x-3)^2 + 8\\]\n\nJest to parabola w postaci kanonicznej \\(g(x) = a(x-p)^2 + q\\) z wierzchołkiem \\(W = (3,\\ 8)\\) i \\(a = -2 < 0\\) (ramiona skierowane **w dół**).\n\nStąd: wartość maksymalna to \\(g(3) = 8\\), a funkcja maleje do \\(-\\infty\\).\n\n\\[\\boxed{Z_g = \\left(-\\infty,\\ 8\\right\\rangle}\\]\n\n(8 jest osiągane w punkcie \\(x = 3\\), więc przedział domknięty od góry.)\n\n### Część c) - wyznaczenie \\(b\\) i \\(c\\)\n\nRozwijamy postać kanoniczną \\(g(x) = -2(x-3)^2 + 8\\):\n\\[g(x) = -2(x^2 - 6x + 9) + 8 = -2x^2 + 12x - 18 + 8 = -2x^2 + 12x - 10\\]\n\nPorównując z \\(g(x) = -2x^2 + bx + c\\):\n\n\\[\\boxed{b = 12, \\qquad c = -10}\\]\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki (część a) i weryfikacja przez punkty (część c)\n\n### Część a) - rozkład bez delty\n\nNierówność po przeniesieniu:\n\\[-(2x^2 + 3x - 5) < 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad (2x^2 + 3x - 5) > 0\\]\n\nPróbujemy rozłożyć \\(2x^2 + 3x - 5\\) na czynniki (szukamy liczb tak, by iloczyn = \\(2 \\cdot (-5) = -10\\), suma = \\(3\\)):\n\\[2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1)\\]\n\nSprawdzenie: \\((2x+5)(x-1) = 2x^2 - 2x + 5x - 5 = 2x^2 + 3x - 5\\) ✓\n\nTabela znaków iloczynu \\((2x+5)(x-1) > 0\\):\n\n| \\(x\\) | \\(\\left(-\\infty,\\ -\\tfrac{5}{2}\\right)\\) | \\(-\\tfrac{5}{2}\\) | \\(\\left(-\\tfrac{5}{2},\\ 1\\right)\\) | \\(1\\) | \\((1,\\ +\\infty)\\) |\n| \\(2x+5\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| \\(x-1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) |\n| iloczyn | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn \\(> 0\\) dla \\(x < -\\tfrac{5}{2}\\) lub \\(x > 1\\) ✓\n\n### Część c) - weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nMamy \\(g(x) = -2(x-3)^2 + 8\\). Podstawiamy dwa łatwe punkty:\n\n**Punkt \\(x = 0\\):**\n\\[g(0) = -2(0-3)^2 + 8 = -2 \\cdot 9 + 8 = -10\\]\nZ wzoru ogólnego: \\(g(0) = c\\), więc \\(c = -10\\) ✓\n\n**Punkt \\(x = 1\\):**\n\\[g(1) = -2(1-3)^2 + 8 = -2 \\cdot 4 + 8 = 0\\]\nZ wzoru ogólnego: \\(g(1) = -2 + b + c = -2 + b - 10 = b - 12\\)\n\nStąd: \\(b - 12 = 0\\), czyli \\(b = 12\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p,\\ q)\\]\nKluczowe w części b) - po przesunięciu \\(g\\) jest już w postaci kanonicznej, z której wprost odczytujemy wierzchołek \\(W = (3, 8)\\) i kierunek ramion.\n\n**Dział 7 - wyróżnik i miejsca zerowe:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w części a) do znalezienia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 + 3x - 5\\).\n\n**Dział 7 - wierzchołek a zbiór wartości:**\nDla \\(a < 0\\) parabola ma **maksimum** w wierzchołku: \\(q = -\\tfrac{\\Delta}{4a}\\). Stąd bezpośrednio \\(Z_g = (-\\infty, q\\rangle\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie nierówności przez \\(-1\\) **odwraca znak**! \\(-2x^2 - 3x + 5 < 0\\) staje się \\(2x^2 + 3x - 5 > 0\\). To najczęstszy błąd w części a) - uczniowie zapominają o zmianie kierunku nierówności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o 3 **w prawo** to \\(f(x - 3)\\), a NIE \\(f(x + 3)\\)! Intuicja mówi \"+3\", ale w nawiasie piszemy \"\\(-3\\)\". Reguła: przesunięcie w prawo o \\(k\\) → \\(f(x - k)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości \\(\\left(-\\infty, 8\\right\\rangle\\) to przedział **domknięty od góry** - wartość 8 jest osiągana (w wierzchołku). Nie pisz \\((-\\infty, 8)\\) z nawiasem okrągłym, bo to sugerowałoby, że 8 nie należy do zbioru wartości.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty)\\); b) \\((-\\infty, 8\\rangle\\); c) \\(b = 12\\), \\(c = -10\\).\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku\n**a) Nierówność \\(f(x) + 5 < 3x\\):**\n\\[-2x^{2} + 5 < 3x\\]\n\\[-2x^{2} - 3x + 5 < 0 \\quad |\\cdot(-1)\\]\n\\[2x^{2} + 3x - 5 > 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 9 + 40 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\):\n\\[x_1 = \\dfrac{-3 - 7}{4} = -\\dfrac{10}{4} = -\\dfrac{5}{2}, \\quad x_2 = \\dfrac{-3 + 7}{4} = 1.\\]\n\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\) (ramiona w górę), więc nierówność \\(> 0\\) jest spełniona na zewnątrz pierwiastków:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty).\\]\n\n**b) Zbiór wartości \\(g\\):**\nWykres \\(f(x) = -2x^{2}\\) ma wierzchołek w \\((0, 0)\\) i ramiona skierowane w dół. Zbiór wartości \\(f\\): \\((-\\infty, 0\\rangle\\).\n\nPo przesunięciu o \\(3\\) w prawo (\\(Ox\\)) i o \\(8\\) w górę (\\(Oy\\)): wierzchołek przesuwa się do \\((3, 8)\\), ramiona nadal w dół. Zbiór wartości \\(g\\):\n\\[Z_g = (-\\infty, 8\\rangle.\\]\n\n**c) Obliczenie \\(b\\) i \\(c\\):**\n\\[g(x) = -2(x - 3)^{2} + 8 = -2(x^{2} - 6x + 9) + 8 = -2x^{2} + 12x - 18 + 8 = -2x^{2} + 12x - 10.\\]\n\nPorównując z \\(g(x) = -2x^{2} + bx + c\\):\n\\[b = 12, \\quad c = -10.\\]\n\n### Weryfikacja\nWierzchołek: \\(x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{12}{-4} = 3\\) ✓; \\(g(3) = -18 + 36 - 10 = 8\\) ✓.\n\n### Komentarz\nPrzesunięcie wykresu funkcji \\(y = f(x)\\) o \\(p\\) jednostek w prawo i \\(q\\) jednostek w górę daje \\(y = f(x - p) + q\\). Stąd \\(g(x) = f(x - 3) + 8\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (5 pkt)
Wykres funkcji f danej wzorem
( )
2
2
f x
x
przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki
w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g .
a) Rozwiąż nierówność
( )
5
3
f x
x
<
b) Podaj zbiór wartości funkcji g .
c) Funkcja g określona jest wzorem ( )
2
2
g x
x
bx
c

\n\n

Poziom podstawowy
5
Nr zadania
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
6
Zadanie z matury 2009 z matematyki. Wykres funkcji f danej wzorem f(x)=-2x^2 przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji g. a) Rozwiąż nierówność f(x)+5<3x. b) Podaj zbiór wartości funkcji g. c) Funkcja g określona jest wzorem g(x)=-2x^2+bx+c. Oblicz b i c.

","answer_text_html":"

π
r
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)\\)

\n

b) \\(Z_g = \\left(-\\infty, 8\\right\\rangle\\)

\n

c) \\(b = 12\\), \\(c = -10\\)

\n

Sposób 1 - algebraicznie, krok po kroku

\n
Część a) - nierówność \\(f(x) + 5 < 3x\\)
\n

Podstawiamy \\(f(x) = -2x^2\\):
\\[-2x^2 + 5 < 3x\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\[-2x^2 - 3x + 5 < 0\\]

\n

Mnożymy przez \\(-1\\) - uwaga: odwracamy znak nierówności!
\\[2x^2 + 3x - 5 > 0\\]

\n

Wyznaczamy deltę i pierwiastki trójmianu:
\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 7\\]
\\[x_1 = \\frac{-3 - 7}{4} = \\frac{-10}{4} = -\\frac{5}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + 7}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\]

\n

Trójmian \\(2x^2 + 3x - 5\\) ma ramiona skierowane w górę (\\(a = 2 > 0\\)), więc jest dodatni poza pierwiastkami:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{5}{2}\\right) \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]

\n
Część b) - zbiór wartości funkcji \\(g\\)
\n

Przesunięcie wykresu \\(f(x) = -2x^2\\):

\n\n

Zatem:
\\[g(x) = f(x-3) + 8 = -2(x-3)^2 + 8\\]

\n

Jest to parabola w postaci kanonicznej \\(g(x) = a(x-p)^2 + q\\) z wierzchołkiem \\(W = (3,\\ 8)\\) i \\(a = -2 < 0\\) (ramiona skierowane w dół).

\n

Stąd: wartość maksymalna to \\(g(3) = 8\\), a funkcja maleje do \\(-\\infty\\).

\n

\\[\\boxed{Z_g = \\left(-\\infty,\\ 8\\right\\rangle}\\]

\n

(8 jest osiągane w punkcie \\(x = 3\\), więc przedział domknięty od góry.)

\n
Część c) - wyznaczenie \\(b\\) i \\(c\\)
\n

Rozwijamy postać kanoniczną \\(g(x) = -2(x-3)^2 + 8\\):
\\[g(x) = -2(x^2 - 6x + 9) + 8 = -2x^2 + 12x - 18 + 8 = -2x^2 + 12x - 10\\]

\n

Porównując z \\(g(x) = -2x^2 + bx + c\\):

\n

\\[\\boxed{b = 12, \\qquad c = -10}\\]

\n

Sposób 2 - rozkład na czynniki (część a) i weryfikacja przez punkty (część c)

\n
Część a) - rozkład bez delty
\n

Nierówność po przeniesieniu:
\\[-(2x^2 + 3x - 5) < 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad (2x^2 + 3x - 5) > 0\\]

\n

Próbujemy rozłożyć \\(2x^2 + 3x - 5\\) na czynniki (szukamy liczb tak, by iloczyn = \\(2 \\cdot (-5) = -10\\), suma = \\(3\\)):
\\[2x^2 + 3x - 5 = (2x + 5)(x - 1)\\]

\n

Sprawdzenie: \\((2x+5)(x-1) = 2x^2 - 2x + 5x - 5 = 2x^2 + 3x - 5\\) ✓

\n

Tabela znaków iloczynu \\((2x+5)(x-1) > 0\\):

\n

| \\(x\\) | \\(\\left(-\\infty,\\ -\\tfrac{5}{2}\\right)\\) | \\(-\\tfrac{5}{2}\\) | \\(\\left(-\\tfrac{5}{2},\\ 1\\right)\\) | \\(1\\) | \\((1,\\ +\\infty)\\) |
| \\(2x+5\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |
| \\(x-1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) |
| iloczyn | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn \\(> 0\\) dla \\(x < -\\tfrac{5}{2}\\) lub \\(x > 1\\) ✓

\n
Część c) - weryfikacja przez podstawienie punktów
\n

Mamy \\(g(x) = -2(x-3)^2 + 8\\). Podstawiamy dwa łatwe punkty:

\n

Punkt \\(x = 0\\):
\\[g(0) = -2(0-3)^2 + 8 = -2 \\cdot 9 + 8 = -10\\]
Z wzoru ogólnego: \\(g(0) = c\\), więc \\(c = -10\\) ✓

\n

Punkt \\(x = 1\\):
\\[g(1) = -2(1-3)^2 + 8 = -2 \\cdot 4 + 8 = 0\\]
Z wzoru ogólnego: \\(g(1) = -2 + b + c = -2 + b - 10 = b - 12\\)

\n

Stąd: \\(b - 12 = 0\\), czyli \\(b = 12\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p,\\ q)\\]
Kluczowe w części b) - po przesunięciu \\(g\\) jest już w postaci kanonicznej, z której wprost odczytujemy wierzchołek \\(W = (3, 8)\\) i kierunek ramion.

\n

Dział 7 - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w części a) do znalezienia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 + 3x - 5\\).

\n

Dział 7 - wierzchołek a zbiór wartości:
Dla \\(a < 0\\) parabola ma maksimum w wierzchołku: \\(q = -\\tfrac{\\Delta}{4a}\\). Stąd bezpośrednio \\(Z_g = (-\\infty, q\\rangle\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Mnożenie nierówności przez \\(-1\\) odwraca znak! \\(-2x^2 - 3x + 5 < 0\\) staje się \\(2x^2 + 3x - 5 > 0\\). To najczęstszy błąd w części a) - uczniowie zapominają o zmianie kierunku nierówności.
\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie o 3 w prawo to \\(f(x - 3)\\), a NIE \\(f(x + 3)\\)! Intuicja mówi "+3", ale w nawiasie piszemy "\\(-3\\)". Reguła: przesunięcie w prawo o \\(k\\) → \\(f(x - k)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zbiór wartości \\(\\left(-\\infty, 8\\right\\rangle\\) to przedział domknięty od góry - wartość 8 jest osiągana (w wierzchołku). Nie pisz \\((-\\infty, 8)\\) z nawiasem okrągłym, bo to sugerowałoby, że 8 nie należy do zbioru wartości.
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty)\\); b) \\((-\\infty, 8\\rangle\\); c) \\(b = 12\\), \\(c = -10\\).

\n
Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku
\n

a) Nierówność \\(f(x) + 5 < 3x\\):
\\[-2x^{2} + 5 < 3x\\]
\\[-2x^{2} - 3x + 5 < 0 \\quad |\\cdot(-1)\\]
\\[2x^{2} + 3x - 5 > 0.\\]

\n

Delta: \\(\\Delta = 9 + 40 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\):
\\[x_1 = \\dfrac{-3 - 7}{4} = -\\dfrac{10}{4} = -\\dfrac{5}{2}, \\quad x_2 = \\dfrac{-3 + 7}{4} = 1.\\]

\n

Współczynnik \\(a = 2 > 0\\) (ramiona w górę), więc nierówność \\(> 0\\) jest spełniona na zewnątrz pierwiastków:
\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty).\\]

\n

b) Zbiór wartości \\(g\\):
Wykres \\(f(x) = -2x^{2}\\) ma wierzchołek w \\((0, 0)\\) i ramiona skierowane w dół. Zbiór wartości \\(f\\): \\((-\\infty, 0\\rangle\\).

\n

Po przesunięciu o \\(3\\) w prawo (\\(Ox\\)) i o \\(8\\) w górę (\\(Oy\\)): wierzchołek przesuwa się do \\((3, 8)\\), ramiona nadal w dół. Zbiór wartości \\(g\\):
\\[Z_g = (-\\infty, 8\\rangle.\\]

\n

c) Obliczenie \\(b\\) i \\(c\\):
\\[g(x) = -2(x - 3)^{2} + 8 = -2(x^{2} - 6x + 9) + 8 = -2x^{2} + 12x - 18 + 8 = -2x^{2} + 12x - 10.\\]

\n

Porównując z \\(g(x) = -2x^{2} + bx + c\\):
\\[b = 12, \\quad c = -10.\\]

\n
Weryfikacja
\n

Wierzchołek: \\(x_w = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{12}{-4} = 3\\) ✓; \\(g(3) = -18 + 36 - 10 = 8\\) ✓.

\n
Komentarz
\n

Przesunięcie wykresu funkcji \\(y = f(x)\\) o \\(p\\) jednostek w prawo i \\(q\\) jednostek w górę daje \\(y = f(x - p) + q\\). Stąd \\(g(x) = f(x - 3) + 8\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, \\infty)$<br>b) $(-\\infty, 8]$<br>c) $b = 12, c = -10$

"}]}